文档内容
专题 16.1 二次根式
1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
知识点01 二次根式的相关概念
【知识点】
1.二次根式的定义：我们把形如 ( ) 的式子叫做根式； 叫做被开方数； 叫做二次根号；根
式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证
被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【知识拓展1】二次根式的识别
例1．(2022·云南昭通·八年级期中)在下列代数式中，不是二次根式的是( )
A． B． C． D．
【即学即练】
1．(2022·辽宁大连·八年级期末)下列各式中是二次根式的为( )
A．a+b B． C． D．
【知识拓展2】根据二次根式的定义求字母的值
例2．(2022·广东惠州·八年级期末)使 是整数的正整数 的最小值为___________．
【即学即练】
2．(2022·北京朝阳·八年级期末)若 是整数，则正整数n的最小值是( )A．3 B．7 C．9 D．63
【知识拓展3】根据二次根式有意义条件求范围
例3．(2022·安徽·定远县八年级阶段练习)在函数 中，自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D． 且
【即学即练3】
3．(2022·河北保定·八年级期中)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【知识拓展4】根据二次根式有意义条件求值
例4．(2022·重庆市八年级期中)若 ，则 的值是( )
A．5 B．1 C． D．2
【即学即练4】
4．(2022·广西贺州·八年级期中)若 ，则 等于( )
A．－1 B．1 C． D．0
知识点02 二次根式的性质
【知识点】
二次根式的性质： ① ， (双重非负性)
【知识拓展1】二次根式的性质化简绝对值(1)
例1．(2022·湖北十堰·八年级阶段练习)已知x满足|2021﹣x|+ ＝x，那么x﹣20212的值为( )
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【即学即练1】
1．(2022·福建龙岩·七年级期中)已知 ，求 的值．【知识拓展2】二次根式的化简绝对值(2)
例2．(2022·山东淄博·八年级期末)已知等式 成立，化简|x﹣6|+ 的结果为 _____．
【即学即练2】
2．(2022·浙江杭州·八年级期中)在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2 的结果
为( )
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
3.(2022·福建·福鼎市第四中学八年级阶段练习)计算 的值为( )
A． B． C． D．
【知识拓展3】复合二次根式的化简(二重根号)
例3． (2022·福建·柘荣县八年级阶段练习)有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 ， ，
使 并且 ，则将 变成 ，开方，从而使得 化简．
例如：化简：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：(1) (2)
【即学即练3】
3．(2022·湖南怀化·八年级期末)同学们，我们以前学过完全平方公式 ，你一定熟练掌
握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数(以及0)都可以看作是一个数的平方，如， ，下面我们观察： ，反之，
，∴ ，∴
求：(1) ；(2) ；
(3)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
4．(2022·湖北随州·八年级期中)阅读下面材料，回答问题：
(1)在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简 ．(3)计算： ．
题组A 基础过关练
1．(2022·四川·泸县五中八年级期中)下列式子中是二次根式的是( )
A． B． C． D．2．(2022·广西钦州·八年级期中)若 ， 为实数，且 ，则代数式 的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．(2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末)下列各式中，无意义的是( )
A． B． C． D．
4．(2022·河北廊坊·八年级阶段练习)若 ，则 的值为( )
A．3 B．-3 C．2 D．-2
5．(2022·陕西西安·八年级期中)化简 得( )
A． B． C． D．
6．(2022·浙江杭州·八年级期末)当a＝3时，二次根式 的值是______．
7．(2022·河南驻马店·九年级期中) 中变量x的取值范围是________．
8．(2022·北京密云·八年级期末)若 ，则 可化简为______________．
9．(2022·河南·安阳县北郭乡第一初级中学八年级阶段练习)已知 ， 都是实数，如果
，那么 的值是_______．
10．(2022·湖北孝感·八年级阶段练习)若 2﹣x，则x的取值范围是 _____．
题组B 能力提升练
1.(2022·山东烟台·八年级期末)若 是整数，则正整数 的最小值是( )
A．1 B．3 C．6 D．12
2．(2022·山东威海·八年级期中)若 成立，且b>0，则a取值范围是( )
A．a<0 B．a>0 C． D．
3．(2022·四川南充·中考真题)若 为整数，x为正整数，则x的值是_______________．4．(2022·湖北·嘉鱼县教学研究室八年级期末)代数式 的最小值为__________．
5．(2021·贵州黔西·九年级期末)当 时，化简 ___________．
6．(2022·河北邢台·八年级期末)若 是二次根式，则a的取值范围是______；若 是正整数，则
正整数a的最小值是______．
7．(2022·四川绵阳·八年级期中)若a，b为实数， ，则 _________．
8．(2022·山东济宁·八年级期中)已知a满足 ．
(1) 有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将 去掉绝对值符号可得
______．(2)根据(1)的分析，求 的值．
9．(2022·山东·德州市八年级期中)阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简∶
解∶隐含条件 ，解得：
∴
∴原式
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．(3)已知a，b，c为ABC的三边长．化简：
10．(2022·广东·佛山市八年级期中)先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简 经过思考，肖战解决这个问题的
过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________
(2)根据上述材料中得到的启发，化简 ﹒
题组C 培优拔尖练
1．(2022·山东临沂·八年级期末)若 成立，则a，b满足的条件是( )
A． 且 B． 且 C． 且 D．a，b异号
2．(2022·湖北武汉·八年级期中)已知n是正整数， 是整数，则n的最小值是_____．
3．(2022·四川乐山·九年级期中)若三角形的三边长为 、 、 ，化简 _______．
4.若z适合 ，求z的值．5．(2022·福建漳州·九年级期中)求代数式 ， ，如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)______的解法是正确的；
(2)化简代数式 ，(其中 )；
(3)若 ，直接写出 的取值范围．
6．(2022·全国·九年级专题练习)数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结
构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝(a±b)2，那么 ，如何将双重
二次根式 化简．我们可以把 转化为 完全平方的形式，因此
双重二次根式 得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若 则称点Q为
点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣
2，﹣5)．问题：
(1)点 的“横负纵变点”为 ，点 的“横负纵变点”为 ；
(2)化简：7．(2022·河南安阳·八年级阶段练习)先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 ， 使 ， ，这样 + ＝m， •
＝ ，那么便有 ＝ ＝ ± (a＞b)例如：化简
解：首先把 化为 ，这里m=7，n=12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即 ， ，
∴ ＝ ＝ ＝
由上述例题的方法化简：(1) ；(2) ；(3) ．
8．(2022·湖南永州·八年级期末)观察下列各式及其化简过程：
，
．
(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将 化简；
(2)化简 ；
(3)针对上述各式反映的规律，请你写出 中，m，n与a，b之间的关系．
