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专题 1.3 有理数运算中的综合
【典例1】如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝
8，那么a+b+c+d的最大值为 ．
【思路点拨】
根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8，进行分类讨论．
【解题过程】
解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，
∴四个括号内是各不相同的整数，
不妨设（2019﹣a）＜（2019﹣b）＜（2019﹣c）＜（2019﹣d），
又∵（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，
∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．
∵（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝8076﹣（a+b+c+d），
∴a+b+c+d＝8076﹣[（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）]，
∴当（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）越小，a+b+c+d越大，
∴当（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，a+b+c+d取最大值＝
8076﹣（﹣2）＝8078．
故答案为：8078．
1．（2021秋•曲阜市校级期中）我们常用的十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过
在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝
2×73+5×72+1×71+3）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．1435天 B．565天 C．13天 D．465天2．（2021秋•社旗县期中）下列变形正确的有（ ）个．
①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
②3 −（﹣2 ）+（− ）− −（+ ）＝3 +2 − − + ；
2 4 3 4 6 2 4 3 4 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
③ ÷（ − + ）= ÷ − ÷ + ÷ ；
24 3 4 12 24 3 24 4 24 12
④（﹣1002）×17＝（﹣1000+2）×17．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2021秋•韩城市期中）如果四个互不相同的正整数m、n、p、q满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4
﹣q）＝9，则4m+3n+3p+q的最大值为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
2 2 3 3
4．（2021秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1− =2×1× −1，2− =2×2× −1，给出定义如下：我
3 3 5 5
2
们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，
3
3
），（2， ）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）
5
4 4 6 7
A．（﹣3， ） B．（4， ） C．（﹣5， ） D．（6， ）
7 9 11 13
5．（2021秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶
n n
数时，结果为 ；（其中k是使 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：
2k 2k
若n＝49，则第2021次“F”运算的结果是（ ）
A．68 B．78 C．88 D．98
6．（2021秋•新华区校级期中）若a，b互为相反数，且ab≠0，c、d互为倒数，|m|＝2，则（a+b）2021+b
（ ）3﹣3cd+2m的值（ ）
a
A．0 B．0或﹣8 C．﹣2成6 D．2或﹣6
7．（2021秋•江岸区校级月考）下列说法中，正确的个数是（ ）
1 1
①若| |= ，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；
a a
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；
④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；
b+c a+c a+b
⑤a+b+c＝0，abc＜0，则 + + 的值为±1．
|a| |b| |c|
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8．（2021秋•溧水区期中）计算（ + + ）﹣2×（ − − − ）﹣3×（ + + + ）的结
9 10 11 8 9 10 11 9 10 11 12
果是 ．
3 7 7 7 7 3 7 7
9．（2021秋•溧水区期中）计算（1 − − ）÷ + ÷（1 − − ）的结果是 ．
4 8 12 8 8 4 8 12
10．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝ ．
5×1 5×2 5×2021
11．（2021•宝山区校级自主招生）[ ]+[ ]+…+[ ]＝ （其中[a]表示不超过a的最
2021 2021 2021
大整数，如[1.4]＝1，[﹣3.14]＝﹣4等等）．
12．（2021秋•鄞州区期末）已知正整数a，b，c均小于5，存在整数m满足2022+1000m＝2a+2b+2c，则m
（a+b+c）的值为 ．13．（2020秋•鄞州区期末）已知整数 a，b，c，d的绝对值均小于 5，且满足1000a+100b2+10c3+d4＝
2021，则abcd的值为 ．
14．（2022春•商城县校级月考）计算：
2 5
（1）（﹣3）2×[− +（− ）]；
3 9
（2）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；
（3）（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．
15．（2022春•滨海县月考）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22020+22021①
则2S＝2+22+…+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+…+220＝ ；
1 1 1
（2）求1+ + +⋯+ = ；
2 22 250
（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）16．（2021秋•新都区期末）先观察下列各式，再完成题后问题：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − ； = − ； = − ．
2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
1
（1）①请仿照上面各式的结构写出： = ；
5×6
1 1 1 1
② + + +...+ = ；（其中，n为整数，且满足n≥1）
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）运用以上方法思考：求 + + + + + + + 的值．
4 12 24 40 60 84 112 144
17．（2021秋•开江县期末）（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣
3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a（a≠0）记作aⓝ，读作
¿
“a的圈n次方”．
（初步探究）
1
（1）直接写出计算结果：5③＝ ，（− ）④＝ ．
3
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘法运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）⑤＝ ；5⑧＝ ；
1
（ ）⑩＝ ．
2
1 1 1
（3）算一算：﹣92÷（− ）⑤×（− ）④﹣（− ）4÷5④．
3 4 518．（2021秋•渑池县期末）2020年的“新冠肺炎“疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加
工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计
划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
超减产量/个 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +16 ﹣8
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量；
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每
个另外奖励0.2元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.25元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分
每个另外奖励0.2元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.25元，请直接写出小王这一周的工资总
额是多少元？
