文档内容
专题11 七年级上册期中测试总复习＋考题选练
【知识点睛】
常见基本概念——数轴、绝对值、相反数、倒数、科学计数法、近似数、有理数、单项式、多项
式、整式、同类项等
数轴、绝对值、相反数以及倒数的考察可以单独出题，直接考察；也可以综合期中的2~3个，共同
考察；如：在数轴上表示下列各数及其相反数（或绝对值），然后再按从小到大的顺序排列；
数轴常考方向：①在数轴上表示实数，②表示两点间的距离，③表示中点，④比较大小等；
绝对值常考方向：①绝对值的化简，②绝对值的非负性，③绝对值表示距离，④平方根与绝对值
等；
相反数常考方向：①相反数与数轴的关系，②相反数与绝对值的关系，③相反数与平方根、立方
根的关系等；
科学计算法常考方向：简单给明的较大数据的科学计数法的转化
近似数常考方向：①近似数与精确位数，②近似数的结果推原数范围等；
单项式常考方向：①单项式的定义，②单项式的次数与系数，③单项式与同类项等；
多项式常考方向：①多项式次数与项数的判定，②多项式与同类项，③多项式的化简等；
整式常考方向：①整式的定义，②整式的化简求值，③整式的规律题等；
常见计算
有理数的“＋、－、×、÷、乘方”、各数的绝对值计算、有理数的综合运算等
常见规律题
数字间的周期性循环规律、图形间的递变规律、算式类的递推规律、有关规律题的计算等
常见压轴题类型
绝对值的化简与最值、数轴动点、分段类的代数式表示水费电费、新定义类型的综合探究题
【类题训练】
【选择题】
1
−
3
1. 的绝对值是（ ）
1 1
−
3 3
A. B. C. 3 D. －3
【分析】根据绝对值的化简公式，可得此题答案
1 1
|− |=
3 3
【解答】解：∵
故选：A
2．我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为 370000km2．把 370000 这个数用科学记数法表示为
（ ）
A．37×104 B．3.7×105 C．0.37×106 D．3.7×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：370000用科学记数法表示应为3.7×105，
故选：B．
3.下面各组数，互为相反数的是( )
1
与−0.25
A．4 B． 3.14与−π C． D．3与︱- 3︱
【分析】互为相反数的两个数相加得0，绝对值相等
1 1
∵ +（−0.25）=0，∴ 与−0.25互为相反数.
【解答】解：A： 4 4 故A对
B：
3.14与−π不是相反数.
，故B错
C： 不是相反数，故C错
D：3与︱- 3︱相等，不是相反数，故D错
1 1 1 x−y
− a2b2 x−1
4.下列各式：
5
，
2
，－25，
x
，
2
，
a2 −2ab+b2
中单项式的个数（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【分析】根据单项式的定义，是数字与数字，或者数字与字母的乘积，可解决本题
1
−
a2b2
5
【解答】解：是单项式的各项为： ，－25，共2个
故答案为：C
5．已知﹣5amb3和28a2bn是同类项，则m﹣n的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】根据同类项的定义得出m＝2，n＝3，再代所求式子入，即可得出答案．
【解答】解：∵﹣5amb3和28a2bn是同类项，
∴m＝2，n＝3，
∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1．
故选：D．
6．在代数式 +2， ， ，t， ，m3+2m2﹣m中，多项式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据多项式的定义，是由几个单项式组成的，可解决此题
【解答】解：是多项式的各项为： ， ，m3+2m2﹣m共3个
故答案为：B
7．若m表示任意的有理数，则下列式子一定表示负数的是（ ）
A．﹣m B．﹣m2 C．﹣m2﹣1 D．﹣（m﹣1）2
【分析】此题为有理数正数的考察，需要采用单个取特殊值验证的方法解决
【解答】解：A：当m为负数时，﹣m为正，所以A不一定是负数，故A错
B：当m=0时，﹣m2=0，所以B不一定是负数，故B错
C：当m=0时，﹣m2-1=-1，为负数；当m≠0时，﹣m2＜0，﹣m2-1＜-1，所以必为负
数，故C对
D：当m=1时，﹣（m﹣1）2=0，所以D不一定是负数，故D错
故答案为：C
8．一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左平移了3个单位长度后到点B，点A与点B
表示的数恰好互为相反数，则数a是（ ）
A．﹣3 B．﹣1.5 C．1.5 D．3
【解答】解：设B点表示的数是b，
根据题意得：a﹣3＝b，a＝﹣b，
解得：a＝1.5，b＝﹣1.5．
故选：C．
9. 下列运算正确的是（ ）
A. √4=±2 B． (−2) 3 =−6 C． −√4=−2 D．−22 =4
√4=2
【解答】解：A： ，故A错；
(−2) 3 =−8
B： ，故B错；
−√4=−2
C： ，故C对；
D：−22 =−4，故D错；
故答案为：C
10. l米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小
棒长为 （ ）A. B. C. D.
