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必考点 14 分式及分式的运算
●题型一 分式的相关概念
★★★1、 分式的定义
【例题1】（2021秋•广阳区校级期末）下列代数式中属于分式的是（ ）
1 x x+3 2
A． B． C． D． x
2x π 2 3
【分析】根据分式的定义对各选项进行分析即可．
1
【解答】解：A、 是分式，符合题意；
2x
x
B、 是整式，不符合题意；
π
x+3
C、 是整式，不符合题意；
2
2
D、 x是整式，不符合题意．
3
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么
A
式子 叫做分式是解题的关键．
B
3 3+x 3 3+x x
【例题2】（2022秋•海淀区校级月考）在代数式 ， ， +x， ， 中，分式的个数为（
2+x 2 2 2x π
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据分式的定义判断即可．
3 3+x 3 3+x x 3 3+x
【解答】解：在代数式 ， ， +x， ， 中，是分式的有： ， ，
2+x 2 2 2x π 2+x 2x
共有2个，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
【解题技巧提炼】A
分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
B
★★★2、 与分式有关的条件
x
【例题3】（2021秋•固始县期末）若分式 有意义，则x应该满足的条件是（ ）
x+1
A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≥1
【分析】根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
1
【例题4】（2021秋•古丈县期末）若分式 无意义，则x的取值范围是（ ）
2x−1
1 1 1 1
A．x＞ B．x＜ C．x= D．x≠
2 2 2 2
【分析】根据分式无意义的条件可得2x﹣1＝0，再解即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣1＝0，
1
解得：x= ，
2
故选：C．
【点评】本题考查分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．
x2−4
【例题5】（2021秋•松山区期末）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
x+2
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
x2﹣4＝0，且x+2≠0，
解得，x＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；
（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2x+1
【例题6】（2021秋•盘山县期末）若分式 的值为正，则x的取值范围为（ ）
x2
1 1 1 1
A．x≥− B．x≤− C．x＞− 且x≠0 D．x＜−
2 2 2 2【分析】由于分母不能为0，则x2＞0，加上分式的值为正，所以2x+1＞0，然后求出两不等式的公共部
分即可．
【解答】解：根据题意得2x+1＞0且x2≠0，
1
解得x＞− 且x≠0，
2
1
所以x的取值范围为x＞− 且x≠0．
2
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值：当分式的分子分母同号时，分式的值为正，注意分母不能为0．
2−|x|
【例题7】（2022秋•晋州市期中）当 的值是﹣1时，则x为（ ）
x−2
A．任意正数 B．任意非负数
C．不等于2的正数 D．不等于2的非负数
【分析】根据题意列出关于x的方程，求出x的值即可．
2−|x|
【解答】解：∵ =−1，
x−2
∴2﹣|x|＝2﹣x，
∴|x|＝x，
∴x≥0，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴x≥0且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的值，分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是
较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解
题的捷径．
【解题技巧提炼】
与分式有关的条件
1.分式有意义的条件是分母不为0．
2.分式无意义的条件是分母为0．
3.分式的值为零的条件是：分子为0且分母不为0.
4.分式的值为正数的条件是分子、分母同号.
5.分式的值为负数的条件是分子、分母异号．6.分式的值为1的条件是分子分母相等且分母不为0.
7.分式的值为﹣1的条件是分子分母互为相反数且分母不为0.
●题型二 分式的基本性质及应用
★★★1、 分式的基本性质
【例题8】（2022春•碑林区校级月考）下列分式从左到右变形正确的是（ ）
a a+2 a a2 a−b 2 2b
A． = B． = C． =−1 D． =
b b+2 b b2 b−a a ab
【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
a a+2
【解答】解：A、 ≠ ，故A不符合题意；
b b+2
a a2
B、 ≠ ，故B不符合题意；
b b2
a−b a−b
C、 = =−1，故C符合题意；
b−a −(a−b)
2 2b
D、 = （b≠0），故D不符合题意；
a ab
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
−a
【例题9】（2022秋•新宁县校级月考）与分式 的值相等的是（ ）
a−b
a a a −a
A． B． C．− D．
−a−b a+b a−b −a+b
【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
−a a a
【解答】解：A、 = = ，故A不符合题意；
a−b −(a−b) −a+b
−a a
B、 ≠ ，故B不符合题意；
a−b a+b
−a a
C、 =− ，故C符合题意；
a−b a−b
−a −a
D、 ≠ ，故D不符合题意；
a−b −a+b
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．xy
【例题10】（2022春•广西月考）把分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，分式的值（ ）
x+ y
A．扩大到原来的3倍 B．不变
1
C．扩大到原来的6倍 D．缩小为原来的
3
【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
3x⋅3 y 9xy 3xy
= =
，
3x+3 y 3(x+ y) x+ y
xy
∴把分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍，
x+ y
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【例题11】不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，且分子与分母的最高次
项的系数都化为正数．
3
−2x2+ y
4 0.03a−0.5b2
