文档内容
第 03 讲 分式方程
1. 了解解分式方程的基本思路和解法．
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法．
3. 体会解分式方程过程中的化归思想．
4. 结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一
种重要数学模型。
知识点1：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
知识点2：分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式
时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式
方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
知识点3：分式方程应用
类型一：工程问题类型二：行程问题
类型三：销售问题
类型四：方案问题
【题型1 分式方程定义】
【典例1】（2023秋•襄都区月考）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B．x﹣4y＝7 C．2x＝3（x﹣5） D．
【答案】D
【解答】解： 是整式方程，
故A不符合题意；
x﹣4y＝7是整式方程，
故B不符合题意；
2x＝3（x﹣5）是整式方程，
故C不符合题意，
是分式方程，
故D符合题意，
故选：D．
【变式1-1】（2022秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C．3x＝x﹣5 D．2x﹣y＝1
【答案】B
【解答】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意；
B．该方程是分式方程，符合题意；
C．该方程是一元一次方程，不符合题意；
D．该方程是二元一次方程，不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2023春•渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、 不是方程，故本选项错误；
B、方程 的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；
C、方程 分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
D、方程 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
故选：B．
【变式1-3】（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+ ，② ﹣3＝a+4，③
+5x＝6，④ ＝1中，其中关于x的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：①x2﹣x+ 是分式，不是分式方程；
② ﹣3＝a+4是关于a的分式方程；
③ +5x＝6是一元一次方程；
④ ＝1是关于x的分式方程，
故关于x的分式方程只有一个．
故选：A
【题型2 分式方程的解】
【典例2】（2023•枣庄模拟）若关于x的方程 ＝1的解是正数，则a的取
值范围是（ ）A．a＞﹣1 B．a＜﹣1
C．a＜﹣1且a≠﹣2 D．a＞﹣1且a≠0
【答案】C
【解答】解：解方程 ＝1，得x＝﹣a﹣1，
∵关于x的方程 ＝1的解是正数，
∴x＞0，
即﹣a﹣1＞0，
当x﹣1＝0时，x＝1，代入得：a＝﹣2．此为增根，
∴a≠﹣2，
解得：a＜﹣1．
则a的取值范围是：a＜﹣1且a≠﹣2．
故选：C．
【变式2-1】（2023•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程 的解是负数，那
么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0
C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
【答案】D
【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，
移项，合并同类项得：x＝m+1，
∵原分式方程的解是负数，
∴m+1＜0，且m+1+1≠0，
解得：m＜﹣1且m≠﹣2，
故选：D．
【变式2-2】（2023秋•宁阳县期中）若关于 x的方程 ＝2的解为正数，
则m的取值范围是（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＞6且m≠10 D．m＜6且m≠2
【答案】D【解答】解：关于x的方程 ＝2的解为：x＝ ，
∵原方程有可能产生增根2，
∴ ，
∴m≠2．
∵关于x的方程 ＝2的解为正数，
∴ ，
∴m＜6．
综上，m的取值范围是：m＜6且m≠2．
故选：D．
【变式2-3】（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程 +1＝ 的解是非负数．
则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝ ，
由分式方程的解是非负数，得到 ≥0，且 ﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故选：C．
【题型3解分式方程】
【典例3】（2023秋•岱岳区期中）解方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1）x＝2；
（2）无解．
【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
【变式3-1】（2023秋•莱西市期中）解方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1）原方程无解；
（2）x＝1．
【解答】解：（1） ，
方程两边同时乘x（x+1），得5x+2＝3x，
解得x＝﹣1；
经检验，x＝﹣1是增根，原方程无解；
（2） ，
方程两边同时乘2（x+1），
2（x+1）﹣（x﹣3）＝6x，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根．
【变式3-2】（2023秋•桥西区校级期中）解下列方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1）x＝﹣6；（2）无解．
【解答】解：（1） ；
去分母得：2（x+1）＝x﹣4，
2x+2＝x﹣4，
x＝﹣6，
检验，x＝﹣6是分式方程的解．∴x＝﹣6；
（2） ．
去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
x＝2，
检验：x＝2是增根，
∴原分式方程无解．
【变式3-3】（2023秋•渌口区期中）解方程： ．