【分析】根据操作的过程，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
1 1
1× =
2 2
【解答】解：第1次截取剩余原长的： ；
1 1 1
× =
2 2 22
第2次截取剩余原长的： ；
1 1 1
× =
22 2 23
第3次截取剩余原长的： ；
……
1 1
=
26 64
第6次截取剩余原长的： ；
故答案为：C
11．某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3
小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小时后细胞存活的个数是（ ）
A．1023 B．1024 C．1025 D．1026
【分析】根据细胞分裂过程，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
【解答】解：根据题意可知，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去1个，剩9个，9＝23+1；
…
故10小时后细胞存活的个数是210+1＝1025个．
故选：C．
12．有一列数a ，a ，a ，…，a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它们前面那个数的倒数的差，
1 2 3 n
若a ＝4，则a 值为（ ）
1 2021
B．4 C． D．
A．﹣2
【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几项的值，从而可以发现数字的变化特点，从而可以
求得a 的值．
2021【解答】解：由题意可得，
a ＝4，
1
a ＝1﹣ ＝ ，
2
a ＝1﹣ ＝﹣ ，
3
a ＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
4
…，
∵2021÷3＝673…2，
∴a 值为 ，
2021
故选：C．
13．计算3的正数次幂，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561…观
察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32021的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【解答】解：由31＝3；32＝9；33＝27；34＝81；35＝243；36＝729；37＝2187；38＝6561；…
可得等号右边个位数变化规律为：3，9，7，1；3，9，7，1．即以每四个数后，又出现3，9，7，
1．
2021÷4＝505余1．即和第一次出的位置相同．个位为3．
故选：B．
14．正整数n小于100，并且满足等式 ，其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的
正整数n有（ ）个．
A．2 B．3 C．12 D．16
【分析】由 ，以及若x不是整数，则[x]＜x知，[ ]＝ ，[ ]＝ ，[ ]＝ ，即
n是6的倍数，因此小于100的这样的正整数有 个．
【解答】解：∵ ，
若x不是整数，则[x]＜x，
∴[ ]＝ ，[ ]＝ ，[ ]＝ ，即n是6的倍数，∴小于100的这样的正整数有 个．
故选：D．
a,b,c
15．已知 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 （ ）
A．a−c>0 B． abc<0
ab
<0
c a o b
c |a|>|c|
C． D．
【解答】解：由图可知，c＜a＜0＜b
ab
＞0
∴a−c>0 ； abc＞0 ； c ； |a|＜|c|
故答案为：A
16．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆
形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
A．a2﹣ B．（4﹣ ）a2 C． D．4﹣
【解答】π解：小正方形的面积是π：1； π π
当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是： ．
则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4（1﹣ ）＝4﹣ ．
故选：D． π
17．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式正确的有（ ）个．