（1） ； （2） ．
1
x2−3 y
−0.2a2+b
2
3
−2x2+ y
4
【分析】（1） 分子、分母中，各分数系数分母的最小公倍数是4；
1
x2−3 y
2
−8x2+3 y
（2） 分子中最高次项的系数是﹣8、分母中最高次项的系数是2．
2x2−12y
3
−2x2+ y
4
【解答】解：（1）
1
x2−3 y
2
3
4(−2x2+ y)
4
=
1
4( x2−3 y)
2
−8x2+3 y
=
2x2−12y8x2−3 y
=− ；
2x2−12y
0.03a−0.5b2
（2）
−0.2a2+b
100(0.03a−0.5b2
)
=
100(−0.2a2+b)
3a−50b2
=
−20a2+100b
50b2−3a
= ．
20a2−100b
【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握基本性质是解题的关键．
【解题技巧提炼】
1.分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
2.分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
★★★2、 分式的约分与通分
【例题12】（2021秋•聊城期末）下列约分正确的是（ ）
x+2 1 x+2
A． = B． =−1
3x+6 3x x−2
a+b a x6
C． = D． =x4
b+c b x2
【分析】直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断即可．
x+2 x+2 1
【解答】解：A. = = ，故此选项不合题意；
3x+6 3(x+2) 3
x+2
B. 无法化简，故此选项不合题意；
x−2
a+b
C. 无法化简，故此选项不合题意；
b+cx6
D. =x4，故此选项符合题意．
x2
故选：D．
【点评】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键．
1 1
【例题13】（2022秋•张店区期中）分式 与 的最简公分母是（ ）
x2+5x x2−25
A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5）
C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案．
1 1
【解答】解：分式 与 的最简公分母是x（x+5）（x﹣5）．
x2+5x x2−25
故选：D．
【点评】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式．
x2+6x+9
【例题14】（2017秋•新罗区校级月考）约分：（1） ；
x2−9
a−1 6
通分：（2） ， ．
a2+2a+1 a2−1
【分析】（1）首先将分子与分母分解因式，进而化简得出答案；
（2）首先将分子与分母分解因式，进而通分得出答案．
x2+6x+9 (x+3) 2 x+3
【解答】解：（1） = = ；
x2−9 (x−3)(x+3) x−3
a−1 a−1 (a−1) 2
（2） = = ，
a2+2a+1 (a+1) 2 (a+1) 2 (a−1)
6 6 6(a+1)
= =
．
a2−1 (a+1)(a−1) (a+1) 2 (a−1)
【点评】此题主要考查了通分与约分，正确分解因式是解题关键．
【解题技巧提炼】
分式的约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约
分．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
分式的通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫
做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
●题型三 分式的乘除运算
8x x−y
【例题15】（2022秋•泰山区校级月考）计算 ⋅ 的结果是（ ）
x−y 8 y
y x x y
A． B．− C． D．−
x y y x
【分析】根据分式的乘法法则进行计算即可．
8x x−y x
【解答】解： ⋅ = ．
x−y 8 y y
故选：C．
【点评】本题考查了分式的乘法法则，能正确运用分式的乘法法则进行计算是解此题的关键．
x2−6x+9 x2−9
【例题16】（2021秋•肥城市期末）化简 ÷ 的结果是（ ）
x x2+3x
A．x+3 B．﹣6x C．3﹣x D．x﹣3
【分析】把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
x2−6x+9 x2−9
【解答】解： ÷
x x2+3x
(x−3) 2 x(x+3)
= ⋅
x (x−3)(x+3)
＝x﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
【例题17】计算：
b2 2b 3ab a2−2ab+b2 a−b
（1） ÷ • ； （2）（ab﹣a2）÷ • ．
−27a3 9a b4 ab a2
【分析】各式利用除法法则变形，约分即可得到结果．b2 9a 3ab
【解答】解：（1）原式=− • •
27a3 2b b4
1
=−
；
2ab2
ab a−b
（2）原式＝﹣a（a﹣b）• •
(a−b) 2 a2
＝﹣b．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解题技巧提炼】
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
3.分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
●题型四 分式的乘方及乘除混合运算
【例题18】（2022秋•新泰市期中）计算：
x y2 a−2 a2−4
（1）（− ）2•（− ）3÷（﹣xy4） （2） ÷ ；
y x a+3 a2+6a+9
4x2−4xy+ y2 1 b b 3b 4a
（3） ÷(4x2−y2 )⋅ （4）（ ）2÷（− ）•（ ）3•（ ）2．
2x−y 2x+ y 2a a 4a 3b
【分析】（1）根据同底数幂的除法运算以及积的乘方运算即可求出答案．
（2）根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
（3）根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
（4）根据同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算法则即可求出答案．
x2 y6
【解答】解：（1）原式= •（− ）÷（﹣xy4）
y2 x3
y4 1
=− •
x −x y4
1
=
．
x2
a−2 (a+3) 2
（2）原式= •
a+3 (a+2)(a−2)
a+3
= ．
a+2(2x−y) 2 1 1
（3）原式= • •
2x−y (2x−y)(2x+ y) 2x+ y
1
=
．
(2x+ y) 2
b2 a 27b3 16a2
（4）原式= •（− ）• •
4a2 b 64a3 9b2
b 27b3 16a2
=− • •
4a 64a3 9b2
27b4 16a2
=− •
256a4 9b2
3b2
=− ．
16a2
【点评】本题考查分式的乘除运算法则，同底数幂的除法运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型．
【解题技巧提炼】
1.分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
