文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
22.1.4 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图像和性质
题型导航
题型1
二次函数的图像和性质
题型2
二次函数的图像与各项系数符号问题
二
次
题型3
待定系数法求二次函数解析式
函
数
题型4
二次函数图像的平移
题型5
一次函数与二次函数综合问题
题型6
利用二次函数的对称性求最短路径
题型变式
【题型1】二次函数的图像和性质
1．（2022·河南新乡·二模）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A． ，x＝2 B． ，x＝2 C． ，x＝－2 D． ，x＝2
【答案】A
【解析】
【分析】
将题目中函数解析式化为顶点式，从而可以得到该函数的顶点坐标和对称轴，本题得以解决．
【详解】
解：∵y=-x2+4x+7
=-（x-2）2+11，∴该函数的顶点坐标是（2，11），对称轴是直线x=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的顶点式解答．
【变式1-1】
2．（2022·浙江温州·模拟预测）若抛物线 与x轴只有一个交点，且过点 ， ，
则n的值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据A、B的坐标易得抛物线的对称轴，再通过设顶点式，代入坐标，可得n的值．
【详解】
过点 ，
是抛物线的对称轴．
抛物线 与x轴只有一个交点．
顶点坐标为：
设抛物线的解析式为：
把 代入，得：
解得： ．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的解析式，解决问题的关键在于找到顶点坐标，根据顶点坐标设
解析式．【题型2】二次函数的图像与各项系数符号问题
1．（2022·贵州遵义·二模）已知二次函数 （a，b，c为常数， ）的部分图象如图所示，
则下列结论正确的有______．（填序号）
① ；② ；③ ；④若当 时， ，则有 ．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据开口方向确定 的正负，根据对称轴的位置确定 的正负，根据抛物线与 轴的交点确定 的正负，由
此判断①；由抛物线的对称轴为 可求得 与 的等量关系，由此判断②；根据 与 时函数值
的正负判断③；由 与 时的函数值正负求出 的取值范围，由此判断④．
【详解】
解： 抛物线开口向下，对称轴在 轴左侧，与 轴交于正半轴，
， ， ，
， ， ，
，①错误；
抛物线的对称轴为直线 ，
，即 ，
，②正确；
由图可知，当 时， ，当 时， ，
，即 ，
，③错误；若当 时， ，则 ，
又 ，
该抛物线的表达式为 ，
由图可知，当 时， ；当 时， ．
，解得 ，④正确．
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，若二次函数 的图象的对称轴为直线 ，与
轴交于点 ，与 轴交于点 、点 ，则下列结论：① ；②二次函数的最大值为 ；③
；④ ；⑤当 时， ．⑥ ；其中正确的结论有________．
【答案】②⑤⑥
【解析】
【分析】
根据对称轴在 轴的右侧，与 轴相交在正半轴，可判定①；
由顶点坐标即可判断②；
由 即可判断③；由抛物线与 轴有两个交点即可判断④；
有抛物线与 轴交点的横坐标即可判断⑤；
由对称轴方程得到 ，由 时函数值为 即可判断⑥．
【详解】
解： 二次函数对称轴在 轴的右侧，与 轴相交在正半轴， ，故①不正确；
二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ，且开口向下，二次函数的最大值为 ，
故②正确；
抛物线过 ，
时， ，即 ，
故③不正确；
抛物线与 轴有两个交点，
，
故④正确；
对称轴为直线 ， ，
，
有图象可知， 时， ，
故⑤正确；
，即 ，
而 时， ，即 ，
，
，
故⑥正确，
故答案为：②⑤⑥．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象与 轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键．【题型3】待定系数法求二次函数的解析式
1．（2022·山东德州·二模）已知 ，y与x的部分对此值如下表：
－
x …… －2 0 2 ……
1
－
y …… －3 －3 5 ……
4
则一元二次方程 的解为__________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
根据题意将 ， ， 代入 ，列出方程组，求出 、 、 ，再求解方程．
【详解】
解：依题意有：将 ， ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
，
解得： ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求解一元二次方程，解题的关键是利用待定系数法求解出解
析式．
【变式3-1】
2．（2022·安徽·三模）已知抛物线 ，其中 为实数．
（1）若抛物线经过点 ，则 ________；
（2）该抛物线经过点 ，已知点 ， ，若抛物线与线段 有交点，则 的取值范围为
________．
【答案】 4
【解析】
【分析】
（1）将点（1,4）代入解析式求解即可；
（2）将 代入抛物线 ，可得 ，化简解析式为顶点式，根据题意分两种情况进
行讨论分析求解即可．
【详解】
解：（1）将点（1,4）代入解析式可得：
4=a+b-a，
解得b=4，
故答案是：4；
（2）将 代入抛物线 ，
可得 ，则 ，
∵抛物线与线段BC有交点，
∴ 在对称轴上， 在对称轴右侧．
当 时，如图所示：，无解；
当 时，如图所示：
，
解得 ，
故答案为：①4；② ．
【点睛】
题目主要考查二次函数的基本性质及分类讨论思想，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【题型4】二次函数图像的平移
1．（2022·山西大同·二模）把函数 的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式
为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图像平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】
解：∵y=x2−2x+3=(x−1)2+2，
∴把函数y=x2−2x+3y的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为：y=[(x−1)+1]2+2=x2+2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是熟练掌握图像平移时函数表达式的变化特点．
【变式4-1】
2．（2022·江苏·东海县教育局教研室二模）把抛物线 的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单
位后，所得图像的函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”进行分析即可．
【详解】
解：将抛物线 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，再向上平移 个单位，得到