①abc＜0；②b﹣a+c＜0；③ + ＝﹣ ；④ ＞ ；⑤|b﹣a|﹣|a+c|﹣|a﹣c|＝a+bA．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先通过识图可得a＜c＜0＜b，|a|＞|c|＞|b|，然后结合有理数的乘法运算法则判断①，根据
有理数加减运算法则判断②，根据绝对值和有理数的除法运算法则判断③，根据两个负数比大小，
绝对值大的反而小判断④，根据绝对值的意义和整式加减运算法则判断⑤．
【解答】解：由题意可得：a＜c＜0＜b，|a|＞|c|＞|b|，
∴abc＞0，故①中结论错误，不符合题意；
b﹣a+c＞0，故②中结论错误，不符合题意；
＝﹣1﹣1＝﹣2，﹣ ＝﹣2，
∴ ＝﹣ ，故③中结论正确，符合题意；
∵a＜c＜0，b＞0，
∴|a|＞|c|，
∴ ，
∴ ，故④中结论错误，不符合题意；
∵b﹣a＞0，a+c＜0，a﹣c＜0，
∴|b﹣a|﹣|a+c|﹣|a﹣c|＝b﹣a+a+c+a﹣c＝a+b，故⑤中结论正确，符合题意；
正确的结论共2个，
故选：B．
18．世界著名的莱布尼兹三角形如图所示，其排在第9行从左边数第3个位置上的数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据图中的数据，可以发现每一行开始的数字特点和每个小三角形中的三个数字之间的关
系，然后即可写出排在第9行从左边数第3个位置上的数．【解答】解：由图中的数据可得，
每一行的第一个数字都是对应的这一行行数的倒数，每个小三角形中数字，都是左下角的数字与右
下角的数字之和等于顶角的数字，
故第9行的第一数字是 ，第二个数字是 ＝ ，第三个数字是 ＝ ，
故选：D．
19．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是
6，依次继续下去…，第2021次输出的结果是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【分析】根据题意可以先求出前几次输出结果，发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每
次6个数循环，进而可得以第2021次输出的结果与第5次输出的结果一样．
【解答】解：根据题意可知：
开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，
第2次输出的结果是6，
第3次输出的结果是3，
第4次输出的结果是8，
第5次输出的结果是4，
第6次输出的结果是2，
第7次输出的结果是1，
第8次输出的结果是6，
依次继续下去，
…，
发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环，
因为（2021﹣1）÷6＝336…4，
所以第2021次输出的结果与第5次输出的结果一样是4．
故选：B．
【填空题】1. 某校举行“生活中的数学”知识竞赛，若将加20分记为+20分，则扣10分记为 分.
【解答】根据题意得，扣10分记为-10
2
−
3
2. 用“>”,“<”,“=”填空：（1）- 6 4 (2) ．
2
−
3
【解答】（1）-6＜4； (2) ＜ ．
3. 单项式﹣ 的系数是 ，次数是 ．
2
−
3
【解答】由题意得：系数为 ，次数为3+2=5
4. 多项式 是 次多项式，常数项是 .
【解答】由题意得：该多项式为四次三项式，
故答案为：四；-1
5.
数轴上大于−5
且不大于3的整数的和为
【解答】解：根据题意得，符合题意的整数有-4，-3，-2，-1,0,1,2,3
∴-4+（-3）+（-2）+（-1）+0+1+2+3=-4．
故答案为：-4
6.定义一种新运算： ，那么4 （﹣1）＝ ．
⊗
【解答】解：根据新运算，4*（﹣1）＝ ×4﹣（﹣1）＝2．
故答案为：2．
7．若|m﹣3|+（n+2）2＝0，则m+2n的值为 ．
【解答】解：由题意得，m﹣3＝0，n+2＝0，
解得m＝3，n＝﹣2，
所以，m+2n＝3+2×（﹣2）＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
8．一个多项式与 的和是 ，则这个多项式为( )
A． B． C． D．
【分析】根据加数=和-另一个加数可知这个多项式为：（3a-2）-（a2-2a+1），根据整式的加减法法则，去括号、
合并同类项即可得出答案．
【详解】
∵一个多项式与 的和是 ，
∴这个多项式为：（3a-2）-（a2-2a+1）=3a-2-a2+2a-1=-a2+5a-3，
故选B.