2.分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即
“先乘方，再乘除”．
3.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
4.做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
●题型五 分式的加减法
3a+1 a+1
【例题19】（2022•景德镇模拟）计算 − 的结果为（ ）
2a 2a
a+1 a−1
A．1 B．﹣1 C． D．
a a
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
3a+1−(a+1)
【解答】解：原式=
2a
3a+1−a−1
=
2a
2a
=
2a＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
x−1 x
【例题20】（2022秋•蒙城县期中）计算 + 的结果为（ ）
x2−1 x+1
1 1
A． B．﹣1 C．1 D．
x+1 x−1
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可．
x−1 x
= +
【解答】解：原式
(x+1)(x−1) x+1
1 x
= +
x+1 x+1
x+1
=
x+1
＝1．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分母．
y−1 y
【例题21】（2022秋•潍坊期中）如果x＞y＞1，那么 − 的值是（ ）
x−1 x
A．正数 B．负数 C．零 D．不确定
y−1 y
【分析】首先将代数式 − 通分化简，然后根据已知条件结合乘除法的符号法则，得出结果．
x−1 x
【解答】解：∵x＞y＞1，
∴y﹣x＜0，x﹣1＞0，
y−1 y
∴ −
x−1 x
x(y−1) y(x−1)
= −
x(x−1) x(x−1)
y−x
= ＜0．
x(x−1)
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减，正确掌握分式的运算法则是关键．
a2+b2 2ab 1
【例题22】计算：（1） + （2）x+1 +
a−b b−a 1−x
【分析】根据分式的加减法则进行计算，即可得出答案．
a2+b2 2ab
【解答】解：（1） +
a−b b−aa2+b2 2ab
= −
a−b a−b
a2+b2−2ab
=
a−b
(a−b) 2
=
a−b
＝a﹣b．
1
（2）x+1+
1−x
(x+1)(1−x) 1
= +
1−x 1−x
1−x2+1
=
1−x
2−x2
= ．
1−x
【点评】本题考查分式的加减，分式的基本性质等知识，解题的关键是掌握分式的基本性质．
【解题技巧提炼】
分式的加减法
1.同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
2.异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成 分母相同 的分式，叫做通分，异分母分式相
加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
●题型六 分式的混合运算
1 x2−4x+4 2
【例题:23】（2022秋•石景山区校级期中）计算： • + ．
2x−4 x+2 x+2
【分析】把能分解的因式进行分解，再约分，最后进行分式的加法即可．
1 x2−4x+4 2
【解答】解： • +
2x−4 x+2 x+2
1 (x−2) 2 2
= ⋅ +
2(x−2) x+2 x+2
x−2 2
= +
2(x+2) x+2
x−2+4
=
2(x+2)
x+2
=
2(x+2)1
= ．
2
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
3x x x
【例题24】（2021秋•乳山市期末）化简：( − )÷ ．
x−2 x+2 x2−4
【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
3x(x+2)−x(x−2) (x−2)(x+2)
【解答】解：原式= ×
(x−2)(x+2) x
＝3（x+2）﹣（x﹣2）
＝3x+6﹣x+2
＝2x+8．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
1 a2−2a+1
【例题25】（2021秋•鹤城区校级月考）计算：（1− ）÷ ．
a 2a−2
【分析】先通分，再利用除法法则变形，约分即可得到结果．
a−1 2(a−1) 2
【解答】解：原式 = × = ．
a (a−1)❑ 2 a
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3ab+b2 a+b
【例题26】化简：（a+ ）÷ ．
a−b a−b
【分析】根据运算顺序，先计算括号内的加法，再计算除法即可．
3ab+b2 a+b
【解答】解：（a+ ）÷ ，
a−b a−b
a2−ab 3ab+b2 a+b
＝（ + ）÷ ，
a−b a−b a−b
(a+b) 2 a−b
= × ，
a−b a+b
＝a+b．
【点评】本题考查分式的四则混合运算，掌握运算顺序和计算法则是正确计算的前提．
【解题技巧提炼】
分式的混合运算:
1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘方，再算乘除，最后算加
减，有括号的先算括号里面的．
2.最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．3.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运
算．
●题型七 整数指数幂
【例题27】（2021秋•谷城县期末）若（x﹣1）﹣1+x0有意义，则x值应该是（ ）
A．x≠0 B．x≠1 C．x＞0且x≠1 D．x≠0且x≠1
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
1
【解答】解：∵原式可化为 + x0，
x−1
∵代数式有意义，
∴x﹣1≠0，x≠0，解得x≠1且x≠0．
故选：D．
【点评】本题考查的是负整数指数幂和零指数幂，熟知分式有意义的条件是解题的关键．
1 −2 1 0
【例题28】（2022春•碑林区校级月考）若a＝0.32，b＝﹣3﹣2，c=(− ) ，d=(− ) ，则（ ）
3 3
A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，零次幂分别求出a、b、c、d的值，再比较大小即可．
1
【解答】解：∵a＝0.09，b=− ≈−0.1111，c＝9，d＝1，
9
∴b＜a＜d＜c，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，零次幂，掌握有理数的乘方的计算方法，负整数指数
幂，零次幂的性质是正确解答的前提．
1
【例题29】（2022秋•安徽期中）计算：(−1) 3×( ) −2+(−2+5)+20220 ．
3
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出
答案．
【解答】解：原式＝﹣1×9+3+1
＝﹣9+3+1
＝﹣5．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是
解题关键．
【例题30】（2021秋•朝阳区校级月考）（2mn2）﹣2（m﹣2n﹣1）﹣3（结果化为只含有正指数幂的形式）