【答案】x＝2．
【解答】解：去分母得：2（x+1）﹣（x+8）＝﹣4（x﹣1），
去括号得：2x+2﹣x﹣8＝﹣4x+4，
移项、合并同类项得：5x＝10，
系数化为1得：x＝2．
检验：当x＝2时，x2﹣1＝3≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
【题型4 分式方程的增根】
【典例4】（2023秋•晋州市期中）若在解关于x的方程 时，会产生
增根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
x+7+2（x﹣1）＝m+5，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1．
当x＝1时，1+7＝m+5，
∴m＝3．
故选：A．【变式4-1】（2023•金牛区模拟）若关于x的分式方程 有增根，则
a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】A
【解答】解：关于x的分式方程 ，
去分母可化为x﹣1＝a﹣2（x+1），
又因为关于x的分式方程 ，即有增根x＝﹣1，
所以x＝﹣1是方程x﹣1＝a﹣2（x+1）的根，
所以a＝﹣2，
故选：A．
【变式4-2】（2023秋•重庆期中）若关于x的分式方程 有增根，则
m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：方程两边都乘（x﹣4），
得3＝（x﹣4）+（x+m），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣4＝0，
解得x＝4，
当x＝4时，m＝﹣1，
故m的值是﹣1．
故选：D．
【变式4-3】（2023秋•张店区期中）分式方程 有增根，则
m的值为（ ）
A．3 B．6 C．1或﹣2 D．0或6
【答案】D
【解答】解：将原式去分母得：2x（x+2）﹣2（x﹣1）（x+2）＝m，
2x2+4x﹣2x2﹣2x+4＝m，
x＝ m﹣2，
∵方程有增根，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴ m﹣2＝1或 m﹣2＝﹣2，
∴m＝6或m＝0．
故选：D．
【题型5 分式方程应用-工程问题】
【典例5】（2022秋•临西县期末）某镇准备对一条长 3200米道路进行绿化整
修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原
计划提高了20%，共用28天完成了全部任务．
（1）问原计划每天绿化道路多少米？
（2）已知承包商原计划每天支付工人工资 5000元，安排工人加班后每天支
付给工人的工资增加了40%，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多
少元？
【答案】（1）100米；
（2）180000（元）．
【解答】解：（1）设原计划每天绿化道路x米，
，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化道路100米．
（2）800÷100＝8（天），28﹣8＝20（天），
5000×8+5000×（1+40%）×20＝180000（元）．
答：承包商共需支付工人工资180000（元）．
【变式5-1】（2022秋•桓台县期末）某学校利用暑假维护其教学楼，若甲、乙
两工程队合作10天可完成；若单独完成此项工程，乙队所用时间是甲队的 2倍．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？
【答案】甲单独完成此项工程需要15天，乙单独完成此项工程需要30天．
【解答】解：设甲单独完成此项工程需要 x天，则乙单独完成此项工程需要
2x天．
据题意得： ，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的根，
所以 2x＝2×15＝30（天），
答：甲单独完成此项工程需要15天，乙单独完成此项工程需要30天．
【变式5-2】（2023春•句容市期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一
项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每
小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的 20倍，经过测试，由5
台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小
时．
（1）求人工每人每小时分拣多少件？
（2）若该快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，
则至少需要安排台这样的分拣机．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x
件，
根据题意得， ，
30000﹣6000＝400x，
x＝60，
检验：当x＝60时，100x≠0，
∴x＝60是方程的解，且符合题意，
答：人工每人每小时分拣60件．
（2）设需要安排y台分拣机，
则16×20×60y≥100000，
19200y≥100000，，
∵y为正整数，
∴y的最小值为6，
答：至少需要安排6台这样的分拣机．
【变式5-3】（2022秋•日照期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计
划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定
时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的 3倍．如
果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．
为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、
乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（ + ）×15+ ＝1．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（ + ）＝22.5
（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元
【题型6 分式方程应用-行程问题】
【典例6】（2023•沙坪坝区自主招生）为深入学习二十大重要讲话精神，落实
立德树人根本任务，沙坪坝区中小学开展了“校村共育”研学项目．某中学
七年级参加了“寻根•行走的青春”研学活动，一班选择 A研学线路，二班
选择B研学线路．已知A研学线路的路程比B多3公里，A、B研学线路的路
程和为27公里．（1）求A、B两研学线路的路程分别是多少公里？