9. 若多项式 的值为9，则多项式 的值为
【解答】解：∵3x2-4x+6=9
∴3x2-4x=3
∴x2-4/3x=1
∴ =1+6=7
10．已知a，b为常数，且三个单项式4xy2，axyb，﹣5xy相加得到的和仍然是单项式．那么a+b的值可
以是_____．（写出所有可能值）
【解析】
试题解析：若 与−5xy为同类项，
∴b=1，
∵和为单项式，
若 与 为同类项，
∴b=2，
故答案为6或-2.11．如图，阴影部分的面积用整式表示为_________．
【分析】
阴影部分的面积=三个小矩形的面积的和．
【详解】
如图：
阴影部分的面积为：x·x+3x+3×2= x2＋3x＋6．
故答案为x2＋3x＋6
12.如果X是负整数，并且代数式 的值也是负整数，写出所有符合条件的X的值 ﹣ 2 或﹣ 3 ．
【解答】解：∵X是负整数，并且代数式 的值也是负整数，
∴X+1＝﹣1或﹣2，
∴X＝﹣2或﹣3；
又X＝﹣2或﹣3时，X+1≠0．
故符合条件的X的值为﹣2或﹣3．
13. 一动点P从数轴上表示 -2的点A 开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到
1
达点A ；第二次从点A 向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A ；第三次从点A 向左
2 2 3 3
移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A ，…...，点P按此规律移动，那么：
4
（1）第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（2）这个点P移动到点A 时，点A 在数轴上表示的数是 .
2021 2021
【解答】（1）-1；（2）2018
14．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f（a）＝5a﹣1；若a为偶数，则f（a）＝ ．例如f（3）＝5×3﹣1＝14，f（10）＝ ＝5．若a ＝8，a ＝f（a ），a ＝f（a ），a ＝f（a ），…，依
1 2 1 3 2 4 3
此规律进行下去，得到一列数a ，a ，a ，a …（n为正整数），则a ＝ 2 ，a +a +a +…+a ＝
1 2 3 4 3 1 2 3 2020
．
【分析】根据“若a为奇数，则f（a）＝5a+1；若a为偶数，则f（a）＝ ．”即可得出a 、a 、
2 3
a 、a 的值，进而可得出数列a 从第二项开始以4、2、1为周期循环，再根据2020﹣1＝2019＝
4 5 n
673×3，即可求出前2020项的和．
【解答】解：∵a ＝8，
1
a ＝f（a ）＝ ＝4，
2 1
a ＝f（a ）＝ ＝2，
3 2
a ＝f（a ）＝ ＝1，
4 3
a ＝f（a ）＝5×1﹣1＝4，
5 4
…，
∴数列a 从第二项开始以4、2、1，这3个数为周期循环，
n
又∵2020﹣1＝2019＝673×3，
∴a +a +a +…+a
1 2 3 2020
＝8+4+2+1+4+…+2
＝8+（4+2+1）×673
＝4719．
故答案为：2；4719．
15．用火柴棒按如图方式搭成图形．
根据上述图形有，第①个图形需要火柴棒根数为7，第②个图形需要火柴棒根数为12，第③个图
形需要火柴棒根数为17，则依次类推，第④个图形需要火柴棒根数为 ，第n个图形需要火柴
棒根数为 （用含n的代数式表示）．【分析】观察图形，数出各图形中所需火柴棒的根数，可得第④个图形需要火柴棒根数，进而可用
含n的代数式表示出第n个图形需要火柴棒根数．
【解答】解：根据题意，第①个图形需要火柴棒根数为7，
第②个图形需要火柴棒根数为12，
第③个图形需要火柴棒根数为17，
则依次类推，
第④个图形需要火柴棒根数为22，
...，
第n个图形需要火柴棒的根数为（5n+2），
故答案为：22，5n+2．
16．定义：如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n）．
（1）根据劳格数的定义，可知：d（10）＝1，d（102）＝2．
那么：d（103）＝ ．
（2）劳格数有如下运算性质：
若m，n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n）；d（ ）＝d（m）﹣d（n）．根据运算性质填空：
① ＝ ，
②若d（3）＝0.48，则d（9）＝ ，d（0.3）＝ ．
【分析】（1）根据劳格数的定义，可求出答案；
（2）①将d（25）转化为5d（2），进而求出答案；