【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可．1 m4
【解答】解：原式＝2﹣2m﹣2n2×（﹣2）•m﹣2×（﹣3）n﹣1×（﹣3）= m﹣2n﹣4•m6n3= ．
4 4n
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的计算，关键是掌握当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，
负指数就可变为正指数．
【例题31】计算：（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1﹣y﹣1）（结果不含负整数指数幂）．
【分析】方法一：根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数转化为分式，再根据分式的加减运算
以及除法运算进行计算即可得解；
方法二：先把被除数利用平方差公式分解因式，然后约分，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂
的倒数进行计算即可得解．
【解答】解：方法一：（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1﹣y﹣1），
1 1 1 1
＝（ − ）÷（ − ），
x2 y2 x y
y2−x2 y−x
= ÷ ，
x2y2 xy
(y−x)(y+x) xy
= • ，
x2y2 y−x
x+ y
= ；
xy
方法二：（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1﹣y﹣1），
＝（x﹣1﹣y﹣1）（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣1﹣y﹣1），
＝x﹣1+y﹣1，
1 1
= + ，
x y
x+ y
= ．
xy
【点评】本题主要考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质，分式的混合运算，熟练掌
握负整数指数幂的性质是解题的关键．
【解题技巧提炼】
零指数幂：a0＝1（a ≠ 0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1．
负整数指数幂：任何一个不为零的负n次幂都等于这个数的 n次幂的倒数，即 ＝ （a≠0，n为正整
数）
整数指数幂的运算性质：am•an＝am+n（m，n是整数）（am）n＝ amn （m，n是整数）
（ab）n＝ anbn （n是整数）
●题型八 用科学记数法表示绝对值小于1的数
【例题32】（2021秋•岳池县期末）一款紫外线灯的波长为300nm（1nm＝10﹣9m），300nm用科学记数法
可以表示为（ ）
A．3×10﹣6m B．3×10﹣7m C．3×10﹣8m D．3×10﹣9m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
300nm＝300×10﹣9m＝3×10﹣7m．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
【例题33】（2022•敖汉旗一模）2022年1月17日10时35分，我国成功发射了试验十三号卫星，为中国
航天取得开门红．其授时精度为世界之最，不超过0.000 000 0099秒．数据“0.000 000 009 9”用科学记
数法表示为（ ）
A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．9.9×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数据“0.000 000 009 9”用科学记数法表示为9.9×10﹣9．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【例题34】（2022•丽水模拟）某种冠状病毒的直径约为0.00000012米，用科学记数法可将0.00000012表
示为（ ）
A．12×10﹣7 B．12×10﹣8 C．1.2×10﹣6 D．1.2×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法可将0.00000012表示为1.2×10﹣7．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解题技巧提炼】
科学记数法—表示较小的数:
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
◆◆◆题型一 分式的相关概念
2 1 n
1．（2022秋•南岗区校级期中）下列四个式子： ，x2+x， m， ，其中分式的个数有（ ）
a 3 2−n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义可得．
2 n
【解答】解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有 ， 两个分母中都含有字
a 2−n
母，所以这两个是分式，
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的定义，解题的关键是看分母上有没有字母．
x+3 x+5
2．（2022秋•栖霞市期中）若式子 + 有意义，则x满足的条件是（ ）
x−3 x−4
A．x≠3且x≠﹣3且x≠4且x≠﹣5 B．x≠﹣3且x≠﹣5
C．x≠4且x≠﹣5 D．x≠3且x≠4
【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．
x+3 x+5
【解答】解：∵分式 + 有意义，
x−3 x−4
∴x﹣3≠0，x﹣4≠0，
∴x≠3且x≠4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
3．（2022秋•社旗县期中）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
3
A．x+5 B．x2﹣4 C． D．（x+1）3
x−2【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0和代数式求值判断即可．
【解答】解：A选项，当x＝﹣5时，原式＝0，故该选项不符合题意；
B选项，当x＝±2时，原式＝0，故该选项不符合题意；
C选项，分式的值不可能等于0，故该选项符合题意；
D选项，当x＝﹣1时，原式＝0，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，代数式求值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母
不等于0是解题的关键．
x+2
4．（2021秋•巴林左旗期末）若分式 的值是零，则x的值是（ ）
x2−9
A．x＝﹣2 B．x＝±3 C．x＝2 D．x＝﹣2或±3
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．
x+2
【解答】解：∵分式 的值是零，
x2−9
∴x+2＝0，x2﹣9≠0
解得：x＝﹣2，x≠±3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
x+2
5．（2022春•振兴区校级期末）若分式 的值为正数，则x的取值范围是（ ）
x2−2x+1
A．x＞﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x＞1