（2）两个班同时出发，结果一班比二班晚0.2小时走完研学路程．已知一班
的行进速度是二班行进速度的1.2倍，求二班的行进速度．
【答案】（1）A、B两研学线路的路程分别是15公里和12公里；
（2）2.5公里/时．
【解答】解：（1）设A研学线路的路程为x公里，B研学线路的路程为y公
里．
由题意，得 ，
解这个方程，得 ，
答：A、B两研学线路的路程分别是15公里和12公里．
（2）设二班的行进速度为m公里/时，则一班的行进速度为1.2m公里/时，
由题意，得 ，
解这个方程，得m＝2.5，
经检验，m＝2.5是原方程的解且符合题意，
答：二班的行进速度为2.5公里/时．
【变式6-1】（2023秋•东营区期中）学校组织学生到离校有 90km的生态园研
学，队伍8：00从学校坐大巴车出发．李老师因有事情，8：30从学校自驾
小车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前
15分钟到达生态园．求大巴车与小车的平均速度．
【答案】大巴的平均速度为40km/h，小车的平均速度为60km/h．
【解答】解：设大巴的平均速度为x km/h，小车的平均速度为1.5x km/h．
根据题意得： ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60，
答：大巴的平均速度为40km/h，小车的平均速度为60km/h．
【变式6-2】（2023秋•房山区期中）远大中学组织同学到离学校 15km的郊区进行社会调查．一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学
出发40min后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同
时到达目的地，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度．
【答案】自行车的速度为15km/h，汽车的速度为45km/h．
【解答】解：设自行车的速度为x km/h，则汽车的速度为3x km/h，
由题意得： ﹣ ＝ ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×15＝45，
答：自行车的速度为15km/h，汽车的速度为45km/h．
【题型7 分式方程应用-销售问题】
【典例7】（2022秋•邯山区校级期末）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚
T恤衫，甲种款型共用了 7800元，乙种款型共用了 6400元．甲种款型的件
数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少
30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高50%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙
款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，
求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进
1.5x件，
根据题意： +30＝ ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件．
（2）6400÷40＝160（元），160﹣30＝130（元），∴130×（1+50%）×60+160×（1+50%）×40× +160×（1+50%）× ×40× ﹣
7800﹣6400＝4700（元）．
答：售完这批T恤衫商店共获利4700元．
【变式7-1】（2023秋•南京期中）某文化用品商店用 1200元购进一批文具盒，
面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的文具盒，所购数量是第一批
购进数量的1.5倍，但单价贵了2元，结果购进第二批文具盒用了3000元．
求第一批购进文具盒的单价是多少元？
【答案】3元．
【解答】解：设第一批购进文具盒的单价是 x元，则第二批购进文具盒的单
价是（x+2）元，
根据题意得： ＝1.5× ，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是所列方程的解，且符合题意．
答：第一批购进文具盒的单价是3元．
【变式7-2】（2022秋•灵宝市期末）某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市
场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购
进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．
（1）求两次所购数量分别是多少？（列分式方程求解）
（2）商厦销售这种衬衫时每件定价都是 60元，最后剩下150件按8折销售，
很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
【答案】（1）第一批购进衬衫2000件，第二批购进了4000件；
（2）在这两笔生意中，商厦共盈利102200元．
【解答】解：（1）设第一批购进x件衬衫，则第二批购进了2x件，
依题意可得： ﹣ ＝4，
解得x＝2000．
经检验x＝2000是方程的解，
答：第一批购进衬衫2000件，第二批购进了4000件；
（2）设这笔生意盈利y元，可列方程为：y+80000+176000＝60（2000+4000﹣150）+80%×60×150，
解得y＝102200．
答：在这两笔生意中，商厦共盈利102200元．
【变式7-3】（2023秋•晋州市期中）在国庆节期间，学校举行了诗歌朗诵等系
列活动，嘉嘉和淇淇负责为班级参赛学生购置纪念品．他们发现，一个笔记
本比一支钢笔贵3元，用225元购买的笔记本数量与用180元购买的钢笔数
量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给参赛的30名学生每人发放一个笔记本或一支钢笔作为活动纪念品，
要使购买纪念品的总费用不超过380元，最多可以购买多少个笔记本？
【答案】（1）一个笔记本单价为15元，一支钢笔的单价为12元；
（2）最多可以购买6个笔记本．
【解答】解：（1）设一个笔记本单价为x元，则一支钢笔的单价为（x﹣3）
元，
＝ ，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，
∴x﹣3＝15﹣3＝12，
∴一个笔记本单价为15元，一支钢笔的单价为12元；
（2）设购买m个笔记本，则购买（30﹣m）支钢笔，
根据题意得：15m+12（30﹣m）≤380，
解得m≤6 ，
∵m为整数，
∴m最大取6，
∴最多可以购买6个笔记本．
【题型8 分式方程应用-方案问题】
【典例8】（2023春•花都区期末）为了贯彻双减要求，丰富校园文化生活，增
