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必考点 15 分式的化简求值
●题型一 化简后直接代入求值
m2−4m+4 3
【例题1】（2021秋•白水县期末）先化简，再求值： ÷（m+1− ），其中m＝4．
m−1 m−1
a−b a b
【例题2】（2022•永丰县模拟）先化简，再求值：( − )÷ ，其中a＝﹣2，b
a2−2ab+b2 a2−2ab a−2b
＝3．
【解题技巧提炼】
先把分式化简后，再把分式中字母对应的值直接代入求出分式的值即可．在化简的过程中要注意运算顺序
和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
●题型二 化简后自选合适的数值代入求值
a+1 a+1
【例题3】若a为正整数，则化简 ÷ 的结果可以是（ ）
a2−a a2−2a+1
1 3
A．0 B． C． D．2
2 2【例题4】（2021秋•玉溪期末）先化简： x2+x 2 ，再任选一个你喜欢的数作为x的值代
÷(1+ )
x2−2x+1 x−1
入求值．
【例题5】（2021秋•塔城地区期末）先化简，再求值： 3 a2−1 ．请你从﹣1，0，1，2中选
(1+ )÷
a−2 (a−2) 2
取一个适当的数代入求值．
【解题技巧提炼】
先把分式化简后，再从题目中给出的条件中挑选合适的字母对应的值代入求出分式的值即可．在化简的过
程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简
分式或整式．所选取的字母的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
●题型三 字母满足方程（组）或不等式（组）
x−2 1 x2−2x+1
【例题 6】（2022 秋•鼓楼区校级期中）先化简再求值： − ⋅ ，其中
x+1 x−1 x+2
．
x=(2−2√3) 0+2
【例题7】（2021秋•海港区期末）先化简，再求值： a2−b2 a b2 ，其中a．b满足
( + )÷
a2−2ab+b2 b−a a2−ab
|a−√3|+√b+1=0．1 x2−6x+9
【例题8】（2021秋•凤庆县期末）先化简分式：(1− )÷ ，再从2≤x≤4中选一个合适的
x−2 2x−4
整数代入求值．
【解题技巧提炼】
先把分式化简后，再把解题中的方程或不等式组的特殊解，然后再选取合适的字母的值代入化简后的分式
求出分式的值即可．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约
分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
●题型四 化简后整体代入求值
1 1
【例题9】（2022•河北）若x和y互为倒数，则（x+ ）（2y− ）的值是（ ）
y x
A．1 B．2 C．3 D．4
1 1
【例题10】（2022春•大田县期末）已知，a+b＝2，ab＝﹣5，则 + 的值为（ ）
a b
5 2 5 2
A． B． C．− D．−
2 5 2 5
【例题11】（2021秋•永顺县期末）已知a﹣b＝3，求 ab a2 的值．
÷( −a)
a2−2ab+b2 a−b
2m+1 m+1
【例题12】（2022秋•海淀区校级月考）已知m2+m﹣2＝0，求代数式（m+ ）÷ 的值．
m m2【解题技巧提炼】
先把分式化简后，再利用整体代入法代入式子的值求出分式的值即可．在化简的过程中要注意运算顺序和
分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
●题型五 取倒数或利用倒数关系求值
【例题13】阅读下列解题过程：
已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = ，知x≠0，所以 =3，即x+ =3．
x2+1 3 x x
∴x4+1 x2 1 1 2 2＝32﹣2＝7．
= + =(x+ ) −
x2 x2 x
∴ x2 的值为7的倒数，即1．
x4+1 7
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2−x+1 7 x4+x2+1
xy yz 4 zx 4 xyz
（2）已知 =2， = ， = ，求 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx【例题14】（2021秋•成武县期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解
答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形
式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
x 1 1
例：已知： = ，求代数式x2+ 的值．
x2+1 4 x2
x 1 x2+1 x2 1