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即
可得出答案．
x+2
=
【解答】解：原式 ，
(x−1) 2
当x≠1时，（x﹣1）2＞0，
当x+2＞0时，分式的值为正数，
∴x＞﹣2且x≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
◆◆◆题型二 分式的基本性质及应用
a−b
6．（2022秋•岳阳楼区月考）根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
−x−a−b a+b a−b a+b
A． B． C．− D．−
x x x x
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
a−b a−b a−b −(a−b) −a+b
【解答】解：∵ =− ， = = ，
−x x −x x x
∴选项A、选项B、选项D都不符合题意，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的性质进行变形是解此题的关键．
b a+b a4−b4 m2−8m
7．（2022秋•临武县校级月考）分式 ， ， ， 中，最简分式有（ ）
2a ab+a a2+b2 64−m2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用最简分式定义进行分析即可．
b a+b a4−b4 m2−8m b a+b
【解答】解：分式 ， ， ， 中，最简分式有 ， ，共2个．
2a ab+a a2+b2 64−m2 2a ab+a
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
2 x 3
8．（2022春•衡阳期中）分式 ， ， 的最简公分母是（ ）
x x2−1 x+1
A．x2﹣1 B．x（x2﹣1） C．x2﹣x D．（x+1）（x﹣1）
【分析】根据最简公分母的概念确定三个分式的最简公分母，判断即可．
2 x 3
【解答】解： ， ， 的最简公分母是x（x2﹣1），
x x2−1 x+1
故选：B．
【点评】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，
这样的公分母叫做最简公分母．
9．（2022秋•铜仁市校级月考）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
1 1
x+ y
0.2x+1 2 4
（1） ； （2） ．
5−0.3x 1 1
x− y
2 3
【分析】（1）根据分式的基本性质，进行计算即可解答；
（2）根据分式的基本性质，进行计算即可解答．0.2x+1 10(0.2x+1) 2x+10
【解答】解：（1） = = ；
5−0.3x 10(5−0.3x) 50−3x
1 1 1 1
x+ y 12( x+ y)
2 4 2 4 6x+3 y
（2） = = ．
1 1 1 1 6x−4 y
x− y 12( x− y)
2 3 2 3
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
10．按要求答题：
2a(a−1)
（1）约分
6a2b(1−a)
x 1
（2）通分 ， ．
x+ y x2y−x y2
【分析】（1）根据约分法则计算；
（2）找出最简公分母，计算即可．
2a(a−1) 1
【解答】解：（1） =− ；
6a2b(1−a) 3ab
x
x2y(x−y)
（2） = ，
x+ y xy(x+ y)(x−y)
1 x+ y
=
．
x2y−x y2 xy(x+ y)(x−y)
【点评】本题考查的是分式的通分、约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．
◆◆◆题型三 分式的乘除运算
11．（2022秋•宁阳县校级月考）计算：
3xy2 8z3 ab2 −3ax
（1） • ； （2） ÷ ；
4z2 y 2cd 4cd
a 2 3a 2b a+2 1
（3）(− ) ÷ • ； （4） • ；
b 4b 3a a−2 a2+2a
a+1 a a−1 a2−1
（5） • ； （6） ÷ ．
a−1 a2−1 a2−4a+4 a2−4
【分析】（1）直接约分运算即可；
（2）将除法先转化为乘法，再约分运算即可；（3）将除法先转化为乘法，计算乘法后再约分运算即可；
（4）先将多项式因式分解，再约分运算即可；
（5）将除法先转化为乘法，再将多项式因式分解，最后约分运算即可．
3xy2 8z3
【解答】解：（1） •
4z2 y
＝3xy•2z
＝6xyz；
ab2 −3ax
（2） ÷
2cd 4cd
ab2 4cd
= •
2cd −3ax
2b2
=− ；
3x
a 2 3a 2b
（3）(− ) ÷ •
b 4b 3a
a 2 4b 2b
=(− ) • •
b 3a 3a
a2 4b 2b
= • •
b2 3a 3a
8
= ；
9
a+2 1
（4） •
a−2 a2+2a
a+2 1
= •
a−2 a(a+2)
1
=
；
a(a−2)
a+1 a
（5） •
a−1 a2−1
a+1 a
= •
a−1 (a+1)(a−1)
a
=
；
(a−1) 2
a−1 a2−1
（6） ÷
a2−4a+4 a2−4a−1 (a+2)(a−2)
= ×
(a−2) 2 (a+1)(a−1)
a+2
=
．
(a−2)(a+1)
【点评】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的化简方法，因式分解，平方差公式，完全平方公式是解
题的关键．
◆◆◆题型四 分式的乘方及乘除混合运算
12．（2021秋•东平县校级月考）计算：
a−b a a−2 a2−4
(1)( ) 2 ⋅(− ) 3 ⋅(a2−b2 )． （2） ÷ ．
ab b−a a+3 a2+6a+9
4x2−4xy+ y2 1 b b 3b 4a
(3) ÷(4x2−y2 )⋅ ． （4）( ) 2÷（− ）⋅( ) 3 ⋅( ) 2 ．
2x−y 2x+ y 2a a 4a 3b
【分析】（1）先进行分式的乘方运算，再把a2﹣b2分解因式，然后约分即可；
（2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（3）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（4）先进行分式的乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
(a−b) 2 a3
【解答】解：（1）原式= • •（a+b）（a﹣b）
a2b2 (a−b) 3
a(a+b)
=
b2
a2+ab
= ；
b2
a−2 (a+3) 2
（2）原式= •
a+3 (a+2)(a−2)
a+3
= ；
a+2
(2x−y) 2 1 1
（3）原式= • •
2x−y (2x+ y)(2x−y) 2x+ y
1
=
(2x+ y) 2
1
=
；
4x2+4xy+ y2b2 a 27b3 16a2
（4）原式= •（− ）• •
4a2 b 64a3 9b2
3b2
=− ．
16a2
【点评】本题考查了分式的乘除法：熟练掌握分式的乘法法则、分式的除法法则和分式的乘方法则是解
决问题的关键．
◆◆◆题型五 分式的加减法
13．（2022秋•铜仁市校级月考）计算：
2x+3 x+2 1 2
（1） − ； （2） − ．
x+1 x+1 a−2 a2−2a
2 6 2a 1
（3） − ． （4） + ．
x−3 x2−9 a2−4 2−a
x2 2 2 1
