初中数学同步8年级上册专题15.3分式方程（32页）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_老课标资料_讲义

专题 15.3 分式方程 目标导航 1、了解分式方程的概念和检验根的意义； 2、会解可转化为一元一次方程的分式方程；掌握这种方程解法，掌握解方程中的化归思想； 3、会列出分式方程解简单的应用题。 知识精讲 知识点01 分式方程及解分式方程 知识点 1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2．分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最 简公分母． (2)解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简 公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式 项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分 式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身 无解，当然原分式方程就一定无解． 【知识拓展1】分式方程的定义 例1．(2022·山东省泰安八年级阶段练习)关于x的方程① ；② ；③ ； ④ ．其中是分式方程是( ) A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④【答案】B 【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：方程①是分式方程，符合题意； 方程②分母中含有未知数，符合题意； 方程③是整式方程，不符合题意； 方程④是整式方程，不符合题意； 故其中是分式方程的有：①②，故选：B． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 【即学即练】 1．(2022·湖南·八年级单元测试)已知方程： ① ； ② ③ ； ④ ． 这四个方程中，分式方程的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可． 【详解】根据定义可知，①②③为分式方程，故选：B． 【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键． 【知识拓展2】解分式方程 例2．(2022·河北·石家庄三模)小明和小亮在解答“解分式方程： ”的过程如框，对他们的 解答过程(每一步只对上一步负责)有以下判断，判断错误的是( ) 小明的解法： 解：去分母得： ① 去括号得： ② 移项得： ③ 合并同类项得： ④ 系数化为 得： ⑤ 是原分式方程的解⑥ 小亮的解法：解：去分母得： ① 去括号得： ② 移项得： ③ 合并同类项得： ④ 系数化为 得： ⑤ A．小明的步骤①错误，漏乘 B．小明的步骤②、③、④都正确 C．小明的步骤⑤错误 D．小亮的解答完全正确 【答案】D 【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可． 【详解】解：根据题意得：小亮的解答没有检验过程，出错； 小明的步骤 错误，漏乘，小明的步骤 、 、 都正确，小明的步骤 错误．故选： ． 【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 【即学即练】 2.(2022·河北·八年级阶段练习)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】(1)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，最后检验根是否有意义，即可求解； (2)先将分式通分，再根据分式的加减法法则进行运算，最后把解的根代入原方程检验，若分式有意义则有 解，原方程无意义则原方程无解． (1) 解：原式变形得， ，且 ， ， ∴ ， 代入原方程检验得，原方程左边： ，原方程右边： ， 即 时，方程左边等于右边，且原方程有意义， 故方程的解是： ． (2) 解：原式通分得， ，且 ，， ， ∴ ， ， 代入原方程检验：原方程分母为零，方程无意义，故原方程无解． 【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握分式的加减法法则，通分，分式方程有意义是解题的关键． 【知识拓展3】分式方程的增根与无解问题 例3．(2022·浙江东阳·七年级期末)关于x的分式方程： ． (1)当m＝3时，求此时方程的根；(2)若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 【答案】(1)x=-5；(2)-4或6 【分析】(1)把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得 到分式方程的解；(2)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算 即可求出m的值． 【详解】解：(1)把m=3代入方程得： ， 去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5， 检验：当x=-5时，(x+2)(x-2)≠0，∴分式方程的解为x=-5； (2)去分母得：mx+2x+4=3x-6， ∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2， 把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4； 把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，解得：m=6． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增 根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【即学即练】 3(1)(2022·江苏九年级专题练习)关于x的分式方程 (其中a为常数)有增根，则增根为_____． 【答案】 ． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到 或 ，然后代入化为整式方程的方程算出 的值，检验是否符合题意即可． 【详解】分式方程 的最简公分母为x(x﹣2)， 去分母得： ， 令 ，得 或 ， 把 代入得：整式方程无解，即分式方程无解；把 代入得： ， 综上，分式方程的增根为 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查分式方程的增根的确定方法，确定增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确 定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，检验是否符合题意，将不合题 意的舍去． (2)(2022·浙江杭州·初二月考)已知关于x的分式方程 ﹣1＝ 无解，则m的值是( ) A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0 【答案】A 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m 的值． 