强班级团队凝聚力，某校八年级今年计划举办一场主题为“缤纷六月，篮出
梦想”的首届“校BA“班际篮球赛．该校计划为班际篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品店经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多
40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用 600元购买B型号篮球的个数
相等．
（1）求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
（2）该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案；
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）；
若该校需要购买15个A型号篮球和x（x≥5）个B型号篮球，则上述两种购
买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
【答案】（1）A型号篮球单价为80元，B型号篮球的单价为40元；
（2）当x＞20时，方案一更省钱；当x＝20时，两种方案费用相同；当 x＜
20时，方案二更省钱．
【解答】解：（1）设A型号篮球单价为m元，则B型号篮球的单价为（m﹣
40）元，
根据题意得： ＝ ，
解得m＝80，
经检验，m＝80是原方程的解，也符合题意，
∴m﹣40＝80﹣40＝40，
∴A型号篮球单价为80元，B型号篮球的单价为40元；
（2）设购买所需费用为y元，
方案一：y＝80×0.9×15+40×0.9x＝36x+1080，
方案二：y＝80×15+40（x﹣ ）＝40x+1000；
①当36x+1080＜40x+1000时，解得x＞20，
∴当x＞20时，方案一更省钱；
②当36x+1080＝40x+1000时，解得x＝20，
∴当x＝20时，两种方案费用相同；
③当36x+1080＞40x+1000时，解得x＜20，
∴当x＜20时，方案二更省钱；
综上所述，当x＞20时，方案一更省钱；当 x＝20时，两种方案费用相同；当x＜20时，方案二更省钱．
【变式8-1】（2023•通辽）某搬运公司计划购买 A，B两种型号的机器搬运货
物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬
运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采
购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超
过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】（1）每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货
物100吨；（2）购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是
54万元．
【解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天
搬运货物（x+10）吨，
由题意得： ，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；
（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，
由题意得： ，
解得：10≤m≤12，
w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；
∵﹣0.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，
∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．
【变式8-2】（2023秋•北碚区校级期中）某公司不定期为员工购买红豆面包和
肉松面包作为代餐食品．（1）已知每个肉松面包的价格比每个红豆面包的价格贵2.5元，花费100元
购买红豆面包的数量与花费150元购买肉松面包的数量相同，求红豆面包和
肉松面包的单价各是多少元？
（2）若购买红豆面包和肉松面包共100个，要求肉松面包的个数不少于红豆
面包的个数的一半，且总费用不超过590元，请问该公司有哪几种购买方案？
【答案】（1）红豆面包的单价是5元，肉松面包的单价是7.5元；
（2）该公司共有3购买方案，
方案1：购买64个红豆面包，36个肉松面包；
方案2：购买65个红豆面包，35个肉松面包；
方案3：购买66个红豆面包，34个肉松面包．
【解答】解：（1）设红豆面包的单价是 x 元，则肉松面包的单价是
（x+2.5）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意，
∴x+2.5＝5+2.5＝7.5．
答：红豆面包的单价是5元，肉松面包的单价是7.5元；
（2）设该公司购买m个红豆面包，则购买（100﹣m）个肉松面包，
根据题意得： ，
解得：64≤m≤ ，
又∵m为正整数，
∴m可以为64，65，66，
∴该公司共有3购买方案，
方案1：购买64个红豆面包，36个肉松面包；
方案2：购买65个红豆面包，35个肉松面包；
方案3：购买66个红豆面包，34个肉松面包．
【变式8-3】（2023秋•重庆期中）为培养大家的阅读能力，我校初一年级购进
《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的 1.4 倍，并且订购的
《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
（1）求我校初一年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
（2）我校初一年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《朝花
夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，求这个班订购
这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？
【答案】（1）我校初一年级订购《西游记》的单价是10元，订购《朝花夕
拾》的单价是14元；
（2）这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为
112元．
【解答】解：（1）设我校初一年级订购《西游记》的单价是 x元，则订购
《朝花夕拾》的单价是1.4x元，
根据题意得： ﹣ ＝300，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝1.4×10＝14．
答：我校初一年级订购《西游记》的单价是10元，订购《朝花夕拾》的单价
