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15.3.2 分式方程及其解法（2）
夯实基础篇
一、单选题：
1．若关于x的方程 有增根 ，则 的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根 求出a的值，然后代值计算即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以 得： ，
∵分式方程 有增根 ，
∴把 代入到 中得： ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，代数式求值，正确求出a的值是解题的关键．
2．关于x的分式方程 的解为正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜5 B．a＞5 C．a＜5且a≠3 D．a＜5且a≠2
【答案】C
【分析】先去分母，然后得出方程的解，进而根据题意可列出不等式进行求解．
【详解】解：由分式方程 可得： ，
∵该分式方程的解为正数，
∴ ，且 ，
解得： 且 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
3．已知关于 的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解分式方程的方法可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【详解】解： ，
方程两边同乘以x-3，得
2x-m=x-3，
移项及合并同类项，得
x=m-3，
∵分式方程 的解是非正数，x-3≠0，
∴ ，
解得，m≤3，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
4．若关于x的方程 ﹣2＝ 有增根，则m的值应为（ ）
A．2 B．-2 C．5 D．-5
【答案】C
【分析】根据增根的意义及产生原因解答．
【详解】解：由题意可得：
x=5且x-2（x-5）=m，
∴m=5-0=5，
故选C．
【点睛】本题考查分式方程的应用，熟练掌握增根的意义及产生原因是解题关键．
5．解关于x的方程 不会产生增根，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C． 且 D．无法确定
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，解得 ，根据题意可得 ，从而求出k的值．【详解】解：去分母得， ，
解得 ，
∵方程 不会产生增根，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．若关于x的分式方程 无解，则m的值为( )
A．-6 B．-10 C．0或-6 D．-6或-10
【答案】D
【分析】先把方程化成整式方程，再确定分式无解的x的值，把值代入整式方程确定待求字母的值即可．
【详解】∵ ，
∴
方程两边同时乘以（x-2）（x+2），得
x+2+x+m=3(x-2)，
整理，得x=m+8，
∵ 当x+2=0或x-2=0时，分式是无意义的，
故当x=-2时，-2= m+8，解得m=-10；
当x=2时，2= m+8，解得m=-6；
故m=-6或-10，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，灵活计算求解是解题的关键．
7.关于方程 无解，则实数a的值为（ ）
A．7 B．3或7 C．3或 D．【答案】B
【分析】将原分式方程去分母化解为整式方程，然后整理为 ，则 时，分式方程无解；
当分式方程的分母为 ，即 时原分式方程也无解，分别计算得出实数a的值即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
整理为： ，
当 时，即 时，此方程无解，原分式方程也无解；
当 ，即 ，
将 代入 ，
解得： ，
或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，分整式方程无解和整式方程有解但分式方程的增根两种情况进行讨论
是解决问题的关键．
二、填空题：
8．已知关于 的分式方程 有增根 ，则 ______．
【答案】-1
【分析】先把分式方程化为整式方程得到 ，然后把 代入得 ，再解关于 的
方程即可．
【详解】解：去分母得 ，
整理得 ，
把 代入得 ，解得 ；
所以当 时，原方程有增根 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方
程后分母的值为 或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的
增根．9．关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是____________
【答案】 且
【分析】先解分式方程可得 ，再根据分式方程的解为正数建立不等式组即可得到答案．
【详解】解： ，
去分母得： ，
整理得： ，
∵关于x的分式方程 的解为正数，
∴ ，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方
法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．
10．若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值范围是____．
【答案】 且
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】解：去分母得，m+3＝2x﹣1，
∴x＝ ，
∵方程的解是非负数，
∴m+4≥0即m≥﹣4，
又因为2x﹣1≠0，
∴x≠ ，
∴ ≠ ，
∴m≠-3，
则m的取值范围是m≥﹣4且m≠-3．故答案为：m≥﹣4且m≠-3．
【点睛】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解即可．
11．已知关于x的分式方程 有增根，则m的值为_____
【答案】3
【分析】根据分式方程的求解方法求出 ，再由 是方程的增根，得到等式 ，即可求解．
【详解】解：将 变形为 ，
方程两边同时乘以 ，得
，