【解析】解：两边都乘以x(x﹣3)，得：x(x+m)﹣x(x﹣3)＝x﹣3， 整理，得：(m+2)x＝﹣3，解得： ， ①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解， ②∵关于x的分式方程 ﹣1＝ 无解，∴ 或 ， 即m+2＝0或3(m+2)＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选：A． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不 等于0的条件．【知识拓展4】分式方程的特殊解问题 例4．(2022·河南八年级期末)如果关于x的方程 的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 解满足 ，则满足条件的整数a有( )个． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】先解分式方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出a的值． 【详解】解：解方程 ，得 ， ， ， 但当 时， 是增根， ， ，且 ， 由二元一次方程组 得， ， 足 ， ， ， ， ，且 ， 为整数， 满足条件的整数a有 ， ， ，0，故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键 【即学即练】 4.(1)(2022·安徽东至·七年级期末)已知关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围为____． 【答案】 且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论． 【详解】解：去分母得， ,解得： ， ∵分式方程的解为正数，且 ,∴ 且 ,解得， 且 故答案为： 且 ． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解分式方程是解答的关键，注意不能 产生增根，所以要使x≠1． (2)(2022·江苏苏州·八年级期中)已知关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围______．【答案】 且 【分析】先解分式方程得到x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+2 0，求解即可得到答案． 【详解】解： a+2=x+1 x=a+1， ∵方程的解是负数，x≠-1∴a+1<0，且a+2 0，解得a<-1，且a -2，故答案为： 且 ． 【点睛】此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等 于0的情况． 知识点02 分式方程的应用 知识点 分式方程的应用 (1)分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等． (2)列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验 (一验分式方程，二验实际问题)；⑥答． 【知识拓展1】工程问题 例1．(2022·内蒙古凉城·期末)为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承 担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．(1)按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；(2)生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工 人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产 帐篷？ 【答案】(1)2000；(2)该公司原计划安排750名工人生产帐篷． 分析：(1)直接利用20000÷10即可得到平均每天应生产帐篷多少顶； (2)设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，那么原计划每名工人每天生产帐篷 顶，后来每名工人每天生产帐篷 ×(1+25%)顶，然后根据已知条件即可列出方程10-2-2= ，解方程即可求出该公司原计划安排多少名工人生产帐篷． 【解析】(1)该公司平均每天应生产帐篷20000÷10=2000顶； (2)设该公司原计划安排x名工人生产帐篷， 依题意得，(10-2-2)× ×1.25×(x+50)=20000-2×2000，即16000x=15000(x+50)， 1000x=750000，解得x=750，经检验x=750是方程的解， 答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷． 考点：分式方程的应用． 【即学即练1】 1．(2022·山东临沂市·中考真题)某工厂生产 、 两种型号的扫地机器人． 型机器人比 型机器人每小 时的清扫面积多50%；清扫 所用的时间 型机器人比 型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器 人每小时分别清扫多少面积？若设 型扫地机器人每小时清扫 ，根据题意可列方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可． 【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，由题意可得： ，故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 【知识拓展2】行程问题 例2．(2022·山东·武城县八年级期末)小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会 门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路 赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5 倍．(1)求小张跑步的平均速度；(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会前赶到奥体中心？说明理由． 【答案】(1)210米/分钟；(2)他不能在演唱会前赶到奥体中心；理由见解析 【分析】(1)设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间＝路程÷ 速度，结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可 得出结论；(2)根据时间＝路程÷速度，求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得 出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其 与23进行比较后即可得出结论． 【解析】 (1)解：设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟， 根据题意得： ，解得：x＝210， 经检验，x＝210是原分式方程的解． 答：小张跑步的平均速度为210米/分钟． (2)小张跑步到家所需时间为2520÷210＝12(分钟)， 小张骑车所用时间为12−4＝8(分钟)， 小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25(分钟)， ∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：(1)根据时间=路程÷速度，结合小张骑车的时间比跑 步的时间少用了4分钟，列出关于x的分式方程；(2)根据数量关系，列式计算． 