是14元；
（2）设这个班订购m本《朝花夕拾》，则订购（10﹣m）本《西游记》，
根据题意得： ，
解得：3≤m≤6，
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，6，
∴这个班共有4种订购方案，
方案1：订购3本《朝花夕拾》，7本《西游记》，所需总费用为14×3+10×7
＝112（元）；
方案2：订购4本《朝花夕拾》，6本《西游记》，所需总费用为14×4+10×6
＝116（元）；
方案3：订购5本《朝花夕拾》，5本《西游记》，所需总费用为14×5+10×5＝120（元）；
方案4：订购6本《朝花夕拾》，4本《西游记》，所需总费用为14×6+10×4
＝124（元）．
∵112＜116＜120＜124，
∴按照这些方案订购最低总费用为112元．
答：这个班订购这两种书籍有 4种方案，按照这些方案订购最低总费用为
112元．
1．（2023•青海）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师
生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车
先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车
的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x km/h．根据题意，下
列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵骑车师生的速度为x km/h，汽车的速度是骑车师生速度的2
倍，
∴汽车的速度是2x km/h，
又∵30min＝ h，
∴ ．
故选：B．
2．（2023•黑龙江）已知关于 x的分式方程 +1＝ 的解是非负数．则 m
的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝ ，
由分式方程的解是非负数，得到 ≥0，且 ﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故选：C．
3．（2023•深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输
5吨货物，且大货车运输 75吨货物所用车辆数与小货车运输 50吨货物所用
车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】B
【解答】解：∵每辆大货车的货运量是x吨，
∴每辆小货车的货运量是（ x﹣5）吨，
依题意得： ＝ ．
故选：B．
4．（2023•大连）解方程 去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（
）
A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x
【答案】B
【解答】解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．
故选：B．
5．（2023•海南）分式方程 ＝1的解是（ ）
A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣5
【答案】A
【解答】解：去分母，得1＝x﹣5，移项，得﹣x＝﹣5﹣1，
合并同类项，得﹣x＝﹣6，
系数化为1，得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴方程的解是x＝6．
故选：A．
6．（2023•淄博）已知 x＝1 是方程 的解，那么实数 m 的值为（
）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【解答】解：将x＝1代入方程，得： ﹣ ＝3，
解得：m＝2．
故选：B．
7．（2023•随州）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修 9
千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，
最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修 x千米，则可列
出方程为（ ）
A． ﹣ ＝ B． ﹣ ＝
C． ﹣ ＝ D． ﹣ ＝
【答案】A
【解答】解：∵乙工程队每个月比甲工程队多修 1千米，且甲工程队每个月
修x千米，
∴乙工程队每个月修（x+1）千米．
根据题意得： ﹣ ＝ ．
故选：A．
8．（2023•恩施州）分式方程 ＝ 的解是（ ）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0
【答案】B
【解答】解： ＝ ，
方程两边同乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1），
去分母得x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入（x﹣3）（x﹣1）＝24≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣3，
故选：B．
9．（2023•绥化）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的 ．
在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物 天，
运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货
物需x天，由题意列方程，正确的是（ ）
A． + ＝1 B． + （ + ）＝1
C． （1+ ）+ ＝1 D． +（ + ） ＝1
【答案】B
【解答】解：由题意可得，
+ （ + ）＝1，
故选：B．
10．（2023•巴中）关于x的分式方程 + ＝3有增根，则m＝ ﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由题意得：x＝2是该整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．
11．（2023•山西）解方程： ．
【答案】x＝ ．
【解答】解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），
∴原方程可化为：
2+2x﹣2＝3．
∴x＝ ．
检验：把x＝ 代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左边＝右边．
∴原方程的解为x＝ ．
12．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买 A型玩具和B型玩具
进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数