函数 的图象．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了函数图象的平移变换，熟练掌握函数图象的平移规则是解题的关键．【题型5】一次函数与二次函数综合问题
1．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，直线y＝kx＋h和抛物线 交于 、 两
点，则关于x的不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象直线在抛物线上方的部分即可得出答案．
【详解】
解：由 知，
即图象上直线在抛物线上方的部分，
由图象可知x的取值范围 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查二次函数与不等式的关系，关键是要会把数和形有机结合．
【变式5-1】
2．（2021·河南许昌·九年级期中）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A、B两点，且
点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标为6则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＜0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax²（a≠0）的函数值都随着x的增大而减小；③AB的长度可
以等于8；④△OAB不可能成为等边三角形；⑤当﹣6＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是 _____．（填序号）
【答案】①④⑤
【解析】
【分析】
①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y=kx+b当y的值随的x的增大而增大，抛物线当x大于0时y的值随的x的增大
而增大，本选项错误；
③AB长不可能为8，由A、B的横坐标求出AB为8时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾；
④△OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等，本选项正确；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=-kx+b与抛物线交点横坐标分别为-6与
2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
【详解】
解：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：一次函数y=kx+b当y的值随的x的增大而增大；
抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时y的值随的x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增
大而增大，本选项错误；
③由A、B横坐标分别为-2，6，若AB=8，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为8，本选项错误；
④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项正确；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为-6，2，
由图象可得：当-6＜x＜2时，ax2＜-kx+b，即ax2+kx＜b，本选项正确；
则正确的结论有①④⑤．
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函数的增减性，关于
y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题⑤的关键．
【题型6】利用二次函数的对称性求最短路径
1．（2022·四川省渠县中学二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛
物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周
长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于
x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、
G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．【详解】
解：如图，
在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1），
∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
∴对称轴为x=1，顶点D（1，2），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
= ，
∴四边形EDFG的周长的最小值为： ．
故答案是： ．
【点睛】
本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题
的关键．
【变式6-1】
2．（2021·四川绵阳·一模）如图，抛物线 与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_____．
【答案】(2， )##
【解析】
【分析】
点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．
【详解】
解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
连接AC，由点的对称性知，MA=MB，
MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，
△
令y= x2- x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x= （1+3）=2，
设直线BC的表达式为y=kx+b，则
，解得 ，故直线BC的表达式为y=- x+5，
当x=2时，y=- x+5= ，
故点M的坐标为（2， ）．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定
最短路线是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·安徽·模拟预测）已知抛物线 经过点 ，且该抛物线的对称轴经过点A，则该
抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线图象性质可得A点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.
【详解】
∵抛物线 经过点 ，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是 ，∴ ，
解得 ，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为 .
故选D.
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式.
