文档内容
15.2.1 分式的乘除 教学设计
一、教学目标：
1.掌握分式的乘除运算法则.
2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．
二、教学重、难点：
重点：分式的乘除法法则的运用.
难点：进行分式的乘除运算.
三、教学过程：
问题引入
问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容
m
积的n 时，水面的高度为多少？
V
长方体容器的高为：ab
V m
⋅
水面的高度为：ab n (分式乘法)
问题2 大拖拉机 m 天耕地 a hm2，小拖拉机 n 天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖
拉机的工作效率的多少倍？
大拖拉机的工作效率是____hm2/天，小拖拉机的工作效率是____hm2/天，大拖拉机的工
a b
÷
作效率是小拖拉机的工作效率的(m n)倍.(分式除法)
知识精讲
根据分数的乘除法的法则计算：
2 4 2 4
× ÷
(1) 3 5 (2) 3 5
2 4 2×4 8 2 4 2 5 2×5 5
× = = ÷ = × = =
3 5 3×5 15 3 5 3 4 3×4 6
【分数的乘除法法则 】
两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
两个分数相除，把除式的分子分母颠倒位置后，再与被除式相乘.
思考：a c a c
× = ÷ =
b d ？，b d ？.
【分式的乘除法法则 】
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
a c a⋅c a c a d a⋅d
⋅ = ÷ = ⋅ =
b d b⋅d ，b d b c b⋅c .
典例解析
例1 计算：
4x y ab3 −5a2b2
⋅ ÷
(1)
3y 2x3
(2)
2c2 4cd
4x y 4xy 2
⋅ = =
解：(1)
3y 2x3 6x3y 3x2
ab3 −5a2b2 ab3 4cd 4ab3cd 2bd
÷ = ⋅ =− =−
(2)
2c2 4cd 2c2 −5a2b2 10a2b2c2 5ac
【点睛】分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运
算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算．对于除法运算要先转化为乘法，
再进行运算.如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.
【针对练习】计算：
(1) 3x y2 8z3(2) ab2 -3ax
⋅ ÷
4z2 y 2cd 4cd
解：（1）3x y2 8z3 24x y2z3 ；
⋅ = =6xyz
4z2 y 4 yz2
ab2 -3ax ab2 4cd 4ab2cd 2b2
解：（2） ÷ = - × = - =- .
2cd 4cd 2cd 3ax 6acdx 3x
例2 计算：
a2 −4a+4 a−1 1 1
⋅ ÷
(1) a2 −2a+1 a2 −4 (2) 49−m2 m2 −7m
a2 −4a+4 a−1 (a−2) 2 a−1 (a−2) 2 (a−1) a−2
⋅ = ⋅ = =
解：(1) a2 −2a+1 a2 −4 (a−1) 2 (a−2)(a+2) (a−1) 2 (a−2)(a+2) (a−1)(a+2)1 1 1 m(m−7) m
÷ =− ⋅(m2 −7m)=− =−
(2) 49−m2 m2 −7m m2 −49 (m+7)(m−7) m+7
【针对练习】计算:
(1) a+2 1 (2) a-1 a2-1
⋅ ÷
a-2 a2+2a a2-4a+4 a2-4
a+2 1 a+2 1 1
解：（1） ⋅ = ⋅ = ；
a-2 a2+2a a-2 a(a+2) a2-2a
解：（2） a-1 a2-1 a-1 (a+2)(a-2) a+2 a+2 ．
÷ = × = =
a2-4a+4 a2-4 (a-2) 2 (a+1)(a-1) (a-2)(a+1) a2-a-2
分式乘除法的解题步骤
1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则
进行计算.
2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为
分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)
例3.计算:
(1) x2-4 1 ； (2) 81-a2 a-9 a+3
÷(x-2)⋅ ÷ ⋅
x+2 x-2 a2+6a+9 2a+6 a+9
(x+2)(x-2) 1 (x+2)(x-2) 1 1 1
(1)解：原式= ÷(x-2)⋅ = ⋅ ⋅ =
x+2 x-2 x+2 x-2 x-2 x-2
(2)解：原式 (9-a)(9+a) a-9 a+3 (9-a)(9+a) 2(a+3) a+3
= ÷ ⋅ = ⋅ ⋅ =-2
(a+3) 2 2(a+3) a+9 (a+3) 2 a-9 a+9
例4.先化简，再求值．a2-3a a-3 a+1，其中
÷ × a=2019
a2+a a2-1 a-1
a(a-3) a-3 a+1
解：原式= ÷ ⋅
a(a+1) (a+1)(a-1) a-1a(a-3) (a+1)(a-1) a+1
= ⋅ ⋅
a(a+1) a-3 a-1
=a+1
当a=2019时，原式=2019+1=2020．
例3 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正
方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验
田的小麦都收获了500 kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
500
解：(1)“丰收 1 号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2，单位面积产量是a2 −1
kg/m2；“丰收 2 号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2，单位面积产量是
500
(a−1) 2 kg/m2.