（5） −x−1； （6） + − ．
x−1 x2−1 x+1 x−1
【分析】（1）先相减，再约分即可；
（2）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可．
（3）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可．
（4）先通分，再进行减法运算即可．
（5）先通分，再进行减法运算即可．
（6）先通分，再进行减法运算即可．
2x+3−x−2
【解答】解：（1）原式=
x+1
x+1
=
x+1
＝1；
a 2
（2）原式= −
a(a−2) a(a−2)
a−2
=
a(a−2)1
= ．
a
2(x+3) 6
（3）原式= −
(x−3)(x+3) (x+3)(x−3)
2x+6−6
=
(x−3)(x+3)
2x
=
(x+3)(x−3)
2x
=
．
x2−9
2a 1
（4） +
a2−4 2−a
2a 1
= −
a2−4 a−2
2a a+2
= −
a2−4 a2−4
a−2
=
(a−2)(a+2)
1
= ．
a+2
x2
（5） −x−1
x−1
x2 x2−1
= −
x−1 x−1
1
= ；
x−1
2 2 1
（6） + −
x2−1 x+1 x−1
2 2(x−1) x+1
= + −
x2−1 x2−1 x2−1
2+2x−2−x−1
=
(x−1)(x+1)
x−1
=
(x−1)(x+1)
1
= ．
x+1
【点评】本题考查了分式的计算：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在
化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
◆◆◆题型六 分式的混合运算
14．（2021 春•奉化区校级期末）记 a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，设 A 为代数式，若 A※
1 x−2y
= ，则A＝ （用含x，y的代数式表示）．
4x2−16 y2 x+2y
【分析】根据完全平方公式把a※b化简，根据分式的混合运算法则计算，得到答案．
【解答】解：a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2
＝4ab，
1 x−2y
由题意得，4A• = ，
4x2−16 y2 x+2y
x−2y 4(x+2y)(x−2y)
则A= • =（x﹣2y）2，
x+2y 4
故答案为：（x﹣2y）2．
【点评】本题考查的是分式的混合运算、完全平方公式，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
1 x2+6x+9
15．（2022•金凤区模拟）化简：（1+ ）÷ ．
x+2 x2−4
【分析】（1）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
x+2+1 (x+2)(x−2)
【解答】解：原式= •
x+2 (x+3) 2
x+3 (x+2)(x−2)
= •
x+2 (x+3) 2
x−2
= ．
x+3
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则．
4m−9 m2−9
16．（2022•大连模拟）计算：（m− ）÷ ．
m−2 m−2
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
m2−2m−4m+9 m−2
【解答】解：原式= •
m−2 (m+3)(m−3)
(m−3) 2
=
(m+3)(m−3)m−3
= ．
m+3
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
2 2 2
17．（2022秋•云溪区期中）计算（ − ）÷ ．
x+1 x−1 1−x
【分析】先通分，把除法转为乘法，再约分即可．
2 2 2
【解答】解：（ − ）÷
x+1 x−1 1−x
2(x−1)−2(x+1) 1−x
= ⋅
(x+1)(x−1) 2
2x−2−2x−2 −(x−1)
= ⋅
(x+1)(x−1) 2
−4 −(x−1)
= ⋅
(x+1)(x−1) 2
2
= ．
x+1
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
a2−6a+9 1
18．（2021秋•息县期末）计算： ÷(1− )．
a2−4 a−2
【分析】利用异分母分式加减法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
a2−6a+9 1
【解答】解： ÷(1− )
a2−4 a−2
(a−3) 2 a−2−1
= ÷
(a+2)(a−2) a−2
(a−3) 2 a−2
= •
(a+2)(a−2) a−3
a−3
= ．
a+2
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
◆◆◆题型七 整数指数幂
19．（2022春•雨城区校级月考）若（a﹣1）0+3（a﹣4）﹣2有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＜4 C．a≠1且a≠4 D．a≠1或a≠4
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂的底数不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵a﹣1≠0且a﹣4≠0，∴a≠1且a≠4．
故选：C．
1
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握a﹣p= （a≠0）是解题的关键．
ap
1 1 1
20．（2022春•德化县期中）计算：( )
−2×(3−π) 0+(
)
3÷(
)
2
．
4 2 2
【分析】根据实数的混合运算法则，先计算负整数指数幂、零指数幂、乘方，再计算乘除，后计算加减．
1 1 1
【解答】解：( )
−2×(3−π) 0+(
)
3÷(
)
2
4 2 2
1 1
＝16×1+ ÷
8 4
1
＝16+ ×4
8
1
＝16+
2
1
=16 ．
2
【点评】本题主要考查有理数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂、乘方，熟练掌握有理数的混合运
算法则、负整数指数幂、零指数幂、乘方是解决本题的关键．
21．化简：（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2．
【分析】利用负整数指数幂的法则求解即可．
【解答】解：（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2
1
＝m﹣6n﹣2• ×m4n6，
4
1
= m﹣2n4，
4
n4
= ．
4m2
【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题的关键是熟记负整数指数幂的法则．
22．计算：（2xy﹣1）2•xy÷（﹣2x﹣2y）
【分析】利用负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则求解即可．
【解答】解：原式＝4x2y﹣2•xy÷（﹣2x﹣2y）
＝4x3y﹣1÷（﹣2x﹣2y），
＝﹣2x5y﹣2，2x5
=− ．
y2
【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则．