【即学即练2】 2．(2022·竹溪县实验中学其他)某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走， 过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑 x 车学生的速度为 千米/小时，则所列方程正确的是( ) 10 10 1 10 10 10 10 10 10 1    30  30   A． x 2x 2 B．2x x C． x 2x D．2x x 2 【答案】A 【分析】关键描述语为：“过了30分后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自 30 行车同学所用时间-乘车同学所用时间=60 小时，可以列出相应的方程．10 10 1   【解析】由题意可得： x 2x 2 ，故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相 应的方程． 【知识拓展3】销售问题 例3．(2022·重庆巴蜀中学初三期中)某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2 千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元. (1)为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？ (2)将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发 价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同， 那么这种产品的批发价是多少元？ 【答案】(1)购入 种原料每千克的价格最高不超过10元；(2)这种产品的批发价为50元． 【分析】(1)设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为(x＋10)元，根据使每件产品的 成本价不超过34元列出不等式求解即可；(2)设这种产品的批发价为a元，则零售价为(a＋30)元，根据 “用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，”正确列出 分式方程即可. 【解析】(1)设 种原料每千克的价格为 元，则 种原料每千克的价格为 元， 根据题意得： ，解得： ． 答：购入 种原料每千克的价格最高不超过10元． (2)设这种产品的批发价为 元，则零售价为 元， 根据题意得： ，解得： ， 经检验， 是原方程的根，且符合实际． 答：这种产品的批发价为50元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量间的关 系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出分式方程.【即学即练】 3．(2020·四川广元·八年级期末)倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进 ， 两种健身器材若干件， 经了解， 种健身器材的单价是 种健身器材单价的1.5倍，用7200元购买 种健身器材比用5400元购买 种健身器材多10件．(1) ， 两种健身器材的单价分别是多少元？(2)若今年 种健身器材的单价相较 去年上涨了 ， 种健身器材的单价相较去年下降了 ，这样用7200元购买 种健身器材和用5400元 购买 种健身器材的数量就一样多，求 的值．(保留一位小数) 【答案】(1) 种健身器材的单价是360元， 种健身器材的单价是540元 (2)33.3 【分析】(1)设 种健身器材的单价为 元，则 种健身器材的单价为 元，根据用7200元购买 种健身 器材数−用5400元购买 种健身器材数=10，列分式方程求解即可； (2)用7200元购买 种健身器材的数量=用5400元购买 种健身器材的数量，列分式方程求解即可． 【详解】(1)解：设 种健身器材的单价为 元，则 种健身器材的单价为 元． 根据题意，得 ，解得 ， 经检验， 是原方程的解， (元)． 答： 种健身器材的单价是360元， 种健身器材的单价是540元； (2)解：根据题意，得 ，解得 ， 经检验， 是原方程的解，∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式方程在生活中的应用，根据题意找出等量关系列分式方程是解题的关键，解 分式方程时检验是解题的易错点． 【知识拓展4】方案问题 A,B 例4．(2022·内蒙古乌海·初二期末)在“双十二”期间， 两个超市开展促销活动，活动方式如下： A B 超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元； 超市：购物金额打8折． A,B 某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在 两个超市的标价相同，根据商场的活动方式： B A (1)若一次性付款4200元购买这种篮球，则在 商场购买的数量比在 商场购买的数量多5个，请求出这 种篮球的标价；(2)学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．(直接写出方案) 【答案】(1)这种篮球的标价为每个50元；(2)见解析 4200 【分析】(1)设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球 0.8x 个，在A超市可买篮球 4200300 0.9x 个，根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可； (2)分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得. 4200 4200300  5 【解析】(1)设这种篮球的标价为每个x元，依题意，得 0.8x 0.9x ，解得：x=50， 经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元； (2)购买100个篮球，最少的费用为3850元， 单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元， 在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2(50×50×0.9-300)=3900元， 单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，在A、B两个超市共买100个， 2000 4 根据A超市的方案可知在A超市一次购买：0.950 =449 ，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9- 300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要 10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元， 综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市 购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 【即学即练】 4．(2022·湖南长沙·八年级期末)某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降．