量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购
进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多
少个？
【答案】（1）A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
（2）最多可购进A型玩具25个．
【解答】解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x
元/个．
由题意得： ，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个），
答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
（2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个．根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，
解得：m≤25，
答：最多可购进A型玩具25个．
13．（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进 A，B两种文创饰品对
游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种
的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购
这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4
倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件
时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】（1）A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）①120≤x≤210，且x为整数；
②当采购 A种饰品 210件，B种饰品 390件，商铺获利最大，最大利润为
3630元．
【解答】解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为
（a﹣1）元，
由题意得： ＝ ×2，
解得：a＝10，
经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，
a﹣1＝9，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）①由题意得： ，
解得：120≤x≤210，
∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；
②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，
当 150＜x≤210 时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣
x）＝3x+3000，
∵3＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+3000＝3630，
∵3630＞3480，
∴w的最大值是3630，此时600﹣x＝600﹣210＝390，
即当采购 A 种饰品 210 件，B 种饰品 390 件，商铺获利最大，最大利润为
3630元
1．（2023•琼海一模）分式方程 的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝1 D．无解
【答案】A
【解答】解： ，
去分母得：x＝3（x﹣2），
去括号得：x＝3x﹣6，
移项得：x﹣3x＝﹣6，
合并同类项得：﹣2x＝﹣6，
系数化为1得：x＝3．
检验3﹣2≠0，x＝3是原方程的解．
故选：A．
2．（2023•高新区校级模拟）解分式方程 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）
【答案】D
【解答】解：∵ ，
∴ ﹣ ＝3，
方程两边同时乘（2x﹣1），可得：x﹣2＝3（2x﹣1）．
故选：D．
3．（2022秋•天河区校级期末）已知关于 x的方程 有增根，则a的
值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
【答案】D
【解答】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故选：D．
4．（2023•从化区二模）“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅
游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为 180元，出发时因特殊
原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加
游览的同学共有x人，则所列方程为（ ）
A． ＝3 B． ＝3
C． ＝3 D． ＝3【答案】A
【解答】解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得： ＝3．
故选：A．
5．（2023春•子洲县校级期末）关于x的方程 有增根，则k的值是
（ ）
A．0 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】D
【解答】解：去分母，得k+3+x﹣2＝3x，
将增根x＝2代入，
得k+3+2﹣2＝6，
解得k＝3，
故选：D．
6．（2022秋•铁岭县期末）已知关于x的分式方程 ＝1的解是非负数，则m
的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，
即x＝m+1，
由分式方程的解为非负数，得到
m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m≥﹣1且m≠0，
故选：C．
7．（2023•明水县模拟）中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度
都是世界最高的．郑州、北京两地相距约 700km，乘高铁列车从郑州到北京
比乘特快列车少用 3.6h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8倍．
设特快列车的平均行驶速度为x km/h，则下面所列方程中正确（ ）
A． ﹣ ＝3.6 B． ﹣ ＝3.6C． ﹣ ＝3.6 D． ＝3.6﹣
【答案】A
【解答】解：设特快列车的平均行驶速度为x km/h，则高铁列车的平均行驶
速度为2.8x km/h，
依题意得： ﹣ ＝3.6．