②d（9）转化为d（3）+d（3），再代入计算即可；
将d（0.3）转化为d（3）﹣d（10），再代入计算即可．
【解答】解：（1）根据劳格数的定义，可知d（103）＝3，
故答案为：3；
（2）①由劳格数的运算性质可得：d（25）＝d（2）+d（2）+d（2）+d（2）+d（2）＝5d（2），∴ ＝5，
②d（9）＝d（3×3）＝d（3）+d（3）＝0.48+0.48＝0.96，
d（0.3）＝d（ ）＝d（3）﹣d（10）＝0.48﹣1＝﹣0.52，
故答案为：（1）3；（2）5；0.96；﹣0.52．
【解答题】
1．计算：
（1）（﹣1）+（﹣8）；
（2） ；
（3）3×2﹣（﹣16）÷4；
（4）﹣22÷ ；
（5）（﹣24）× ；
（6） ．
【分析】（1）先确定结果符号，再把两个加数的绝对值相加；
（2）先运用加法的运算定律进行交换结合运算，再计算出最后结果；
（3）先算乘除，再算加减；
（4）先算小括号里面的，然后算乘方，再算乘除；
（5）先用乘法分配律进行计算，再把所得的积相加；
（6）先进行开方、乘方和绝对值的计算，再算加减．
【解答】解：（1）（﹣1）+（﹣8）
＝﹣（1+8）
＝﹣9；
（2）
＝（ + ）﹣（ + ）
＝ ﹣1＝﹣ ；
（3）3×2﹣（﹣16）÷4
＝6+4
＝10；
（4）﹣22÷
＝﹣4×3×（ ）2
＝﹣4×3×
＝﹣ ；
（5）（﹣24）×
＝﹣24× +24× ﹣24×
＝﹣3+8﹣6
＝﹣1；
（6）
＝2﹣ +3+ ﹣1
＝（2+3﹣1）+（﹣ + ）
＝4+0
＝4．
2．计算：
（1）（﹣12）÷4×（﹣16）；
（2） ÷（﹣ ）÷（0.25）；
（3）2×（3+ ）+4﹣2 ；
（4）（﹣20）×（﹣ ）+ +2020．【分析】（1）（2）先把除法转化为乘法，再按乘法法则计算；
（3）先利用乘法的分配律，再加减；
（4）先算开方，再算乘法，最后算加减．
【解答】解：（1）（﹣12）÷4×（﹣16）
＝12× ×16
＝48；
（2） ÷（﹣ ）÷（0.25）
＝ ÷（﹣ ）÷
＝ ×（﹣ ）×4
＝﹣ ；
（3）2×（3+ ）+4﹣2
＝6+2 +4﹣2
＝10；
（4）（﹣20）×（﹣ ）+ +2020
＝（﹣20）×（﹣ ）+4+2020
＝10+4+2020
＝2034．
3．把﹣（﹣2）， ，﹣ ，|﹣5|四个数表示在数轴上，并用“＞”号连接起来．
【分析】利用绝对值的性质、算术平方根、立方根的定义化简，在数轴上表示出各点所在的位置，
再用“＞”号连接起来．
【解答】解：﹣（﹣2）＝2， ＝ ＝ ，﹣ ＝﹣3，|﹣5|＝5，
如图所示：用“＞”号连接起来为：|﹣5|＞﹣（﹣2）＞ ＞﹣ ．
4．把下列各数分类，﹣3，0.45， ，0， ，﹣1， ，﹣1 ，3.1010010001…（两个“1”之间
依次多一个“0”），10，﹣3.14．
（1）正整数：{ }；
（2）负整数：{ }；
（3）整数：{ }；
（4）分数：{ }；
（5）无理数：{ }；
（6）实数：{ }．
【分析】根据正整数，负整数，整数，分数，无理数，实数的定义进行分类．
【解答】解： ＝4，
（1）正整数：{ ，10}；
（2）负整数：{﹣3，﹣1}；
（3）整数：{﹣3，0， ，﹣1，10}；
（4）分数：{0.45， ，﹣1 ，﹣3.14}；
（5）无理数：{ ，3.1010010001 …（两个“1”之间依次多一个“0”）}；
（6）实数：{﹣3，0.45， ，0， ，﹣1， ，﹣1 ，3.1010010001…（两个“1”之间依次多
一个“0”），10，﹣3.14}．
故答案为： ，10；﹣3，﹣1；﹣3，0， ，﹣1，10；0.45， ，﹣1 ，﹣3.14； ，
3.1010010001 …（两个“1”之间依次多一个“0”）；﹣3，0.45， ，0， ，﹣1， ，﹣1
，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），10，﹣3.14．5．已知x﹣2与﹣4x+14是y的平方根．求y与﹣2的立方的差．
【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数列方程求出y，再求y与﹣2的立方的差即可．
【解答】解：根据题意知x﹣2+（﹣4x+14）＝0或x﹣2＝﹣4x+14，
解得：x＝4或x＝ ，
所以y＝（x﹣2）2＝22＝4或y＝（x﹣2）2＝（ ）2＝ ，
所以y﹣（﹣2）3＝4﹣（﹣2）3＝12或y﹣（﹣2）3＝ ﹣（﹣2）3＝ +8＝ ，
即y与﹣2的立方的差是12或 ．
1
a=
6.先化简，再求值： −4(a2 −4ab+1)+2(2a2 −9ab) ，其中 3 ，b=−6 .
