文档内容
第2讲 与三角形有关的角
1、理解三角形内角、外角的概念；
2、探索并证明三角形的内角和定理；
3、探索定掌握直角三角形的两个锐角互角，掌握有两个角互余的三角形是直角
三角形；
4、掌握三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和；
5、能够运用三角形内角和定理理解解决简单问题。
知识点 1 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内
角。
测量法： 剪角拼角法 ：
知识点2 直角三角形：
①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。
②有两个角互余的三角形是直角三角形知识点3 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角
大于与它不相 邻的任何一个角。
【题型 1 三角形的内角和定理】
【典例1】（2023春•沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C
＝（ ）
A．72° B．92° C．108° D．180°
【变式 1-1】（2023 春•历下区期中）如图，在△ABC 中，∠B 的度数是
（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【变式1-2】（2023春•渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则
∠C度数为（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【变式1-3】（2023春•朝阳区校级期中）如图，CE是△ADC的边AD上的高．
若∠BAD＝40°，∠ECD＝25°，则∠B的度数为（ ）A．20° B．25° C．30° D．35°
【题型 2 直角三角形的内角有关运算】
【典例2】（2022秋•渝北区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠C
＝48°．则∠DAC的度数为（ ）
A．52° B．42° C．32° D．28°
【变式2-1】（2023春•武侯区校级期中）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝
50°，则∠B等于 （ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【变式2-2】（2022秋•西山区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在
AC边上，DE∥BC，若∠B＝65°，则∠1的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【变式2-3】（2022秋•乐东县期末）如图，直线a∥b，△ABC是直角三角形，
∠C＝90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点
E，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A．100° B．105° C．110° D．120°
【题型3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【典例3】（2021春•芜湖期末）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是
△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE与∠C﹣∠B有何关系？（不必证明）
【变式3-1】（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，
若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°【变式3-2】（2022秋•新兴县期末）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平
分线，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠DAE的度数为（ ）
A．40° B．20° C．10° D．30°
【变式3-3】（2023•碑林区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝
50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（ ）
A．5° B．8° C．10° D．12°
【题型4 三角形外角性质】
【典例4】（2023•长安区模拟）将一副直角三角板如图放置，则∠1的度数为
（ ）
A．75° B．65° C．45° D．30°
【变式4-1】（2023•漳州模拟）如图，∠CBD是△ABC的外角，∠A＝38°，
∠CBD＝68°，则∠C的度数是（ ）
A．68° B．40° C．38° D．30°【变式4-2】（2023•海口模拟）如图，将一副三角板叠在一起，则图中∠ 的
度数是（ ）
α
A．50° B．60° C．75° D．85°
【变式 4-3】（2022 秋•明水县校级期末）如图，AD 平分△ABC 的外角
∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【题型5 三角形双内角平分线的有关运算】
【典例 5】（2021 秋•冷水滩区期末）已知：如图，O 是△ABC 内一点，且
OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．
（1）若∠A＝48°，求∠BOC；
（2）若∠A＝n°，求∠BOC；
（3）若∠BOC＝130°，利用第（2）题的结论求∠A．
【变式5-1】（2023春•朝阳区校级期中）点O是△ABC内一点，OA、OC分别
平分∠BAC、∠BCA，∠B＝64°，则∠O＝（ ）A．116° B．122° C．136° D．152°
【变式 5-2】（2023春•姑苏区校级期中）在△ABC 中，∠BAC＝70°，∠1＝
∠2，则∠ADC＝ ．
【变式5-3】（2022秋•昆明期末）如图，已知点 P是△ABC内一点，且∠C＝
50°，∠PAC＝25°，∠PBC＝35°，求∠APB的度数．
【题型6 三角形双外角平分线的有关运算】
【典例6】（2022秋•市北区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB
的外角平分线交于点O，设∠A＝m，则∠BOC＝（ ）
A．90°﹣m B．90°﹣ C．180°﹣2m D．180°﹣
【变式6-1】（2022秋•泰兴市期末）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝48°，
∠ACB＝84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分
∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为（ ）A．45° B．48° C．60° D．66°
【题型7 三角形内、外角平分线的有关运算】
【典例 7】（2022 秋•滨城区校级期末）如图，已知△ABC，∠ABC 与外角
∠ACD的角平分线相交于点O．
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，求∠BOC的度数；
（2）请探究∠BAC和∠BOC之间的数量关系，并说明理由．
【变式7-1】（2022秋•莲池区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分
线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P
＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【变式 7-2】（2022 秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC 中，∠A＝38°，
∠ABC＝42°，BE平分∠ABC，∠E＝19°．
（1）求∠ECD的度数；
（2）求证：CE平分∠ACD．1．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数
为（ ）
A．34° B．44° C．124° D．134°
2．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C
＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．（2021•河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，
则∠C的大小是（ ）
A．90° B．80° C．60° D．40°
4．（2021•湖北）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若
∠CDE＝160°，则∠B的度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（2023•石景山区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 作
EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
6．（2023•中山区一模）如图，已知 l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝50°，则
∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（2023•扶风县一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于
点D，若∠BDC＝120°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．（2021•盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
9．（2019•大庆）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角
∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°
10．（2019•广西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度
数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
11．（2023•梁园区一模）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，
∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
12．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为
C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD
＝110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
1．（2023春•市南区期中）若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么
这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．（2023春•泗阳县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，
且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度数（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°
3．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝
40°，∠ACD＝120°，则∠A＝（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
4．（2022秋•黄岛区校级期末）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的
度数为（ ）
A．180° B．220° C．230° D．240°
5．（2022 秋•铁西区期末）如图，在△ABC 中，E 为 BC 延长线上一点，
∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．20° D．22.5°
6．（2023•秦都区校级一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点 C
在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A＝60°，∠E＝45°，若
AB∥CF，则∠CBD的度数是（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°
7．（2023•南陵县模拟）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠ 的度
数为（ ）
α
A．65° B．67.5° C．75° D．80°
8．（2022 秋•邢台期末）如图，F 是△ABC 的角平分线 CD 和 BE 的交点，
CG⊥AB于点G．若∠ACG＝32°，则∠BFC的度数是（ ）
A．119° B．122° C．148° D．150°
9．（2022秋•城关区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠
△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠EDC等于（
）
A．69° B．67° C．66° D．42°
9．（2023春•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，∠BDC＝120°，∠B的平
分线和∠C的平分线相交于点D，则∠A＝ ．10．（2023春•沈北新区期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD
是∠ACB的角平分线，点 E在AC上，且DE∥BC，则∠EDC的度数为
．
11．（2023 春•锦江区校级期中）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分
∠BAC，若∠1＝35°，∠2＝20°，则∠B＝ ．
12．（2023 春•环翠区校级期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝50°，I 是
∠ABC，∠ACB平分线的交点．
（1）∠BIC＝ °；
（2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝ °；
（3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，
试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