∴ ．
∵方程有增根，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式方程的增根；熟练掌握分式方程的求解方法，分式方程增根与分式方程根之间的联
系是解题的关键．
12．若关于x的方程 无解，则m的值是___________________．
【答案】7
【分析】将分式方程化简，根据分式方程无解，得出 ，即可求出 值．
【详解】解：
去分母得：
移项合并得：
因为原方程无解，即
解得
故答案为7．【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程无解情况，即分式方程化为一元一次方程，唯一解为增
根时无解，是解题关键．
13．若关于x的方程 无解，则m＝_____．
【答案】1或2
【分析】去分母得（m-2）x+1=0，根据方程无解分情况讨论，求解即可．
【详解】解：去分母，得mx+1﹣2x＝0，
化简得（m﹣2）x+1＝0，
当 =0时，x＝0或x＝1
当方程有增根为x＝0时，m不存在；
当方程有增根x＝1时，得m﹣2+1＝0，
即当方程有增根时m＝1；
当m﹣2＝0时，原方程无解，此时m＝2，
综上所述：m＝1或2，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
三、解答题：
14．若分式方程 有增根 ，求k的值．
【答案】
【分析】分式两边同乘以最简公分母可得： ，再将增根代入式子即可求出k
的值．
【详解】解：∵分式方程的最简公分母为 ，分式两边同乘以最简公分母可得：
∵分式方程有增根 ，
将其代入上式可得： ，解之得： ．
【点睛】本题考查分式方程根的情况，利用分式方程有增根求参数值，解题的关键是将增根代入去分母之
后的式子进行求解．15．若关于 的方程 有增根，求增根和 的值．
【答案】 和 是增根，
【分析】找出各个分母得最简公分母，即可得到增根，把增根代入去分母后的方程，即可求出k的值．
【详解】解：∵关于 的方程 有增根，最简公分母为：
∴ ，即： 或 是增根，
去分母得： ，
把 或 代入上式得： 或 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根以及分式方程去分母，掌握分式方程增根的概念是是解题的关键．
16．已知关于x的方程 的解为正数，求m的取值范围．
【答案】 且
【分析】首先方程两边都乘 ，将分式方程化为整式方程，解此整式方程，即可求得 x的值，又由关
于x的方程解为正数，可得 且 ，继而求得答案．
【详解】解：方程两边都乘 得： ，
∴ ，
解得 ，
∵关于x的方程 的解为正数，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
解得： 且 ．
【点睛】此题考查了分式方程的解的情况．注意掌握转化思想的应用，注意别忽略 的情况．
17．关于x的分式方程
(1)若方程的增根为 ，求m的值；(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
【答案】(1)
(2) 或
(3)1或 或
【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，
即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为 或 ，再通过计算即可得到答案；
（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.
【详解】（1）∵ ，
去分母得： ，
移项并合并同类项，得： ，
当方程的增根为 时， ，
∴ ；
（2）当方程有增根时，方程的增根为 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
解得： ，
∴ 或 ；
（3）∵
当方程无增根，且 时，方程无解，
∴得 ，
当方程有增根，且 时， ，方程无解，
当方程有增根，且 时， ，方程无解，
∴当 或 或 时，方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.
18．已知关于x的分式方程
(1)若解得方程有增根，且增根为x=-2，求m的值
(2)若方程无解，求m的值
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】（1）将分式方程化为整式方程，将增根代入求解即可；
（2）将分式方程化为整式方程，根据无解的两种情况，一是有增根，二是整式方程无解进行计算即可．
（1）
解：
方程两边同乘 得：
移项合并同类项得：
将 代入 得：
解得：
（2）
解：由（1）可知：
∵方程无解：
①整式方程无解： ，解得：
②分式方程有增根： 或x+2=0，解得：
当 时：
当 时： ，解得：
故当 或 或 时，方程无解．【点睛】本题考查根据分式方程的解的情况判断参数的值，注意分式方程无解包括两种情况，一种是整式
方程无解，一种是分式方程有增根．
19．已知关于x的方程
(1)当m取何值时，此方程的解为 ；
(2)当m取何值时，此方程会产生增根；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) 且 ．
【分析】（1）把 代入方程 即可得出m的值；
（2）根据增根的定义，得出增根 ，从而得出m的值；
（3）把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m的取值范围．
【详解】（1）解：把 代入方程 ，
得 ，
解得 ；
（2）解：方程的增根为 ，
对方程去分母得， ，
把 打入上式得， ，
；
（3）解：去分母得， ，
解得 ，
，
，
解得 ，
，
，
m的取值范围是 且 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键．能力提升篇
一、单选题：
1.于x的分式方程 无解，则m的值为（ ）
A．﹣3或 B． 或
C．﹣3或 或 D．﹣3或
【答案】C
【分析】首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数
为0，满足这两个条件求出m的值．
【详解】解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x ＝3或x ＝﹣3，
1 2
