文档内容
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理（3个知识点+6大题型+11道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 判断三边能否构成直角三角形
考查题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
考查题型三 在网格中判断直角三角形
考查题型四 利用勾股定理的逆定理求解
考查题型五 勾股定理逆定理的实际应用
考查题型六 勾股定理逆定理的拓展问题
【知识梳理】
知识点1.勾股定理的逆定理（重点）
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的
和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件
来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和
与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
知识点二．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股
数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
知识点三．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形
的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三
角形的斜边．
考查题型一 判断三边能否构成直角三角形
一、单选题
1．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4cm、5cm、6cm B．6cm、8cm、9cm
C．3cm、4cm、5cm D．2cm、3cm、4cm
2．（2023下·天津·八年级校考阶段练习）三角形的三边长分别是 、 、 （n为自然
数），则此三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．无法判定
二、填空题
3．（2023上·广西梧州·八年级统考期末）已知x，y，z是三角形的三边长，且满足
，则该三角形的形状是 ．
三、解答题
4．（2022上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）如图， 中，
D是 边上的一点，若A ．
(1)求证： ；
(2)求 的面积．5．（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）已知 的三边长分别为 ，求证：
是直角三角形．
考查题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
一、单选题
1．（2023下·浙江台州·八年级校考期中）在如图所示的 的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C
也在格点上，满足 为以 为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
2．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， ． 是
边上的一个动点，点 与点 关于直线 对称，当 为直角三角形时， 的长为 ．
3．（2023下·八年级课时练习）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点P从
点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时出
发，用 表示移动的时间，当 s时， 是等腰三角形；当 s时， 是
直角三角形．4．（2023下·全国·八年级专题练习）同一平面内有 ， ， 三点， ， 两点之间的距离为 ，点
到直线 的距离为 ，且 为直角三角形，则满足上述条件的点 有 个．
5．（2023下·全国·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中A（﹣2 ，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为
．
三、解答题
6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出
发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．考查题型三 在网格中判断直角三角形
一、单选题
1．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．点
A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为5 D．点A到 的距离是1.5
二、解答题
2．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， 的顶点在格
点上．
(1)直接写出 _________， __________， __________；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)直接写出 边上的高 _________．
3．（2023上·北京海淀·八年级统考期末）如图所示的 网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角
形称为格点三角形．如图1， 为格点三角形．(1) __________ ；
(2)在图2和图3中分别画出一个以点 ， 为顶点，与 全等，且位置互不相同的格点三角形．
4．（2023上·安徽淮南·八年级淮南市龙湖中学校考阶段练习）如图，在下列带有坐标系的网格中，
的顶点都在边长为 的小正方形的顶点上， ， ， ．
(1)直接写出 的面积为___________；
(2)画出 关于 轴的对称的 （点 与点 对应，点 与点 对应），点 的坐标为___________；
(3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）．在边 上确定一点 ，使得 ．
5．（2023上·甘肃酒泉·八年级校考期末）如图，每个小正方格的边长为1．用 表示点A的位置，
用 表示点C的位置．(1)画出平面直角坐标系．
(2)点B关于x轴对称的点的坐标为______，点C关于y轴对称的点的坐标为______．
(3)图中格点三角形ABC的面积为______．
(4)判断三角形 的形状，并说明理由．
考查题型四 利用勾股定理的逆定理求解
一、填空题
1．（2023上·贵州毕节·八年级校考期中）如图，在 中，D是 边上一点，
， ，则 的长为 ．
二、解答题
2．（2023上·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点
D为 内一点，且 ， ．(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分（四边形 ）的面积．