2．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数 的图象与一次函数 在同一平面直角坐标
系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先分析二次函数 的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数 的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】
二次函数 的对称轴为 ，一次函数 的图像恒过定点 ，所以一次函
数的图像与二次函数的对称轴的交点为 ，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数
的图像恒过定点 ，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
3．（2020·浙江温州·九年级阶段练习）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，则下列
结论：①4a + 2b + c > 0 ；②y随x的增大而增大；③方程ax2 + bx + c = 0两根之和小于零；④一
次函数y = ax + bc的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的图象可知x=2时，函数值的正负性；并且可知与x轴有两个交点，即对应方程有两个实数根；
函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；由函数的图象还可知b、c的正负性，一次函数y=ax+bc所
经过的象限进而可知正确选项．
【详解】
∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值为正，即4a+2b+c＞0，故①正确；
∵因为抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故②
错误；
∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根，且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零，故③错误；
∵由图象开口向上，知a＞0，与y轴交于负半轴，知c＜0，由对称轴 ，知b＜0，
∴bc＞0，
∴一次函数y=ax+bc的图象一定经过第二象限，故④错误；
综上，正确的个数为1个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及一次函数的图象，利用了数形结合的思想，此类题涉及的知
识面比较广，能正确观察图象是解本题的关键．
4．（2021·江苏苏州·中考真题）已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移
3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是（ ）
A． 或2 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：函数 向右平移3个单位，得： ；
再向上平移1个单位，得： +1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴ +1即
解得： 或
∵抛物线 的对称轴在 轴右侧
∴ ＞0
∴ ＜0
∴
故选：B．【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（2021·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像向左平移2个单位长度，
再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵ 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为
（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 ，
故选B
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，
是解题的关键．
6．（2021·江苏苏州·一模）若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x
的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意开口向上，且对称轴− ≥−1，a＋b＝1，即可得到− ≥−1，从而求解．
【详解】
由二次函数y＝ax2+bx可知抛物线过原点，∵抛物线定点（1，1），且当x＜-1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，且对称轴− ≥−1，a＋b＝1，
∴a＞0，b＝1﹣a，
∴﹣ ≥﹣1，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得关于a的不等式组是
解题的关键．
二、填空题
7．（2022·广东·九年级专题练习）二次函数 的图象开口向下，则m__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数 的图象开口向下可得 ，求解即可．
【详解】
解：∵二次函数 的图象开口向下，
∴ ，
解得： ，故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟知一元二次方程 ， 开口向上； ，
开口向下是解本题的关键．
8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于
0时x的取值范围为_____．
【答案】﹣1＜x＜3．
【解析】
【分析】
根据图象直接可以得出答案
【详解】
如图，从二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象中可以看出
函数值小于0时x的取值范围为：﹣1＜x＜3
【点睛】
此题重点考察学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键
9．（2021·山东菏泽·中考真题）定义： 为二次函数 （ ）的特征数，下面给出特
征数为 的二次函数的一些结论：①当 时，函数图象的对称轴是 轴；②当 时，函
数图象过原点；③当 时，函数有最小值；④如果 ，当 时， 随 的增大而减小，其中所有
正确结论的序号是______．
【答案】①②③．【解析】
【分析】
利用二次函数的性质根据特征数 ，以及 的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确
定正确的答案．
【详解】
解：当 时，
把 代入 ，可得特征数为
∴ ， ， ，
∴函数解析式为 ，函数图象的对称轴是 轴，故①正确；
当 时，
把 代入 ，可得特征数为
∴ ， ， ，
∴函数解析式为 ，
当 时， ，函数图象过原点，故②正确；
函数
当 时，函数 图像开口向上，有最小值，故③正确；
当 时，函数 图像开口向下，
对称轴为：
∴ 时， 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
10．（2021·广东·广州市南武中学九年级期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）
对应值列表如下：x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -4 -3 -4 -7 -12 …
则该图象的对称轴是___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．
【详解】
解：由表格可得，当x取-3和-1时，y值相等，
该函数图象的对称轴为直线 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称
性解答．
11．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数 （ 是常数， ）的 与 的部分对
应值如下表：
0 2
6 0 6
下列结论：
① ；
②当 时，函数最小值为 ；
③若点 ，点 在二次函数图象上，则 ；
④方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；
把点 和点 代入解析式求出y、y 即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可
1 2
判断④，进而可得答案．
【详解】
解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式是 ，
∴a=1＞0，故①正确；
当 时，y有最小值 ，故②错误；
若点 ，点 在二次函数图象上，则 ， ，∴ ，故③正确；
当y=﹣5时，方程 即 ，∵ ，∴方程 有两个不相
等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别
式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
12．（2018·全国·九年级单元测试）小亮同学在探究一元二次方程 的近似解时，填好了下面
的表格：
根据以上信息请你确定方程 的一个解的范围是________．
【答案】【解析】
【分析】
观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，
对应的x的值在3.24＜x＜3.25之间．
【详解】
根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24