今年三 月份的电脑售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销 售额只有80000元．(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙 种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000 元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，问有几种进货方案？(3)如果乙种电脑每台售价为 3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金 元，要使(2)中所有方案 获利相同， 值应是多少？【答案】(1)今年三月份甲种电脑每台售价4000元 (2)一共有5种进货方案 (3) 的值为200 【分析】(1)设今年三月份甲种电脑每台售价 元，则去年每台 元，然后由卖出相同数量的电脑， 而去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元列出方程求解即可；(2)设购甲种电脑 台，则乙种电 脑 台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于 66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，列出不等式求解即可得到答案；(3)设甲种电脑 台，总获利为 元，然后根据题意求出关系式，再由使(2)中所有方案获利相同，求解即可． 【解析】 (1)设今年三月份甲种电脑每台售价 元，则去年每台 元． 依题意，得： ， 解得 ． 检验可知 是方程的解，且符合题意． 答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元． (2)设购甲种电脑 台，则乙种电脑 台． 依题意，得： ，解得： ． ∵ 为正整数，∴ ，9，10，11，12∴共有5种进货方案． 答：一共有5种进货方案； (3)设甲种电脑 台，总获利为 元．则： ． ∵要使(2)中所有方案获利相同，∴ 的结果与 无关，∴ ，∴ ． ∴购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利答： 的值为200． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题 的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可． 能力拓展 考法01 分式方程中的整数解问题【典例1】(2022·达州市·中考真题)若分式方程 的解为整数，则整数 ___________． 【答案】 【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用 来表示 ，再根据解为整数来确定 的值． 【详解】解： ， 整理得： 若分式方程 的解为整数， 为整数，当 时，解得： ，经检验： 成立； 当 时，解得： ，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上: ，故答案是： ． 【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用 来表示 ，再根据解为整数来确 定 的值，易错点，容易忽略对根的检验． 变式1．(2022·河南南阳·八年级阶段练习)若实数 使得关于 的分式方程 有正整数解，则 所有满足条件的 的值之和是( ) A．20 B．17 C．15 D．12 【答案】C 【分析】根据分式方程 有正整数解，可得 的值，即可得到答案． 【详解】解：分式方程 ， 去分母得： ， 去括号合并得： ， ∴ ，由题意得： ，即 且 是正整数，∴ 或 或 ，∴ 或 或 ， ∴所有满足条件的 的值之和为3+4+8=15，故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的正整数解等知识，解题的关键是求出 的范围，容易忽略 的条件． 变式2．(2022·重庆实验外国语学校)关于x的分式方程 有整数解，且关于y的不等式组 有解，则所有满足条件的正整数a的和是( ) A．6 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】先用a表示出分式方程 的解，再根据整数解求出a的可能值，然后再通过不等式 组 进一步确定a的值，最后求和即可． 【详解】解：∵ ∴y＜ ，y≥ ∵关于y的不等式组 有解∴不等式组的解集为 ≤y＜ ， ∴ ＜ ，即a-3＜5，可得a＜8 由 有整数解,可得： x= ,即a为偶数 ∵x≠-1∴x≠6 ∵正整数a∴a=2或a=4∴4+2=6．故选A． 【点睛】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，正确求解分式方程成为解答本题的关键．分层提分 题组A 基础过关练 1．(2022·山东枣庄·八年级阶段练习)下列方程① ，② ，③ ，④ 中，是 关于x的分式方程的有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据分式方程的定义，即可判断． 【详解】解：① 是关于y的分式方程；② 是关于x的分式方程；③ 是关于x的 整式方程；④ 是关于x的整式方程； 所以关于x的分式方程共有1个，故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就 是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．2．(2022·湖南·八年级阶段练习)把分式方程 的两边同时乘以 ，约去分母，得( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程两边同时乘以 进行化简即可． 【详解】解：方程两边同时乘以 得： ；故选D． 【点睛】本题考查分式方程去分母．在去分母的时候，注意常数项不要漏乘． 3．(2022·山东青州·初二期末)已知关于 的分式方程 无解，则 的值为( ) A． B． 或 C． D． 或 或 【答案】D 【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可. 【解析】解：由 得x= ∵分式方程无解 ∴ =±2或m+4=0∴m=0或m=-8或 ∴ 或 或 故答案为D. 【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让 分式的解有意义是本题的易错点. 4．(2022·广东·佛山市华英学校三模) ， 两地相距 千米，一辆大汽车从 地开出 小时后，又从 地 开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的 倍，结果小汽车比大汽车早 分钟到达 地，求 两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为 ，则下面所列方程正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大汽车的速度为 ，则小汽车的速度为 ，根据题意可得，同样走 千米，小汽车 比大汽车少用 小时，据此列方程． 【详解】解：设大汽车的速度为 ，则小汽车的速度为 ，由题意得， ．故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的 等量关系，列方程． 5．