【解答】原式= -2ab-4 （3分）代入得原式=0
7.若代数式(2x2＋ax－y＋6)－(2bx2－3x＋5y－1)的值与字母x的取值无关，求代数式
a2－2b＋4ab的值．
【解答】a=-3，b=1 原式=-9.5
8.振子从一点A开始左右来回振动8次，如果规定向右为正，向左为负，这8次振动记录为(单位：毫
米)：+10，-9，+8，-6，+7.5，-6，+8，-7.
（1）求振子停止时所在位置距A点有多远？
（2）如果每毫米需时间0.02秒，则共用时间多少秒？
【解答】（1）5.5 （2）1.23
9．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现
篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（x＞50）．
（1）若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需
付款 元（用含x的代数式表示）．
（2）当x＝100时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多
少元？【分析】（1）由题意按A方案购买可列式：50×120+（x﹣50）×20＝5000+20x，在按B方案购买可
列式：（50×120+20x）×0.9＝5400+18x；
（2）将x＝100分别代入A方案，B方案即可以比较
（3）由于A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的90%付款，所以可以按A方
案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买即可．
【解答】解：（1）A方案购买可列式：50×120+（x﹣50）×20＝（5000+20x）元；
按B方案购买可列式：（50×120+20x）×0.9＝（5400+18x）元；
故答案为：（5000+20x），（5400+18x）；
（2）当x＝100时，
A方案购买需付款：5000+20x＝5000+20×100＝7000（元）；
按B方案购买需付款：5400+18x＝5400+18×100＝7200（元）；
∵7000＜7200，
∴当x＝100时，应选择A方案购买合算；
（3）由（2）可知，当x＝100时，A方案付款7000元，B方案付款7200元，
按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：
120×50+20×50×90%＝6900，
∵6900＜7000＜7200，
∴省钱的购买方案是：
按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款6900
10.如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 ．
√8 −1−√8
【解答】（1）4 （2）面积为8，BC= （3）
11．把2020个正整数1，2，3，4，…，2020按如图方式排列成一个表．（1）如图，用一正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式
子表示出来，从小到大依次是 ， ， ．
（2）当（1）中被框住的4个数之和等于416时，x的值为多少？
（3）在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于324？若能，则求出x的值；若不能，则说明
理由．
（4）从左到右，第1至第7列各列数之和分别记为a ，a ，a ，a ，a ，a ，a ，则这7个数中，最
1 2 3 4 5 6 7
大数与最小数之差等于 （直接填出结果，不写计算过程）．
【分析】（1）左上角的一个数为x，则另三个数从小到大依次是x+1，x+7，x+8；
（2）当（1）中被框住的4个数之和等于416时，列出方程求出x的值即可；
（3）根据x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝324时，x＝77，左上角的数不能是7的倍数，即可得出答
案；
（4）先分别求出最大的数2020在第288行第4列，得出a 最大，a 最小，再列式计算即可．
4 5
【解答】解：（1）左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是
x+1，x+7，x+8，
故答案为：x+1，x+7，x+8；
（2）当（1）中被框住的4个数之和等于416时，
x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝416，
解得：x＝100；
（3）不能，
∵x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝324时，x＝77，左上角的数不能是7的倍数，
∴它们的和不能等于324；
（4）∵2020在第288行第4列，
∴a 最大，a 最小，
4 5∴最大数与最小数之差＝a ﹣a ＝ ﹣ ＝1732．
4 5
故答案为：1732．
12．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，
