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2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
22.1.4 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图像和性质
题型导航
题型1
二次函数的图像和性质
题型2
二次函数的图像与各项系数符号问题
二
次
题型3
待定系数法求二次函数解析式
函
数
题型4
二次函数图像的平移
题型5
一次函数与二次函数综合问题
题型6
利用二次函数的对称性求最短路径
题型变式
【题型1】二次函数的图像和性质
1．（2022·河南新乡·二模）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A． ，x＝2 B． ，x＝2 C． ，x＝－2 D． ，x＝2
【变式1-1】
2．（2022·浙江温州·模拟预测）若抛物线 与x轴只有一个交点，且过点 ， ，
则n的值为_______．【题型2】二次函数的图像与各项系数符号问题
1．（2022·贵州遵义·二模）已知二次函数 （a，b，c为常数， ）的部分图象如图所示，
则下列结论正确的有______．（填序号）
① ；② ；③ ；④若当 时， ，则有 ．
【变式2-1】
2．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，若二次函数 的图象的对称轴为直线 ，与
轴交于点 ，与 轴交于点 、点 ，则下列结论：① ；②二次函数的最大值为 ；③
；④ ；⑤当 时， ．⑥ ；其中正确的结论有________．
【题型3】待定系数法求二次函数的解析式
1．（2022·山东德州·二模）已知 ，y与x的部分对此值如下表：－
x …… －2 0 2 ……
1
－
y …… －3 －3 5 ……
4
则一元二次方程 的解为__________．
【变式3-1】
2．（2022·安徽·三模）已知抛物线 ，其中 为实数．
（1）若抛物线经过点 ，则 ________；
（2）该抛物线经过点 ，已知点 ， ，若抛物线与线段 有交点，则 的取值范围为
________．
【题型4】二次函数图像的平移
1．（2022·山西大同·二模）把函数 的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式
为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】
2．（2022·江苏·东海县教育局教研室二模）把抛物线 的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单
位后，所得图像的函数表达式是______．
【题型5】一次函数与二次函数综合问题1．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，直线y＝kx＋h和抛物线 交于 、 两
点，则关于x的不等式 的解集是______．
【变式5-1】
2．（2021·河南许昌·九年级期中）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A、B两点，且
点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标为6则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＜0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax²（a≠0）的函数值都随着x的增大而减小；③AB的长度可
以等于8；④△OAB不可能成为等边三角形；⑤当﹣6＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是 _____．
（填序号）
【题型6】利用二次函数的对称性求最短路径
1．（2022·四川省渠县中学二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周
长的最小值为______．
【变式6-1】
2．（2021·四川绵阳·一模）如图，抛物线 与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M
的坐标是_____．
专项训练
一．选择题
1．（2022·安徽·模拟预测）已知抛物线 经过点 ，且该抛物线的对称轴经过点A，则该
抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．2．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数 的图象与一次函数 在同一平面直角坐标
系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·浙江温州·九年级阶段练习）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，则下列
结论：①4a + 2b + c > 0 ；②y随x的增大而增大；③方程ax2 + bx + c = 0两根之和小于零；④一
次函数y = ax + bc的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2021·江苏苏州·中考真题）已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移
3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是（ ）
A． 或2 B． C．2 D．
5．（2021·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像向左平移2个单位长度，
再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·江苏苏州·一模）若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·广东·九年级专题练习）二次函数 的图象开口向下，则m__________．
8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于
0时x的取值范围为_____．
9．（2021·山东菏泽·中考真题）定义： 为二次函数 （ ）的特征数，下面给出特
征数为 的二次函数的一些结论：①当 时，函数图象的对称轴是 轴；②当 时，函
数图象过原点；③当 时，函数有最小值；④如果 ，当 时， 随 的增大而减小，其中所有
正确结论的序号是______．
10．（2021·广东·广州市南武中学九年级期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）
对应值列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -4 -3 -4 -7 -12 …
则该图象的对称轴是___________
11．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数 （ 是常数， ）的 与 的部分对
应值如下表：
0 2
6 0 6
下列结论：① ；
②当 时，函数最小值为 ；
③若点 ，点 在二次函数图象上，则 ；
④方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
12．（2018·全国·九年级单元测试）小亮同学在探究一元二次方程 的近似解时，填好了下面
的表格：
根据以上信息请你确定方程 的一个解的范围是________．
三、解答题
13．（2021·广东·华南师大附中九年级阶段练习）已知抛物线 ．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m， ），N（2， ）在该抛物线上，若 ＞ ，求m的取值范围．
14．（2019·全国·九年级单元测试）已知抛物线y＝mx2－2mx－3.
(1)若抛物线的顶点的纵坐标是－2，求此时m的值；
(2)已知当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，求出这两个定点的坐
标.15．（2021·河南新乡·一模）二次函数 与 轴分别交于点 和点 ，与 轴交于点 ，直线
的解析式为 ， 轴交直线 于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2） 为线段 上一动点，过点 且垂直于 轴的直线与抛物线及直线 分别交于点 、 ．
直线 与直线 交于点 ，当 时，求 值．
16．（2021·河北石家庄·九年级期末）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点
，且 ， .（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是抛物线上一点．
①在抛物线的对称轴上，求作一点 ，使得 的周长最小，并写出点 的坐标；
②连接 并延长，过抛物线上一点 （点 不与点 重合）作 轴，垂足为 ，与射线 交于点
，是否存在这样的点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2021·河南驻马店·二模）如图所示，抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线与 轴交于
、 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结 ，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点 ，使 的面积最大？最大面积是多少？18．（2021·全国·九年级专题练习）如图，抛物线F： 的顶点为P，抛物线：与y轴交于点
A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：
，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了 ，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