解：∵ = ，∴ =4即 + =4
x2+1 4 x x x
1 1 1
∴x+ =4∴x2+ =(x+ ) 2−2=16−2=14
x x2 x
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就
可以通过适当变形解决问题．
x
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值．
y+z
1 1
k
k k k x 2 2 6
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x= ，y= ，z= ，∴ = = =
2 3 4 y+z 1 1 7 7
k+ k
3 4 12
根据材料解答问题：
x 1 1
（1）已知 = ，求x+ 的值．
x2−x+1 5 x
a b c 3b+4c
（2）已知 = = (abc≠0)，求 的值．
5 4 3 2a【解题技巧提炼】
1.先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数
法”，
2.在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过
适当变形解决问题．
◆◆◆题型一 化简后直接代入求值
1．（2021秋•金山区期末）先化简，再求值： 1 x+3 x2+4x+3，其中x＝2．
− ÷
x+1 x2−1 x2−2x+1
2．（2022秋•郓城县校级月考）先化简，再求值：（x 2xy−y2） x2−y2，其中x 1，y ．
− ÷ =√2+ =√2
x x2+xy
◆◆◆题型二 化简后自选合适的数值代入求值
3．（2022•郯城县一模）先化简，再求值a−1 a2−2a 2a−1 ，其中a取适当值．
+ ÷( −a−1)
a+1 a2−1 a−1
4．（2021秋•白碱滩区期末）化简求值：先化简（ x 1） x2+2x+1，再从﹣1，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
− ÷
x−1 x2−1
◆◆◆题型三 字母满足方程（组）或不等式（组）
5．（2021秋•红河县期末）先化简： x−3 x2+2x+1 1 ，其中0≤x≤3，且x为整数，请选
⋅ −( +1)
x2−1 x−3 x−1
择一个你喜欢的数x代入求值．
6．（2021秋•道县期末）先化简再求值：若 ，求 2 a2−b2 1 的值．
√a−2+|3−b|=0 ⋅ ÷
a−b a2+2ab+b2 a2−b2
7．（2022•广元）先化简，再求值： 2 （1 x−1 ），其中x是不等式组{2(x−1)＜x+1的整数解．
÷ −
x2+x x2−1 5x+3≥2x
◆◆◆题型四 化简后整体代入求值8．若a b 0，则代数式（4b2−4ab 1） 2b−a的值为（ ）
= ≠ + ÷
2 3 a2 a
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
2 2
9．（2022春•南阳期末）若x+y＝3，xy＝﹣3，则 + 的值是（ ）
x y
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
◆◆◆题型五 取倒数或利用倒数关系求值
11．（2021秋•鄂州期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形
式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
x 1 1
例：若 = ，求代数式x2+ 的值．
x2+1 4 x2
x 1 x2+1
解：∵ = ，∴ =4
x2+1 4 x
x2 1 1 1 1
即 + =4∴x+ =4∴x2+ =（x+ ）2﹣2＝16﹣2＝14．
x x x x2 x
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就
可以通过适当变形解决问题．
x
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值．
y+z
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
1 1
k
k k k x 2 2 6
则x= ，y= ，z= ，∴ = = = ．
2 3 4 y+z 1 1 7 7
k+ k
3 4 12
根据材料回答问题：
x 1 1
（1）已知 = ，求x+ 的值．
x2−x+1 4 x
a b c 3b+4c
（2）已知 = = ，（abc≠0），求 的值．
5 4 3 2a
xy yz 4 zx 4 xyz
（3）已知x、y、z为实数， =−2， = ， =− ．求分式 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx2x 1
1．（2022•西城区校级模拟）如果y＝﹣x+3，且x≠y，那么代数式 + 的值为（ ）
x2−y2 y−x
1 1