23．计算：5a﹣5b2﹣（2ab﹣1）2．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得分式的加减，根据分式的加减，可得答案．
5b2 4a2
【解答】解：原式= −
a5 b2
5b4 4a7
= −
a5b2 a5b2
5b4−4a7
= ．
a5b2
【点评】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂得出分式的加减，又利用了分式的加减．
◆◆◆题型八 用科学记数法表示绝对值小于1的数
24．（2021 秋•东湖区校级期末）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为 0.000000102 米，数
0.000000102用科学记数法表示为（ ）
A．10.2×10﹣8 B．1.02×10﹣5 C．1.2×10﹣6 D．1.02×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000102＝1.02×10﹣7，
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
25．（2021秋•马尾区校级期末）科学家使用某技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到 0.22纳米，也就是
0.00000000022米．用科学记数法表示数据0.00000000022，其结果是（ ）
A．0.22×10﹣9 B．2.2×10﹣10 C．22×10﹣11 D．0.22×10﹣8
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000000022＝2.2×10﹣10．
故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
26．（2021秋•交口县期末）清代袁枚的诗《苔》中有这样的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”．据了
解苔花的花粉直径大约仅有0.00000084米，该数据用科学记数法可表示为 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000084＝8.4×10﹣7．
故答案为：8.4×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
|x|−3
1．（2022秋•东平县期中）若分式 的值为0，则x＝ ．
(x−3)(x+2)
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣3＝0，且（x﹣3）（x+2）≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|x|﹣3＝0，且（x﹣3）（x+2）≠0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式的值为零，需同
时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2．（2021秋•林口县期末）用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为 0.000326毫米，0.000326用科学记数法
表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000326＝3.26×10﹣4．
故答案为：3.26×10﹣4
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
x+1 x+3
3．（2022秋•蓬莱区期中）当x＝ 时， ÷ 无意义．
x+2 x+4【分析】根据分母与除式为0求出x的值即可．
x+1 x+3
【解答】解：∵ ÷ 无意义，
x+2 x+4
∴x+2＝0或x+3＝0或x+4＝0，
解得：x＝﹣2或﹣3或﹣4．
故答案为：﹣2或﹣3或﹣4．
【点评】此题考查了分式的加减法，以及分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解本题的关
键．
m 3 m−n
4．（2022秋•长清区期中）已知 = ，则 的值为（ ）
n 2 n
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
2 3 2 3
m−n m
【分析】先化简 = −1，代入数值计算即可．
n n
m 3
【解答】解：∵ = ，
n 2
m−n
n
m
= −1
n
3
= −1
2
1
= ．
2
故选：C．
m−n m
【点评】本题考查了分式的值，能化成 = −1是解题的关键．
n n
2xy
5．（2022秋•虹口区校级期中）若分式 中x和y的值都扩大5倍，那么分式的值（ ）
4x−3 y
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．以上都不对
【分析】把分式中的分子，分母中的x、y都同时变成原来的5倍，就是用5x、5y分别代替式子中的x、
y，看得到的式子与原式子的关系．
2xy
【解答】解：由分式 中的x和y的值都扩大5倍，得
4x−3 y
2×5x×5 y 2xy
=5× ，
4×5x−3×5 y 4x−3 y
故选：A．【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或
除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．
x2+3xy+ y2
6．（2022秋•南皮县校级月考）已知x+y＝5，xy＝2，则 的值为（ ）
x2y+x y2
9 27
A．2 B． C．3 D．
4 10
【分析】先利用完全平方公式和提公因式法进行变形，再代入进行计算即可．
(x+ y) 2+xy
【解答】解：原式= ，
xy(x+ y)
把x+y＝5，xy＝2代入得：
25+2 27
原式= = ．
2×5 10
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式的值．能够正确利用完全平方公式和提公因式法进行变形解题的关键．
a2
7．（2022春•南安市期中）已知a2﹣4a+1＝0，则分式 的值是（ ）
a4+1
1 1
A．7 B．14 C． D．
7 14
1
【分析】根据完全平方公式可求出a2+ = 14，然后代入原式即可求出答案．
a2
【解答】解：∵a2﹣4a+1＝0且a≠0，
1
∴a+ =4，
a
1 1
∴（a+ ）2＝a2+2 + = 16，
a a2
1
∴a2+ = 14，
a2
1 1
= =
∴原式 a2+ 1 14，
a2
故选：D．
1
【点评】本题考查分式的值，解题的关键是正确求得a2+ =
14．
a2
1 1 2
8．（2022秋•永年区期中）试卷上一个正确的式子（ + ）÷★ = ，被小颖同学不小心滴上墨
a+b a−b a+b汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ．
1 1 2
【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（ + ）÷ ，再根据分式的运算法
a+b a−b a+b
则进行计算即可．
1 1 2
【解答】解：∵（ + ）÷★ = ，
a+b a−b a+b
∴被墨汁遮住部分的代数式是：
1 1 2
（ + ）÷ ，
a+b a−b a+b
a−b+a+b a+b
=
•
(a+b)(a−b) 2
2a 1
= •
a−b 2
a
= ．
a−b
a
故答案为： ．