(2022·陕西金台·)某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新 技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据工作效率=工作总量÷时间结合采用新技术后每天多生产30套，即可得出关于x的分式方程， 此题得解． 【详解】解：依题意，得： ，故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．(2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习)方程 的解昰___________． 【答案】 【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解： 去分母得： 整理得： 解得： 经检验： 是原方程的根， ∴ 原方程的根为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法与步骤”是解本题的关键. 7．(2022·湖南·永州市八年级阶段练习)如果方程 的解是正数，那么 的取值范围为______． 【答案】 且 【分析】先将分式方程的解用关于k的代数式表示出来，再结合题意和分式有意义的条件求解即可．【详解】解： ， ∵该分式方程解为正数和使分式有意义的条件， ∴ 且 ， ∴ 且 ． 故答案为： 且 ． 【点睛】本题考查了分时方程的解，解决本题的关键是注意分式有意义的条件． 8．(2022·江苏海陵·八年级期中)若解关于x的方程 ＝ +2时产生了增根，则m＝_____． 【答案】﹣1． 【分析】先将分式化成化为整式方程，求得x，然后令x=2，即可求得m的值即可 【解析】解：原式去分母得：x﹣1＝﹣m+2x﹣4，解得：x＝m+3， 由分式方程有增根，得到x＝2，则有m+3＝2，解得：m＝﹣1，故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，求出用m表示的分式方程的解是解答本题的关键． 9．(2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习)解方程： (1) (2) 【答案】(1) ；(2)无解． 【分析】分式方程去分母即可转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验后即可得到分式方 程的解． 【详解】(1)方程两边同时乘以 得： ， 解得： ， 检验：当 时， 所以分式方程的解为 ； (2)方程两边同时乘以 得： ， 解得： ，检验：当 时 ， 所以原分式方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求 解，解分式方程一定要注意验根． 10．(2022·重庆一中九年级阶段练习)某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方 式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织 开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树． (1)该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种 植黄桷树多少棵？ (2)在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负 责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种 植的数量． 【答案】(1)3000棵 (2)150棵 【分析】(1)设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树 棵，根据种植总数是5000列方程求解即可； (2)设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为 棵，根据两个小组同时完成任务即 用时相等列方程求解即可． 【详解】(1)解：设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树 棵， 则有： ，解得： ， ∴ 答：计划种植黄桷树3000棵． (2)设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为 棵， 则有 ，解得： ， 经检验， 是原方程的根，且符合题意， 答：乙组每小时种植的数量为150棵． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，找出题中的数量关系并用它列出方程是解题的关键．题组B 能力提升练 1．(2022·四川广元·八年级期末)方程 的解为( ) A． B． C． D．原分式方程无解 【答案】D 【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验解分式方程即可． 【详解】解： 分式两边同乘 得： ， 移项合并同类项得： ， 检验：当 ， ， ∴ 是原方程的增根， ∴原方程无解； 故选D． 【点睛】本题考查解分式方程，注意使最简公分母为0的x的值，是方程的增根，要舍掉． 2．(2022·绵阳市·八年级专题练习)将 的分母化为整数，得( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解． 【详解】解：将 的分母化为整数，可得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 3．(2022·浙江·模拟预测)已知关于x的方程 无解，则m的值为( ) A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C 【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解． 【详解】解：去分母得：x-1=m，解得：x=m+1， 根据题意得：m+1=3，解得：m=2，故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 4．(2022·石家庄市八年级期末)关于 的分式方程 有解，则字母 的取值范围是( ) A． 或 B． C． D． 且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程 有解”，即x≠0且 x≠2建立不等式即可求a的取值范围． 【详解】解： ，去分母得：5(x-2)=ax，去括号得：5x-10=ax，移项，合并同类项得：(5-a)x=10， ∵关于x的分式方程 有解，∴5-a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得： ， ∴ 且 ，即a≠5，a≠0， 综上所述：关于x的分式方程 有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D． 【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不 等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视． 5．(2022·广东·高州八年级阶段练习)已知关于 的分式方程 的解为负数，求m的取值范围． 【答案】m>1且m≠2 【分析】将m当成常数，解分式方程，再根据分式方程解的情况，列不等式求解即可． 【详解】 ， 解： ， ， ， ∵方程的解为负数 ∴1-m＜0 ∴ m>1∵ x≠-1 ∴ m≠2 ∴ m>1且m≠2 故答案为：m>1且m≠2． