文档内容
15.3 分式方程及应用
【考点1:分式方程定义】
【考点2:分式方程的解】
【考点3:解分式方程】
【考点4:分式方程的增根】
【考点5: 分式方程应用-工程问题】
【考点6:分式方程应用-行程问题】
【考点7:分式方程应用-销售问题】
【考点8: 分式方程应用-方案问题】
【考点9: 分式方程应用-其他问题】
知识点1：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
【考点1:分式方程定义】
【典例1】下列式子中，是分式方程的是（ ）
x2+1 5 1 4x
A． = B． +
2 3 3x−1 3x+1
x 3 3−x x−4
C． − =1 D． +2=
2x−1 2x+1 4 3
【变式1-1】下列方程不是分式方程的是（ ）1 3x x 5 3 7 x+2 5
A． =1 B． − = C． = D． − =7
x 2 3 6 x−5 x x−1 1−x
【变式1-2】在下列各式中，属于分式方程的是（ ）
x+1 2x
A．2x−3 y=0 B． −3=
2 7
x+1 3 5
C． +3 D． =
x−2 x−2 x
【变式1-3】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
x 6 20 5
A． = B． = +1
5 x−5 x+1 x−1
3x x x
C． =5 D． = −x
x2+3 2 4
【考点2:分式方程的解】
2x−m
【典例2】关于x的分式方程 =3的解是负数，则字母m的取值范围是（ ）
x+1
A．m>−3 B．m>−3且m≠−2
C．m<−3 D．m<−3且m≠−2
a 1
【变式2-1】x=2是分式方程 = 的解，则a=（ ）
x x−3
A．2 B．−2 C．4 D．−4
2x−m
【变式2-2】如果关于x的分式方程 =1的解是负数，那么实数m的取值范围为 ．
x+1
m 2
【变式2-3】若关于x的分式方程 − =1的解是正数，则m的取值范围是 ．
x−1 1−x
知识点2：分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，
再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【考点3:解分式方程】
【典例3】解分式方程
x 2 2x+9 4x−7
(1) + =3； (2) = +2
2x−1 1−2x 3x−9 x−3
【变式3-1】解分式方程：
4 6 3−2x x 7 6 3
(1) = ； (2) = −2； (3) − =
x x+2 x−2 2−x x2+x x2−1 x−x2
【变式3-2】解分式方程
1 1−x x−3 3
(1) = −3 (2) −1=
x−2 2−x x−2 x
【变式3-3】解分式方程：
3 x 2 4
(1) − =−2； (2) = ．
x−2 2−x x−1 x2−1
【考点4:分式方程的增根】
x−1 a
【典例4】若关于x的分式方程 = −2有增根，则a的值是 （ ）
x+1 x+1
A．−2 B．−1 C．0 D．1
x−1 a
【变式4-1】若关于x的分式方程 = −5有增根，则a的值是（ ）
x+2 x+2
A．−3 B．−2 C．1 D．5
2kx−1 2+k
【变式4-2】关于x的分式方程 + =3有增根，则k的值为 ．
x−2 2−x3x−2 m
【变式4-3】关于x的方程 =1+ 有增根，则m的值为 ．
x+1 x+1
知识点3：分式方程应用
类型一：工程问题
类型二：行程问题
类型三：销售问题
类型四：方案问题
类型四：其他问题
【考点5: 分式方程应用-工程问题】
【典例5】某厂家生产甲、乙两种电动汽车零部件，已知甲种零部件每件的成本比乙种零部件每件的成
本多1500元，且投入40000元生产甲种零部件的件数和投入28000元生产乙种零部件的件数相同；
(1)求甲、乙两种零部件每件成本各是多少元?
(2)如果两种零部件共生产70件，该厂家至少要投入290000元，那么，甲种零部件至少生产多少件?
【变式5-1】某市对一段全长2000米的道路进行改造．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，
实际施工时，若每天修路比原计划提高效率25%，就可以提前5天完成修路任务．
(1)求修这段路计划用多少天？
(2)有甲、乙两个工程队参与修路施工，其中甲队每天可修路120米，乙队每天可修路80米，若每天只
安排一个工程队施工，在保证至少提前5天完成修路任务的前提下，甲工程队至少要修路多少天？
【变式5-2】近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最
高洪峰在我市安全过境．9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市
政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的1.5倍，甲乙两工程队合作15天，余下的
任务甲工程队单独完成仍需5天完成．
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？
(2)经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施
工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？
【变式5-3】某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进
一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2
倍，照此进度预计可提前2年完成任务．
(1)原计划每年产量为多少万台？
(2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均
每年产量至少还要增加多少万台？
【考点6:分式方程应用-行程问题】
【典例6】一辆轿车原计划从甲地匀速行驶到距离200千米的乙地，出发后2小时内按原计划的速度行
驶，2小时后以原计划速度的2倍匀速行驶，结果比原计划提前1小时到达，求原计划的行驶速度．
【变式6-1】进入夏季用电高峰季节，市供电局维修队接到紧急通知：要到30千米远的某乡镇进行紧急
抢修，维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点，已知
抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度．
【变式6-2】广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24时正式通车运营，全长
49km的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长58km的普通公路，某
客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快30km/h，由高速公路从广南到那
洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时．
【变式6-3】2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，
串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车的路程为150千米，乘坐普通列车的路程
为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车
的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？
【考点7:分式方程应用-销售问题】
【典例7】哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，
5
很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的 倍，但进价比第一批每件多
3
了5元．
(1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？
(2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，
请问第二批哈密瓜赚了多少钱．
【变式7-1】元旦前夕，某超市用4000元购进若干节日贺卡，很快售完，该超市又用7500元购进同种
贺卡，第二批购入贺卡的数量比第一批多50%，每张贺卡的进价比第一批多0.5元．那么购入的第一批
贺卡的数量是多少张？
【变式7-2】党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大
报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共45个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购
买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个．
(1)求篮球和排球的单价分别是多少元？
(2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金为2200元，求购买篮球和排球各多少个？
【变式7-3】为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球．第一次用6000元
购进A品牌足球m个，第二次又用6000元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足
5
球的数量多30个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球进价的 ．
4
(1)求m的值；
4
(2)若这两次购进的A,B两种品牌的足球分别按照a元/个， a元/个的价格销售，全部销售完毕后，可
5
获得的利润不低于4800元．求出a的最小值．