原分式方程可化为： 1 ，
去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2），
整理得（3+m）x＝﹣7，
∵分式方程无解，
∴3+m＝0，
∴m＝﹣3，
把x ＝3或x ＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7，
1 2
得m 或m ，
综上所述：m的值为m 或m 或m＝﹣3，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数
为0，最简公分母为0．
2.， 为实数，定义如下一种新运算： ，若关于 的方程 无解，则 的
值是（ ）
A．4 B．－3 C．4或－3 D．4或3
【答案】D【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，
依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴原方程为： ，
去分母得：
ax=12+3x-9，
移项，合并同类项得：
（a-3）x=3，
解得： ，
∵关于x的方程 无解，
∴原方程有增根3或a-3=0，
∴ 或a-3=0，
解得：解得：a=4或a=3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练
应用是解题的关键．
3.a使关于x的分式方程 有非负整数解，且使关于y的不等式组 至少有3个整
数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．2
【答案】D
【分析】解不等式组，根据题意确定a的范围；解出分式方程，根据题意确定a的范围，根据题意计算即
可．【详解】解： ，
解不等式①得：y＞﹣8，
解不等式②得：y≤a，
∴原不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥﹣5，
，
去分母得∶1﹣x﹣a＝x﹣3，
解得：x ，
∵分式方程有非负整数解，
∴x≥0（x为整数）且x≠3，
∴ 为非负整数，且 3，
∴a≤4且a≠﹣2，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣4，0，2，4，
∴符合条件的所有整数a的和是：2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组
的一般步骤是解题的关键．
二、填空题：
4关于 的方程 无解，则 ______．
【答案】 或 或6
【分析】根据分式方程无解的两种情况：分式方程有增根，即分母为零；分式方程转化为整式方程后，整
数方程无解，即未知数系数为0来求解．
【详解】解： ，
变形为，
去分母得
，
无解，
分式方程有增根，即分母为0时， ，
解得 ， ，
把 代入 中得
，
解得 ，
把 代入 中得
，
解得 ，
当化为整式方程时，未知数系数为0时，
，
解得 ．
综上所述，a的值为-1，6或－8时， 无解．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的条件，理解分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情
况是解答关键．
5关于 的分式方程 的解为正整数，则满足条件的整数 的值为____________．
【答案】-3
【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征确定整数a的值．
【详解】解：分式方程 的解为： ，
∵分式方程有可能产生增根1，
又∵关于x的分式方程 的解为正整数，且 ≠1，∴满足条件的所有整数a的值为：-3，
∴a的值为：-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，方程的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题的关键．
三、解答题：
6．已知，关于 的分式方程 ．
(1)当 ， 时，求分式方程的解；
(2)当 时，求 为何值时分式方程 无解；
(3)若 ，且 、 为正整数，当分式方程 的解为整数时，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)3、29、55、185
【分析】（1）将 和 的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把 的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论 的值，使分式方程无解即可；
（3）将 代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和 为正整数
确定 的取值．
（1）
解：把 ， 代入分式方程 中，得
方程两边同时乘以 ，
∴ ，检验：把 代入 ≠0，
所以原分式方程的解是 ．
答：分式方程的解是 ．
（2）
把 代入分式方程 得
方程两边同时乘以 ，
①当 时，即 ，方程无解；
②当 时，
时，分式方程无解，即 ， 不存在；
时，分式方程无解，即 ， ．
综上所述， 或 时，分式方程 无解．
（3）
把 代入分式方程 ，得：
方程两边同时乘以 ，
整理得：∴
，且 为正整数， 为整数
必为195的因数，
∵195=3 5 13
的×因×数有1、3、5、13、15、39、65、195
但1、3、5 小于11，不合题意，故 可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解 为3、5、13、15、17
由于 为分式方程的增根，故应舍去．
对应地， 只可以取3、29、55、185
所以满足条件的 可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】此题考查了分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问
题的前提，其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方
程去分母后的整式方程的解是分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