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围：将参数当成常数正确的解出分式方程的根是 解题的关键，在求参数的值时，要注意分式的分母不能为0． 6．(2022·河北张家口·初三二模)甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流 航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为 xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为( ) 180 120 180 120 180 120 180 120 A． x6= x6 B． x6= x6 C． x6= x D． x = x6 【答案】A 分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案． 180 120 【解析】设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为： x6= x6． 故选A． 点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键． 7．(2022·山东枣庄二模)若整数a使关于x的分式方程 ﹣2＝ 有整数解，则符合条件的所有a之 和为( ) A．7 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，据此计算即可． 【详解】解：解分式方程 ﹣2＝ ，得：x＝ ， ∵分式方程的解为整数，且x≠2， ∴当a＝﹣1时，x＝-1； 当a＝1时，x＝-2； 当a＝2时，x＝-4； 当a＝4时，x＝4； 当a＝5时，x＝2(不符合题意，故舍去)；当a＝7时，x＝1； 故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 8．(2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习)某中学组织学生去离学校 的东山农场，先遣队与 大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，若先遣队比大队早到了 ，设大队的速度为 ，可得方程为_____________． 【答案】 【分析】设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，根据先遣队比大队早到0.5h列出分式方程 求解即可． 【详解】解：设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h， 根据题意得： ，故答案为： ． 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键． 9．(2022·江苏新吴·八年级期末)某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元 购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．(1)第一批笔记本每本进价 多少元？(2)王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要 使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？ 【答案】(1)第一批笔记本每本进价为8元；(2)剩余的笔记本每本最低打七五折． 240 【分析】(1)设第一批笔记本每本进价为 x 元，则第二批每本进价为x2元，则第一批购进 x 本，第二 600 批购进 本，结合第二批的数量等于第一批的2倍，列方程，解方程即可； x2 y (2)由(1)得第二批购进60本，设剩余的笔记本每本最低打 折，由第二批笔记本的销售总利润不少于48元， 列不等式，再解不等式可得答案. x x2 【详解】解：(1)设第一批笔记本每本进价为 元，则第二批每本进价为 元 240 600 由题意得： 2 解之得： 经检验 为原方程的解 x x2 x8 x8 答：第一批笔记本每本进价为8元． 600 (2)设剩余的笔记本每本最低打y折，而第二批购进 82 60本， y  12106060%12 106040%48 由题意得：  10  解之得：y7.5 答：剩余的笔记本每本最低打七五折 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟悉购买数量等于购买总金额除以单价， 每本笔记本的利润乘以销售的数量等于总利润是解本题的关键. 10．(2022·山东德州·八年级期末)某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进 价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定 为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量 的一半，该商店有几种进货方案？ 【答案】(1)A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元；(2)商店共有5种进货方案 【分析】(1)设A种商品每件的进价是x元，根据用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量 相同，列分式方程，解出可得结论； (2)设购买A种商品a件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，A种商品的数量不低于 B种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论． 【解析】 (1)设A种商品每件进价x元，则B种商品每件进价 元， 由题意得： ，解得： ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， (元)， 答：A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元． (2)设购买A种商品a件，则B种商 件， 由题意得： ，解得， ， ∵a为整数，∴ 、15、16、17、18，∴商店共有5种进货方案． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找 出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验． 11．(2021·浙江长兴·初二月考)某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学 捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元． (1)求文化官第一批购进书包的单价是多少？ (2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？ 【答案】(1)第一批购进书包的单价为80元(2)商店共盈利1350元 分析：(1)设第一批购进书包的单价为x元，则可以表示出第二批书包的单价为(x+4)元； 根据购进第一批和第二批书包的成本，可分别表示出购进第一批与第二批书包的数量； 利用等量关系“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答即可，注意分式方程要验根； (2)用每批书的数量乘以每本书的利润，再把两批书的利润相加. 【解析】 (1) 设第一批购进书包的单价为x元.依题意,得 , 整理,得20(x+4)=21x, 解得x=80. 