（1）点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
①若点P到点A、点B的距离相等，则x＝ ；
②若点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝ ；
（2）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合．
①则﹣3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上M、N两点之间的距离为2021，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示
的数．
【分析】（1）①由于点P到点A、点B的距离相等，所以点P为线段AB的中点，即可得出点P对
应的数；
②由题点P到点A、点B的距离之和为10，对P的位置进行分类讨论，即可求出x；
（2）①由题若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，即可求解；
②由题M，N两点经过（3）折叠后互相重合，可求出对折点对应的数值为1，根据M、N两点之间
的距离为2011（M在N的左侧）即可求出M，N两点表示的数．
【解答】解：（1）①∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P为线段AB的中点，
∵A、B对应的数分别为﹣1、3，
∴点P对应的数为1；
故答案为：1；
②∵点P到点A、点B的距离之和为10，
对点P的位置分情况讨论如下：
当点P在点A左边，
∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，
∴点P到点A的距离为3，
∴x＝﹣4；
当点P在线段AB上，不符合题意，舍去；
当点P在点B右边，∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，
∴点P到点B的距离为3，
∴x＝6；
∴综上所述：x＝﹣4或6；
故答案为：﹣4或6；
（2）①若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，
∵﹣3到1的距离为4，
∴5到1的距离也为4，
∴则﹣3表示的点与数5表示的点重合；
故答案为：5；
②若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M，N两点经过折叠后互相重合，
则对折点对应的数值为1，
∴点M到1的距离为1010.5，
∴M对应的数为﹣1009.5，
∵点N到1的距离为1010.5，
∴N点对应的数为1011.5．
若点M在点N的右侧，同理可得点M点对应的数为1011.5．点N对应
的数为﹣1009.5．
13．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．
，…
（1）按照这个规律写下去，第5个等式是： ；
第n个等式是： ；
（2）①计算： ．
②若a为最小的正整数， ＝0，求：
+ + + +…+ ．
【分析】（1）观察等式，根据规律可得第5个等式和第n个等式；
（2）①根据（1）中的规律拆项计算，再相互抵消可得答案；
②根据题意得到a＝1，b＝3，代入再拆项计算即可．【解答】解：（1）第5个等式是： ＝ ﹣ ；第n个等式是： ＝ ﹣ ；
故答案为： ＝ ﹣ ， ＝ ﹣ ；
（2）①原式＝1﹣ + + …+ ﹣
＝1﹣
＝ ；
②∵a为最小的正整数， ＝0，
∴a＝1，b＝3，
∴原式＝ + + + +…+
＝ （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ +…+ ）
＝ （1﹣ + ﹣ ）
＝ ．
14.如图，已知数轴上点A表示的数为﹣7，点B表示的数为5，点C到点A、点B的距离相等．动点P
从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）点C表示的数是 ；
（2）求当t等于多少秒时，点P到达点B处？
（3）点P表示的数是 ；（用含有t的代数式表示）
（4）求当t等于多少秒时，点P到点A的距离是P到点B的距离的2倍？
【解答】解：（1）（﹣7+5）÷2
＝﹣2÷2
＝﹣1．
故点C表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1；（2） ＝6（秒）；
答：当t等于6秒时，点P到达点B处；
（3）﹣7+2t；
故答案为：﹣7+2t；
（4）当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（12﹣2t），
解得，t＝4，
当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t﹣12），
解得，t＝12，
∴当t＝4或12秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍．
15．某通讯公司推出以下收费套餐，小明选择了套餐 A，小王选择了套餐B，设小明的通话时间为t 分
1
钟，小王的通话时间为t 分钟．
2
月租费（元/月） 不加收通话费时限（分） 超时加收通话费标准（元/分）