A．− B． C．﹣3 D．3
3 3
1 1
2．（2021秋•新泰市期末）已知x+ =3，则x2﹣2 + = ．
x x2
1
3．（2021秋•丰宁县期末）已知m2﹣4m+1＝0，则m+ = ．
m
1
4．（2022•尤溪县模拟）已知实数a满足a2﹣3a﹣1＝0，则a2+
的值为 ．
a2
b a
5．（2022春•成华区期末）已知两个不等于0的实数a，b满足a+b＝0，则 + 的值为 ．
a b
1 1 1 1
6．（2022•南充）已知a＞b＞0，且a2+b2＝3ab，则（ + ）2÷（ − ）的值是（ ）
a b a2 b2
√5 √5
A．√5 B．−√5 C． D．−
5 5
7 ． （ 2022 秋 • 石 阡 县 月 考 ） 已 知
(x2−1) 2+||xy|−2|
， 则
=0
(x+1)(y+2)1 1 1
+ +⋯⋯+ 的值是 ．
xy (x+1)(y+1) (x+2022)(y+2022)
8．（2021秋•景谷县期末）先化简，再求值： x x2−2x+1，其中x＝2．
(1− )÷
x+1 x2−1
2x−1 x2−4x+4
9．（2022•陇县三模）先化简( −x+1)÷ ，再在﹣2＜x＜3内任选一个合适的整数代入
x+1 x+1
求值．
3−3x x2−x
10．（2022•薛城区模拟）先化简，再求值：（x﹣1+ ）÷ ，其中x为整数且满足不等式组
x+1 x+1
{x−1＞1
．
8−2x≥2
11．先化简，再求值：x2−2xy+ y2 x2+ y2 ，其中|2x﹣y|与 互为相反数．
÷( −x+ y) √x−1
x2−y2 x−y12．（2021秋•宁安市期末）先化简，再求值：（1 2 ） 2x−2x2 ，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．
− ÷
x x+1 x2+2x+1
x2−y2
13．（2022 秋•东平县校级月考）已知实数 x、y 满足|x﹣3|+y2﹣4y+4＝0，求代数式 •
xy
1 x
÷ 的值．
x2−2xy+ y2 x2y−x y2
14．（2022秋•邢台期中）已知 x−y x2−y2 ．
A=1− ÷
x+2y x2+4xy+4 y2
（1）化简A；
（2）若x+7y＝0，求A的值．15．（2022秋•江口县校级月考）有这样一道题：“先化简，再求值： 4−x2 x2−2x • 5 ，其中，
÷
x2+x+1 x3+x2+x x+2
x＝﹣2022”．小玲做题时把“x＝﹣2022”错抄成了“x＝2022”，但她的计算结果也是正确的，请你
解释这是怎么回事？
16．（2022•朝阳模拟）先化简，再求值： m m2−3m 1 ，其中m与2，3恰好构成△ABC的
÷ −
m2−4 m+2 2−m
三边，且m为正整数．
17．（2021秋•东城区校级期末）在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，
即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的．
x 1 1
例：已知 = ，求代数式x2+ 的值．
x2+1 5 x2
x 1 x2+1 x2 1 1
解：∵ = ，∴ =5即 + =5，∴x+ =5．
x2+1 5 x x x x
（1）请继续完成上面问题的求值过程；
（2）请仿照上述方法解决问题：已知 x 4，求 x2 的值．
=
x2−x−1 x4+x2+118．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形
式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
x 1 1
例：已知： = ，求代数式x2+ 的值．
x2+1 4 x2
x 1 x2+1 x2 1
解：∵ = ，∴ =4即 + =4
x2+1 4 x x x
1 1 1
∴x+ =4∴x2+ =(x+ ) 2−2＝16﹣2＝14
x x2 x
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就
可以通过适当变形解决问题．
x
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值．
y+z
1 1
k
k k k x 2 2 6
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x= ，y= ，z= ，∴ = = =
2 3 4 y+z 1 1 7 7
k+ k
3 4 12
根据材料回答问题：
x 1 1
（1）已知 = ，求x+ 的值．
x2−x+1 5 x
a b c 3b+4c
（2）已知 = = （abc≠0），求 的值．
5 4 3 2a（3）若 yz zx xy x2+ y2+z2，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
= = =
bz+cy cx+az ay+bx a2+b2+c2