【考点8: 分式方程应用-方案问题】
【典例8】深圳市某商场准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多30元，用3000元购
进足球和2100元购进排球的数量相同．
(1)每个足球和排球的进价分别是多少？
(2)根据对运动用品的市场调查，商场计划用不超过4800元的资金购进足球和排球共60个，其中足球
1
数量不低于排球数量 倍，该商场有几种进货方案？（不用写出具体方案）
3
【变式8-1】某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2
倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天．
(1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？
(2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货
物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢
的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最少是多少元？
【变式8-2】2024年成都世界园艺博览会的主题是“公园城市 美好人居”，成都市的市花芙蓉是本次
博览会的会花．现有A，B两种以芙蓉为主题的文创商品，已知360元购买的A种商品件数比540元购
买的B种商品件数少2件，B种商品单价是A种商品单价的1.25倍．
(1)求A、B两种商品的单价；
(2)现在购买一件B种商品赠送一件A种商品，若顾客需要两种商品共180件，费用不超过4590元，且B
4
种商品数量少于A种商品数量的 ，问采购方案有多少种？
5
【变式8-3】某快递公司采用A，B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控
机器人每小时多分拣30件快递，A型数控机器人分拣900件快递所用时间与B型数控机器人分拣600件
快递所用时间相等．
(1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
(2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分
拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案．
【考点9: 分式方程应用-其他问题】
【典例9】班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40L 新能源车
油价：8元/L
电池容量：60kW-h
续航里程：mkm 电价：1元/（kW⋅h）
320
续航里程：mkm
每千来行驶费用：
m 每千米行驶费用：_______元
元
若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元．(1)分别求出这两款车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买
新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用）？
【变式9-1】沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏
发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们实现
“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两
厂承包了部分光伏板的生产任务．
(1)若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多150块，甲
厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？
(2)若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多20%，甲、乙两厂各生产6000块光伏板时，乙厂比甲
厂多用2天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？
【变式9-2】随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G
产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生
产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求该厂家更新技术前每天生
产多少万件产品？
【变式9-3】2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等
方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，燃油汽车行驶1千
米所需的油费比电费多0.6元，若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的
4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．x 5 2 1+x 1 2
1．已知方程：① =2；② =2；③y= x；④ = ；⑤y+1= ；⑥1+3(x−2)=7−x，分式方
5 x 3 5+x 2 y
程的个数是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
2．甲、乙两个植树队参加植树造林活动，已知甲队每小时比乙队少种3棵树，甲队种60棵树与乙队种66
棵树所用的时间相同．若设甲队每小时种x棵树，则根据题意可列方程为（ ）
60 66 60 66 60 66 60 66
A． = B． = C． = D． =
x+3 x x−3 x x x+3 x x−3
2ax+3 5
3．关于x的方程 = 的根为x=2，则a应取值（ ）
a−x 4
A．1 B．3 C．−2 D．−3
x x−1
4．解分式方程 −2= 时，去分母正确的是（ ）
x−2 2−x
A．x−2=x−1 B．x−2(x−2)=x−1
C．x−2(x−2)=−x−1 D．x−2(x−2)=−x+1
2x
5．分式方程 =−1的解是（ ）
x−2
2 1 2
A．x=− B．x= C．x= D．方程无解
3 2 3
x+4 m
6．若分式方程 = 有增根，则m的值是（ ）
x−1 x−1
A．1 B．−4 C．3 D．5
1 1
7．对于非零的有理数a，b规定a*b= − ，若(x−2)*3=2，则x的值为（ ）
b a
7 5 3 1
A． B． C． D．−
5 4 2 6
x+k k
8．已知关于x的分式方程 − =1的解为负数，则k的取值范围是（ ）
x+1 x−11 1 1 1
A．k> 或k≠1 B．k≥ 且k≠1 C．k≤ 且k≠1 D．k< 或k≠1
2 2 2 2
x 2
9．分式方程 − =3的解为 ．
x−1 1−x
10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，
结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到
的方程是 ．
1 x
11．分式方程1− = 的解为 ．
x x−1
1 1 1
12．方程 + = 的正整数解(x,y)有 组．
x 8 y
13．解分式方程：
2 1 1 3 2x−5 3x−3
(1) = (2) +1= (3) = −3．
x−1 x x−1 2x−2 x−2 x−2
14．我区某葡萄种植庄园计划要在规定时间种植6000棵葡萄树．在实际施工时，参与种植人数比计划人数
多，这样每天实际种植葡萄树比原计划每天多20%，结果比原计划提前2天完成种植任务．原计划每
天种植多少棵葡萄树？
15．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻
器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变
阻器单价比甲种单价贵6元．
(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个
甲种滑动变阻器？16．景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是
每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬菜一共支付了120元，其中西红柿比土豆少10千克．
(1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？
(2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是64元和
1
80元，土豆的售价是西红柿售价的 ，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿的售价．
2
17．某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲
种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等．
(1)求甲、乙两种香椿每件的进价；
(2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200
件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价
提高了5%，则最多可购买乙种香椿多少件？
18．某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万
元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有
哪几种购买方案？
