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专题19 二元一次方程组的特殊解法
【例题讲解】
阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 ，小明发
现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的
看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令 ， ．
原方程组化为 ，解得 ，把 代入 ， ，
得 ，解得 ．∴原方程组的解为 ．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1) (2)
【详解】（1）令 ， ，
方程组 变形为 ，解得 ，所以 ，
解得 ∴原方程组的解为 ．
（2）令 原方程组化为 解得 ，
把 代入 得 ,解得 ·【综合解答】
1．若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则关于m，n的二元一次方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于 ， 的方程组 ，解为 ．则关于 ， 的方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
3．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，则关于 ， 的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m，n的方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若方程组 的解是 ，则方程组 的解为_________．
7．若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于x、y的二元一次方程组
的解是__．
8．已知关于 和 的方程组 的解是 ，则另一关于 、 的方程组
的解是______．
9．方程组 的解是 ，请你写出方程组 的解______．
10．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是_____．11．关于x，y的方程组 的解为 ，则① __________．
②关于x，y的方程组 的解为__________．
12．三个同学对问题“若方程组 ，的解是 求方程组 的
解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一
定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解
决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________________．
13．三个同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的解．
“提出各自的想法，甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定
的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7．通过换元替代
的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．
14．若关于x、y的方程组 其中a、b、m为常数）的解为 ，则方程组
的解为______．
15．已知关于x，y的方程组 和 是同解方程，则关于a，b的方程组
的解是____________
16．阅读材料：善于思考的李同学在解方程组 时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把 ， 成一个整体，设 ， ，原方程组可化为
解得： ．∴ ，∴原方程组的解为 ．
(1)若方程组 的解是 ，则方程组 的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组 ．
17．（1）解方程组 ．
（2）直接写出方程组 的解是______．
18．甲、乙、丙在探讨问题“已知 ， 满足 ，且 求 的值．”的解题
思路时，甲同学说：“可以先解关于 ， 的方程组 再求 的值．”乙、丙同学
听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组 中的两个方程相加，再求 的值；
丙同学：先解方程组 ，再求 的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种
思路的理由．
19．数学方法：解方程组： ，若设 ， ，则原方程组可化为
，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看成
一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于m、n的二
元一次方程组 的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
求关于x，y的方程组 的解．
20．阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设 ， ，原方程组可变为
解方程组得： ，即 ，解得 ．所以此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：(2)能力运用：已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求出关于 ， 的方程组
的解．
21．已知方程组 ，求 的值．
小明凑出“ ”，虽然问题获得解决，
但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设
，对照方程两边各项的系数可列出方程组
它的解就是你凑的数！
(1)根据丁老师的提示，已知方程组 ，求 的值．
(2)已知 ，且 ，当 为 时， 为定值，此定值是 ．（直
接写出结果）
22．知识积累：解方程组 ．
解：设a﹣1＝x，b＋2＝y．原方程组可变为 ，解这个方程组得 ，即 ，
所以 ，这种解方程组的方法叫换元法．(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组： ．
(2)能力运用：已知关于x，y的方程组 的解为 ，请直接写出关于m、n的方程
组 的解是 ．
23．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为
“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使
得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组： ．
分析：由于方程组中含有式子 和 ，所以可设 ．
原方程组可化为 ．
解得 ，即 ．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
(1)若关于x，y的方程组 的解是 ，则关于a，b的方程组
的解是 ；（直接写答案）
(2)已知方程组 ，求x，y的值．