套餐A 58 150 0.25
套餐B 88 350 0.20
（1）请用含t 、t 的代数式表示小明和小王的通话费用．
1 2
（2）若小明4月份通话时间为390分钟．小王通话费用和小明相同，求小王通话时间．
（3）若小明和小王5月份通话时间和通话费用都一样，求通话时间．
【分析】（1）根据两种套餐的费用表示小明和小王的通话费用；
（2）根据小王通话费用和小明相同，列出方程求解即可；
（3）根据小明和小王5月份通话时间和通话费用都一样，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设小明的通话费用为y 元，小王的通话费用为y 元，
1 2
当0≤t ≤150，y ＝58；
1 1
当t ＞150，y ＝58+0.25（t ﹣150）＝0.25t +20.5；
1 1 1 1
当0≤t ≤350，y ＝88；
2 2
当t ＞350，y ＝88+0.20（t ﹣350）＝0.2t +18；
2 2 2 2
（2）∵t ＝390＞150，
1
∴y ＝0.25×390+20.5＝118，
1
∵y ＝y ，
1 2∴0.2t +18＝118，
2
解得t ＝500；
2
（3）当0≤t≤150，y ≠y ，
1 2
当150＜t≤350，y ＝y ，t ＝t ，
1 2 1 2
20.5+0.25t ＝88，
1
解得t ＝270＝t ，
1 2
当t＞350，y ＝y ，t ＝t ，
1 2 1 2
20.5+0.25t＝18+0.2t，
解得t＝﹣50（舍去）．
∴小明和小王5月份通话时间和通话费用都一样，通话时间为270分钟．
16.如图，大小两个正方形的边长分别为a、b．
（1）用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）如果a＝8，b＝5，求阴影部分的面积．
【解答】
1 1
（1）解： S=a2+b2− a2− b(a+b)
2 2
（2）解：
1 1
=82+52- ×82- ×5×(8+5)
2 2
=64+25-32-32.5
=24.5.
17.某班将买一些羽毛球和羽毛球拍，现了解情况如下：甲乙两家出售同样品牌的羽毛球和羽毛球拍，
羽毛球拍每副定价64元，羽毛球每盒18元，经洽谈后，甲店每买一副羽毛球拍赠一盒羽毛球，乙店全
部按定价的9折优惠，该班急需羽毛球拍6副，羽毛球x盒（不少于6盒）．
（1）用代数式表示去甲、乙两店购买所需的费用；
（2）当需要50盒羽毛球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为合算；
（3）当需要50盒羽毛球时，你能给出一种更为省钱的方法吗?试写出你的购买方法和所需的费用。
【解答】 （1）解：甲：384+18（x-6）
乙：0.9（384+18x）
（2）解：甲：当x=50时，原式=384+18×44=1176（元）
乙：当x=50时，原式=0.9×（384+18×50）=1155.6（元）
∵1176＞1155.6
∴去乙店买较为合算（3）解：甲处买6副羽毛球拍，乙处买44盒羽毛球，需1096.8元
18．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|
+（c﹣7）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和
点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间
的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝
，AC＝ ，BC＝ ．（用含t的代数式表示）
（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其
值．
【分析】（1）利用绝对值和偶次方的非负性即可求出a，c，再利用题干条件即可求出b；
（2）先将对称点求出，再利用与点B重合的数和点B到对称点的距离相等即可求解；
（3）先将点A，B，C表示出来，即可得到AB，AC，BC；
（4）利用（3）中AB和BC，代入式子即可得到定值．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，
∴a+2＝0，c﹣7＝0，
解得a＝﹣2，c＝7，
∵b是最小的正整数，
∴b＝1，
故答案为：﹣2，1，7；
（2）∵（7+2）÷2＝4.5，
∴对称点为7﹣4.5＝2.5，
2.5+（2.5﹣1）＝4，
故答案为：4；
（3）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位
长度的速度向右运动，
∴t秒钟过后，点A表示的数为﹣2﹣t，点B表示的数为1+2t，点C表示的数为7+4t，∴AB＝1+2t﹣（﹣2﹣t）＝1+2t+2+t＝3t+3，AC＝7+4t﹣（﹣2﹣t）＝7+4t+2+t＝5t+9，BC＝7+4t﹣
（1+2t）＝7+4t﹣1﹣2t＝2t+6，
故答案为：3t+3，5t+9，2t+6；
（4）不变，理由如下：
由（3）知：AB＝3t+3，BC＝2t+6，
∴3BC﹣2AB＝3（2t+6）﹣2（3t+3）＝6t+18﹣6t﹣6＝12，
∴3BC﹣2AB的值不随着时间t的变化而改变．