检验：当x=80时，x(x+4)≠0∴x=80是原分式方程的解. 答:第一批购进书包的单价为80元. (2) =300+1050=1350 答:商店共盈利1350元. 点睛：列分式方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出能够表示题目全部含x的相等关系， 列出分式方程；④解分式方程；⑤验根；⑥写出答案.本题第(1)问，即是根据“第二批所购数量是第一批购 进数量的3倍”列方程解答的. 题组C 培优拔尖练 1．(2020·黑龙江鹤岗市·中考真题)已知关于 的分式方程 的解为非正数，则 的取值范围 是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．【详解】解：方程 两边同时乘以 得： ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵解为非正数，∴ ，∴ ，故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解 法是解题的关键． 2．(2022·安徽霍邱·七年级期末)已知关于x的分式方程 的解满足2＜x＜5，则k的取值范 围是( ) A．﹣7＜k＜14 B．﹣7＜k＜14且k≠0 C．﹣14＜k＜7且k≠0 D．﹣14＜k＜7 【答案】C 【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解满足2＜x＜5和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵ ，∴ ，∴ ， ∵分式方程 的解满足2＜x＜5，∴ ，解得 且 ，故选C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌 握相关知识进行求解． 3．(2022·重庆市育才中学九年级阶段练习)若关于x的一元一次不等式组 无解，且关于y的分式 方程 的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和为( ) A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先解不等式组，然后根据一元一次不等式组无解确定 的取值范围，最后根据分式方程的解为正数确定 的值即可解答． 【详解】解： ， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∵不等式组无解， ∴ ， 解得： ， ， 去分母得： ， 解得： 且 ， ∴ 或 或 或 或 ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是 解题的关键． 4．(2022·重庆一中九年级阶段练习)“遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节， 是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销 量之比为 ，青蟹、大闸蟹的销量之比为 ，梭子蟹、青蟹的单价之比为 ，大闸蟹的单价比青餐高 ．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭 子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的 ，梭子蟹、青蟹的销量之比为 ．10月8日，大闸蟹因为单 价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额， 梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为 ，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销售额之比为 ，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．【答案】 【分析】设10月1日，大闸蟹的销量为 ，则青蟹的销量为 ，梭子蟹的销量为 ，设梭子蟹的单价为 ，则青蟹的单价为 ，大闸蟹的单价为 ，则10月1日，大闸蟹的销售额为 ，青蟹的销售额为 ，梭子蟹的销售额为 ，由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即 ，设10月8日，大闸蟹 的销量为m，可得在10月8日，大闸蟹的销量为 ，设10月8日，青蟹的销量为 ，则梭子蟹的销量为 ，即10月8日，青蟹的销量为 ，梭子蟹的销量为 ，设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单 价为N，由题意得： ，即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为 ，则问 题随之得解． 【详解】∵10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为 ，青蟹、大闸蟹的销量之比为 ， ∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的销量之比为 ， ∵10月1日，梭子蟹、青蟹的单价之比为 ，大闸蟹的单价比青餐高 ， ∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的单价之比为 ， 设10月1日，大闸蟹的销量为 ，则青蟹的销量为 ，梭子蟹的销量为 ， 设梭子蟹的单价为 ，则青蟹的单价为 ，大闸蟹的单价为 ， 则10月1日，大闸蟹的销售额为 ，青蟹的销售额为 ，梭子蟹的销售额为 ， 由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即 ， 设10月8日，大闸蟹的销量为m， 由题意得： ，解得 ，即在10月8日，大闸蟹的销量为 ， 设10月8日，青蟹的销量为 ，则梭子蟹的销量为 ， 由题意得： ，解得 ，则 ， 即10月8日，青蟹的销量为 ，梭子蟹的销量为 ， 设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N， 则在10月8日梭子蟹的总销售额为 ，青蟹的总销售额为 ，由题意得：，解得： ， 即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查应用类问题，重点是假设未知数，解题的关键是厘清题中给出的众多的量之间的关系． 5．(2022·厦门双十中学海沧附属学校)观察分析下列方程：① ；② ；③ ．请利用 它们所蕴含的规律，求关于 的方程 (n为正整数)的根，你的答案是_____． 【答案】x=n+4或x=n+5 【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可． 【详解】解： ，解得： 或 ； ，解得： 或 ； ，解得： 或 ；得到规律 ，的解为： 或 ； 所求方程整理得： ，根据规律得： 或 ， 解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+5 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键． 6．(2022·河北·邢台市八年级阶段练习)已知，关于 的分式方程 ． (1)当 ， 时，求分式方程的解；(2)当 时，求 为何值时分式方程 无解； (3)若 ，且 、 为正整数，当分式方程 的解为整数时，求 的值． 