3．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考期中）如图，在 中， ， ，
D为 上一点，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
4．（2023上·河南新乡·八年级统考阶段练习）如图，已知 中， ， ，D是 上
一点，连接 ，且 ， ．求 的度数．5．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示的一块地， ， ，
，求这块地的面积．
6．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）在 中， ，D为 内一点．连接 ， ，
延长 到点E，使得 ．(1)如图1，延长 到点F．使得 ．连接 ， ．求证： ；
(2)连接 ，交 的延长线于点H．依题意补全图2．若 ．判断 与 位置关系．并
证明．
考查题型五 勾股定理逆定理的实际应用
一、单选题
1．（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速 海里，乙船时
速 海里，两个小时后，两船相距 海里，已知甲船的航向为北偏东 ，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东 或北偏西 D．无法确定
二、解答题
2．（2023上·河北承德·八年级校考期末）如图是某小区的一块四边形形状的绿地，其四个顶点处为A、
B、C、D四栋住宅．已知 ， ， ， ， ．(1)为了方便居民出入，小区物业计划对绿地进行改造，改造前从A栋到C栋有两条路线，分别为
和 ，改造后物业开辟一条从点A直通点C的小路，通过计算比较居民从点A到点
C将最多少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
3．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区
在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知 ， ，
， ，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了
．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定 的依据；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
4．（2023上·内蒙古包头·八年级统考期中）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标 ，接到消息后，两艘
搜救艇同时从港口 出发赶往目的地．一艘搜救艇以 海里/时的速度沿北偏东 的方向向目标 前进，
同时另一艘搜救艇以 海里/时的速度向目标 前进， 小时后，他们同时分别到达目标 ，此时，他们
相距 海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？5．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）已知王大爷有个长方形池塘 ， ， 米，
米，王大爷依据地势修了块草莓园（如图阴影部分），并测得 米， 米．求王大爷的
草莓园的占地面积有多大？
6．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）一种四边形机器零件的形状如图所示（其中 ），按规
定：当 为直角时，这个零件视为合格．现工人师傅测得这个零件的四条边长分别为 ，
， ， ．(1)你认为这个零件合格吗？为什么？
(2)求这个四边形机器零件的面积．
7．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．
在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①，是用硬
纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为 ， ，斜边长为 ）和一个边长为 的正方形，请
你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
(1)如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理；
(2)一个零件的形状如图③，按规定这个零件中 和 都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸
（单位： ）如图④所示，这个零件符合要求吗？
8．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）如图所示，一棵 米高的大杉树在一次台风
中被刮断，折断处 到树根 的距离是 米，树顶 落在离树根 点 米处，科研人员要查看断痕 处的
情况，在离树根 有 米的 处竖起一个梯子 ，点 ， ， 在一条直线上．请问这个梯子有多长？考查题型六 勾股定理逆定理的拓展问题
一、解答题
1．（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在笔直的公路 旁有一条河流，为方便运输货物，
现要从公路 上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为 ，与公路
上另一停靠站B的直线距离为 ，公路AB的长度为 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求修建的桥梁 的长．
2．（2023下·全国·八年级专题练习）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，
MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
3．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
4．（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期中）定义：a，b，c为正整数，若 ，则称c
为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如 ，则13是“完美勾股数”，5，12是
13的“伴侣勾股数”．(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m， 且 ， ， ， ，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式 有一个因式 ，求该多项式的另一个因式．
5．（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多
种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三
角板 和直角三角板 ，顶点F在 边上，顶点C、D重合，连接 ．设 交于点
G． ， ， ， ．请你回答以下问题：
（1） 与 的位置关系为______．
（2）填空： ______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板 ，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时