∵ a ＞ 1
∴ (a-1)2 ＞ 0，a2-1 ＞ 0
由上图可得(a-1)2 ＜ a2-1
500 500
∴ a2 −1＜(a−1) 2 ，即丰收2号小麦的单位面积产量高.
(∵ a ＞ 1，∴ (a-1)2-(a2-1)=(a2-2a+1)-(a2-1)=-2(a-1) ＜ 0，即(a-1)2 ＜(a2-1))
500 500 500 a2 −1 (a+1)(a−1) a+1
÷ = ⋅ = =
解：(2) (a−1) 2 a2 −1 (a−1) 2 500 (a−1) 2 a−1
a+1
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a−1倍.
【针对练习】由甲地到乙地的一条铁路全程为 skm，火车全程运行时间为ah；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为bh．那么火车的速度是汽车速度的
多少倍？
s ms
解：火车速度为 km/h，汽车速度为 km/h，
a b
s ms s b b
则火车速度是汽车速度的倍数为 ÷ = ⋅ = ．
a b a ms am
b
那么火车的速度是汽车速度的 倍．
am
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列计算结果正确的有（ ）
①3x · x = 1； ② 8a2b2 ⋅ ( - 3a ) =-6a3 ；
x2 3x x 4b2
③ a a2 1 ； ④ 1
÷ = a÷b· =a
a2-1 a2+a a-1 a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
x
2.化简： ⋅(x+2)=（ ）
x2-4
x-2 x
A． B．x C． D．x-2
x x-2
x+3 x+2
3.使式子 ÷ 有意义的x的取值范围是（ ）
x-3 x+4
A．x≠3且x≠-4 B．x≠3且x≠-2
C．x≠3且x≠-3 D．x≠-2，x≠3且x≠-4
4．化简 m2-4 的结果是（ ）
(m+2)⋅
2m2+8m+8
m-2 2 m+2
A．m-2 B． C． D．
2 m-2 m-2
2x 1
5．计算x÷ ⋅ 的结果是（ ）
y xy x
A． B． C．xy D．2
2x y
6．化简 x2-1 x+1 1-x后的结果为（ ）
÷ ⋅
x2-2x+1 x-1 1+x
x+1 x-1 1-x 1+x
A． B． C． D．
x-1 x+1 1+x 1-x
7.某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只
能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过
程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误
8．一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需要b小时完成．若甲、乙二人合作完成
此项工作，需要的时间是（ ）
a+b (1 1) 1 ab
A． 小时 B． + 小时 C． 小时 D． 小时
2 a b a+b a+b
9.计算：
(1) (2)
10.先化简，再求 x2 x+1 x2-2x的值，其中 1．
⋅ ÷ x=-
x+1 x2+3x+2 x2-4 2
11.阅读下面的解题过程，然后回答问题：
1 a-2
计算 ÷ ⋅(4-a2 )
a2+4a+4 a+2
1 a-2 1 a-2
解： ÷ ⋅(4-a2 )= ÷ ⋅(2+a)(2-a)…………①
a2+4a+4 a+2 (a❑+2) 2 a+21 a+2
= ⋅ ⋅(2+a)(a-2)………………………②
(a❑+2) 2 a-2
=1 …………………………………………………③
解题过程中，第 步出现错误，写出正确的解答
【参考答案】
1. C
2. C
3. D
4. B
5. A
6. C
7. C
8. D
9.解：(1)原式=
(2)原式=
10.解：原式= x2 x+1 x2-4
⋅ ⋅
x+1 x2+3x+2 x2-2x
x2 x+1 (x-2)(x+2)
= ⋅ ⋅
x+1 (x+2)(x+1) x(x-2)
x
= ．
x+1
1
-
1 2
当x=- 时，原式= =-1．
2 1
- +1
2
11.(1)②
1 a-2 1 a-2
(2)解： ÷ ⋅(4-a2 )，= ÷ ⋅(2+a)(2-a) ，
a2+4a+4 a+2 (a+2) 2 a+2
1 a+2
=－ ⋅ ⋅(2+a)(a-2)，
(a+2) 2 a-2=－1．
四、教学反思：