【答案】(1) (2) 或 (3)3、29、55、185 【分析】(1)将 和 的值代入分式方程，解分式方程即可； (2)把 的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论 的值，使分式方程无解即可；(3)将 代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和 为正整数确 定 的取值． (1) 解：把 ， 代入分式方程 中，得 方程两边同时乘以 ， ∴ ， 检验：把 代入 ≠0， 所以原分式方程的解是 ． 答：分式方程的解是 ． (2) 把 代入分式方程 得 方程两边同时乘以 ， ①当 时，即 ，方程无解； ②当 时， 时，分式方程无解，即 ， 不存在；时，分式方程无解，即 ， ． 综上所述， 或 时，分式方程 无解． (3) 把 代入分式方程 ，得： 方程两边同时乘以 ， 整理得： ∴ ，且 为正整数， 为整数 必为195的因数， ∵195=3 5 13 的×因×数有1、3、5、13、15、39、65、195 但1、3、5 小于11，不合题意，故 可以取13、15、39、65、195这五个数． 对应地，方程的解 为3、5、13、15、17 由于 为分式方程的增根，故应舍去． 对应地， 只可以取3、29、55、185 所以满足条件的 可取3、29、55、185这四个数． 【点睛】此题考查了分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问 题的前提，其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方 程去分母后的整式方程的解是分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 7．(2022·重庆·黔江区育才初级中学校八年级期中)已知关于x的分式方程 (1)已知m=4，求方程的解；(2)若该分式方程无解，试求m的值． 【答案】(1)x＝−1(2)m＝−1或−6或 ． 【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值； (2)分式方程去分母转化为整式方程，求解得到 ，由分式方程无解，得到m＋1＝0或(x＋2)(x−1)＝ 0，解m＋1＝0可求得一个m的值，将x＝−2或x＝1代入整式方程即可求出另外两个m的值． (1) 解：分式方程去分母得：2(x＋2)＋mx＝x−1， 整理得：(m＋1)x＝−5． 当m＝4时，(4＋1)x＝−5， 解得：x＝−1 经检验：x＝−1是原方程的解． (2) 解：分式方程去分母得：2(x＋2)＋mx＝x−1， 整理得：(m＋1)x＝−5． ∴ ∵分式方程无解， ∴m＋1＝0或(x＋2)(x−1)＝0， 当m＋1＝0时，m＝−1； 当(x＋2)(x−1)＝0时，x＝−2或x＝1． 当x＝−2时m＝ ； 当x＝1时m＝−6， ∴m＝−1或−6或 时该分式方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求 解．解分式方程一定注意要验根． 8.(2022·河南·初二期中)某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公 45 60 45 100 司现有 座和 座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比 座的贵 元．(1)2 60 5 45 1600 45 60 会务组第一天在这家公司租了 辆 座和 辆 座的客车，一天的租金为 元，求 座和 座的客 车每辆每天的租金各是多少元？(2)由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案， 1 45 30 2 60 方案 ：若只租用 座的客车，会有一辆客车空出 个座位；方案 ：若只租用 座客车，正好坐满且 45 1,2 比只租用 座的客车少用两辆。①请计算方案 的费用； ②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑， 还有其他方案吗？ 【答案】(1)45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元；(2)①方案1 的费用为1200元，方案2的费用为1200元；②有，方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆 【分析】(1)设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为(x+100)元，根据题 意可得等量关系：2辆60座的一天的租金+5辆45座的一天的客车的租金=一天的租金为1600元；根据等 量关系列出方程，再解即可； (2)①设参会人员为y人，由题意列出方程，得出y=240，即可求出方案1、2的费用； ②方案3：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，求出费用=1100元，即可得出结论． 【解析】解：(1)设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为(x+100)元， 则：2(x+100)+5x=1600，解得：x=200，∴x+100=300， 答：45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元； y30 y (2)设参会人员为y人，由题意得：  2，解得：y=240， 45 60 ①方案1的费用：(240+30)÷45×200=1200(元)，方案2的费用：240÷60×300=1200(元)， ②有方案3：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，理由如下： 共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆， 费用：4×200+300=1100(元)＜1200元，∴最终租车方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用；根据题意列出方程是解题的关键． 9．(2022·湖南学八年级阶段练习)某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧 路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工 效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设路面的长度；(2)若市政部门原 来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工 程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．【答案】(1)原计划每天铺设管道的长度为 (2)够；理由见解析 【分析】(1)设原计划每天铺设管道的长度为 ，则增加后每天的工作效率为 ，找出等量关系： 铺设 的时间 铺设 的时间 天，列方程求解即可； (2)分别得到两种不同的工作效率所用的时间，进一步得到各自需要的工资，相加即可求解． (1) 解：设原计划每天铺设 管道，则后来的工作效率为 ， 根据题意，得 ， 解得： ， 经检验： 是原分式方程的解． 答：原计划每天铺设管道的长度为 ． (2)解：够； 理由： ， (元 , ． 现市政部门为完成整个工程所准备的流动资金够支付工人工资． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间 工作量 工作效率，解答本题的关键 是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．