三角形 是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线 及点P，作等腰直角 ，使得点A、B分别在直线a、b上且 ．（尺规作图，
保留作图痕迹）【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知 中， ， ， ，则 的面积 ______．
一、解答题
1．（2023上·四川成都·八年级统考期末）在四边形 中， ， ．
(1)如图1，若 ， ， ．
①连接 ，试判断 的形状，并说明理由；
②连接 ，过 作 ，交 的延长线于点 ，求 的面积；
(2)如图2，若 ， ，四边形 的面积为 ，求 的长．
2．（2023下·安徽滁州·八年级校考期中）如图，在 中， ， 为底边 上的高线，E是
上一点，连接 交 于点F，且 ．(1)求证： ；
(2)如图1，若 ， ，求 的长；
(3)如图2，若 ，以 ， 和 为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．
3．（2023下·贵州毕节·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．
已知 为 的三边，且满足 ，请判断 的形状．有个学生的解答
过程如下：解： ，
，（第一步）
，（第二步）
是直角三角形．（第三步）
根据以上解答过程回答以下问题：
(1)该学生的解答过程，从第_________步开始出现错误；
(2)简要分析出现错误的原因；
(3)请你写出正确的解答过程．
4．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）【问题提出】
（1）如图①，在 中， ， ， ，则 是 三角形；（填“直角”“锐角”
或“钝角”）
【问题探究】
（2）如图②， ，点C为射线 上一点，且 ，点D为射线 上的动点，当 为等腰三角形时，求 的长；（结果保留根号）
【问题解决】
（3）如图③， 为某植物园的一片绿化区域，且 米， 米， 米，已知在
的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿
修一条小路，并在 上找一点E，在 中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域（ 为
等腰三角形时， 的长．（结果保留根号）
5．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）如图1，在 中， ，垂足为D， ，
， ．
(1)求证： ；(2)如图2，若 的角平分线 交 于点E， 交 于点F，
①求证： ；
②求点E到 的距离．
(3)若点P为 边上一点，连接 ，若 为等腰三角形，请直接写出 的长为______________．
6．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，是由小正方形组成的 网格中，每个小正方形的顶点
叫做格点，点A、B、C、D都是格点，直线 与 交于点E，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画
图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，画出 的中线 和角平分线 ；(2)如图2，连接 ．
① 是______三角形；
②在图2中的线段 上画点P，使 ．
7．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ，若动点
从点 出发，沿着 的三条边顺时针走一圈回到 点，且速度为每秒 ，设出发的时间为 秒．
(1)当 为几秒时， 平分 ；
(2)问 为何值时， 为等腰三角形？
(3)另有一点 ，从点 开始，沿着 的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒 ，若 、 两
点同时出发，当 、 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 ______s时，直线 把 的
周长分成相等的两部分？8．（2023上·上海徐汇·八年级校联考阶段练习）某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，
中， ， ， ． 中， ， ， ．该同学
将 的直角边 与 的斜边 重合在一起，并将 沿 方向移动，在移动过程中，D、E
两点始终在 边上．
(1)当 移动至什么位置，即 的长为多少时，F、C的连线与 平行？
(2)当 移动至什么位置，即 的长为多少时，以线段 、 、 的长为三边长的三角形是直角
三角形？
(3)在 的移动过程中，是否存在某个位置，使得 ？如果存在，求出 的长；如果不存在，
说明理由．9．（2023下·全国·八年级专题练习）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件 ，
过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成 角，即 ；在 的中点D处固定了一个激
光扫描仪，需要对零件 进行扫描，已知扫描光线的张角恒为 ，即 ．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件 边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫
到的部分（即线段 和线段 ）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时， ________ （填“>”，“<”或
“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当 时， ________ （填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当 时， ________ ，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果 ，求出 的值．10．（2023下·全国·八年级期末）在 中， ， 为 内一点，连接 ， ，延长
到点 ，使得 ．
(1)如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ．若 ，求证： ；
(2)连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图2．若 ，试探究 ， ，
这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．11．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）【教材呈现】
下表是华师版八年级上册数学教材第122页的部分内容．
例4，如图，已知 ．求图中着色部分的面积．
结合图①，写出完整的求解过程．
【拓展】
如图②，点 分别是图①中边 上的点，连结 ，将 沿 翻折，使点B与点A重合．
（1）图中阴影部分图形的周长为______m．
（2）图中阴影部分图形的面积为______ ．