故选：A．
8．（2023•麒麟区校级模拟）某厂计划加工 120万个医用口罩，按原计划的速
度生产6天后，疫情期间因为任务需要，生产速度提高到原来的1.5倍，结
果比原计划提前3天完成任务．若设原计划每天生产 x万个口罩，则可列方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵提高生产速度后的生产速度是原来的 1.5倍，且原计划每天
生产x万个口罩，
∴提高生产速度后每天生产1.5x万个口罩．
根据题意得： ＝ +3．
故选：C．
9．（2022秋•泰山区校级期末）解分式方程．
（1） ； （2） ．
【答案】（1）无解；（2）x＝2．
【解答】解：（1）
﹣1＝1﹣x﹣3（2﹣x），
﹣1＝1﹣x﹣6+3x，
﹣2x＝﹣4，x＝2，
当x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是原方程的增根，此方程无解；
（2）
x（x+1）﹣（2x﹣1）＝x2﹣1，
x2+x﹣2x+1＝x2﹣1，
﹣x＝﹣2，
x＝2
当x＝2，x﹣1≠0，x2﹣1≠0，
∴x＝2是方程的解．
10．（2022秋•洛川县校级期末）已知关于x的分式方程 + ＝1的解是非
负数，求m的取值范围．
【答案】m≥4且m≠5．
【解答】解：给分式方程两边同乘以x﹣1，得m﹣5＝x﹣1，
解得，x＝m﹣4．
∵方程的解是非负数，
∴m﹣4≥0，
解得m≥4；
又∵x﹣1≠0，即x≠1，
∴m≠5，
综上m的取值范围为m≥4且m≠5．
11．（2022秋•番禺区校级期末）在疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上
口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某商店用4000元购进若干包一次性
口罩，售完后又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数是第一批所进
包数的1.5倍，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，求购进的
第一批口罩有多少包？
【答案】2000包．
【解答】解：设购进的第一批医用口罩有 x包，则购进的第二批医用口罩有1.5x包，
根据题意得： ，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原分式方程的解，且符合题意．
答：购进的第一批医用口罩有2000包．
12．（2023•广饶县校级模拟）长沙市某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就
用13200元购进了一批这种衬衫，销售一段时间后，果然供不应求．商家又
用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2倍，但单
价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，第二批中最后剩下50件按八折优惠卖
出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么
每件衬衫的标价至少是多少元？
【答案】（1）该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）每件衬衫的标价至
少是150元．
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是 x件，则购进第二批这种衬
衫是2x件，依题意有
+10＝ ，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）3x＝3×120＝360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
13．（2023•青岛模拟）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出
发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即
跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度
至少为多少千米每小时？
【答案】（1）小李步行的速度为 6 千米/小时，则骑自行车的速度为 9 千
米/小时；
（2）小李跑步的速度至少为7.2千米每小时．
【解答】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为
1.5x千米/小时，
由题意得： ﹣ ＝ + ，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
则1.5x＝9，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9＝ （小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60＝ （小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，
由题意得：1.5+（ ﹣ ﹣ ）m≥4.5，
解得：m≥7.2，
答：小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．
则跑步的速度至少为7.2千米每小时．
解法二：设小李跑步的速度为m千米/小时，
由题意得： + ≤ ﹣ ，
解得：m≥7.2，
答：小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．
则跑步的速度至少为7.2千米每小时．14．（2023•英德市一模）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件
B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品
的数量相同．
（1）求A、B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不
低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，
根据题意，得： ，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解，
所以A商品每件20元，则B商品每件50元．
（2）设购买A商品a件，则购买B商品共（10﹣a）件，
列不等式组：300≤20•a+50•（10﹣a）≤380，
解得：4≤a≤ ，
a取整数：4，5，6．
有三种方案：
①A商品4件，则购买B商品6件；费用：4×20+6×50＝380，
②A商品5件，则购买B商品5件；费用：5×20+5×50＝350，
③A商品6件，则购买B商品4件；费用：6×20+4×50＝320，
所以方案③费用最低．