a−b
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
5x−1 M N
9．（2022秋•渝中区校级期中）已知 = − ，且M、N为常数，则M+N的值为
(x−3)(x+4) x−3 x+4
．
{ M−N=5
【分析】利用异分母分式加减法法则进行计算可得： ，然后再解二元一次方程组可得
4M+3N=−1
{ M=2
，最后进行计算即可解答．
N=−3
5x−1 M N
【解答】解： = −
(x−3)(x+4) x−3 x+4
M(x+4)−N(x−3)
=
(x−3)(x−4)
Mx+4M−Nx+3N
=
(x−3)(x−4)
(M−N)x+4M+3N
= ，
(x−3)(x−4)
{ M−N=5
∴ ，
4M+3N=−1{ M=2
解得： ，
N=−3
∴M+N＝2+（﹣3）＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式加减法法则是解题的关键．
|a2−a 1 |
|a b| |a b|
10．式子 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 = ad﹣bc，则二阶行列式 1 =
c d c d a
a2−1
．
【分析】先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可．
|a2−a 1 |
【解答】解： 1
a
a2−1
1
＝（a2﹣a）• −a×1
a2−1
1
＝a（a﹣1）• −a
(a+1)(a−1)
a
= −a
a+1
a−a(a+1)
=
a+1
a2
=− ，
a+1
a2
故答案为：− ．
a+1
【点评】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．
a−b
11．（2022春•江都区校级月考）已知a＞b＞0，a2+b2＝6ab，则 的值为（ ）
a+b
√2 √2
A． B．± C．√2 D．±√2
2 2
【分析】利用完全平方公式得出a+b，a﹣b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵a2+b2＝6ab，
∴a2+b2+2ab＝8ab，
即（a+b）2＝8ab，
∵a2+b2＝6ab，∴a2+b2﹣2ab＝4ab，
即（a﹣b）2＝4ab，
∵a＞b＞0，
∴a+b＞0，a﹣b＞0，
a−b √4ab √2
∴ = = ．
a+b √8ab 2
故选：A．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，根据已知得出a+b，a﹣b的值是解题关键．
12．（2021春•高新区期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的价格有变化，
两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，而不管购买多少面粉．
设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单
价是 元，在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为
．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式）
【分析】根据题意和题目中的数据，可以用含a、b的代数式表示出甲所购面粉的平均单价，然后再根
据题目中的数据，可以得到在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为
a+b 600+600
−
2 600 600，然后计算即可．
+
a b
【解答】解：由题意可得，
800a+800b a+b
甲所购面粉的平均单价是： = （元），
800+800 2
在 甲 、 乙 所 购 买 面 粉 的 平 均 单 价 中 ， 高 的 平 均 单 价 与 低 的 平 均 单 价 的 差 值 为 ：
a+b 600+600 a+b 2ab (a+b) 2−4ab (a−b) 2
− = − = =
2 600 600 2 a+b 2(a+b) 2(a+b)，
+
a b
a+b (a−b) 2
故答案为： ， ．
2 2(a+b)
【点评】本题考查分式的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应代数式．
13．当x取何值时，下列分式有意义？
1 x−1 √x−2 3x+1 x
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．
1−2x |x|−1 2x−6 x2+5 x2−2x+1
【分析】直接利用分式无意义则分母为0，进而得出答案．1
【解答】解：（1）当1﹣2x≠0，即x≠ 时，分式有意义；
2
（2）当|x|﹣1≠0，即x≠±1时，分式有意义；
（3）当x﹣2≥0且2x﹣6≠0，即x≥2且x≠3时，分式有意义；
（4）当x取任意实数时，x2+5＞0，分式都有意义；
（5）∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴当x≠1时，x2﹣2x+1≠0，分式有意义．
【点评】此题主要考查了分式无意义的条件，正确把握分式的无意义的条件是解题关键．
14．（2022秋•东营区校级月考）计算：
b2c ac c x2−4 1
（1） × ÷(− ) 2； （2） • ÷（x﹣2）；
a b a x+2 x−2
x−5 x 1+x 2x 1
（3） − − ； （4）( − )(x−y) 2 ．
x−2 x−2 2−x x2−y2 x+ y
【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（3）原式第三项利用分式性质变形，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（4）原式先对第一项的分母分解因式，利用乘法分配律，约分后再运用同分母的分式加减运算即可得
到结果．
b2c ac c2
【解答】解：（1）原式= × ÷
a b a2
b2c ac a2
= × ×
a b c2
＝a2b；
(x+2)(x−2) 1 1
（2）原式= • •
x+2 x−2 x−2
1
= ；
x−2
x−5 x x+1
（3）原式= − +
x−2 x−2 x−2
x−5−x+x+1
=
x−2
x−4
= ；
x−2
2x 1
（4）原式＝[ − ]（x﹣y）2
(x+ y)(x−y) x+ y2x(x−y) 2 (x−y) 2
= −
(x+ y)(x−y) x+ y
2x(x−y) (x−y) 2
= −
x+ y x+ y
(x−y)(x+ y)
=
x+ y
＝x﹣y．
【点评】此题考查了分式的混合运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．计算：
（1）3a﹣2b•2ab﹣2； （2）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）
【分析】运用负整数指数幂及同底数幂的乘除法法则计算．
【解答】解：（1）3a﹣2b•2ab﹣2＝6a﹣1b﹣1
（2）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）＝﹣2x3yz2．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂用同底数幂的乘除法，解题的关键是熟记法则．
m 2a
16．（2021•南皮县一模）对于代数式M：（1+ ）÷ ，（m为整式）．
a−1 a2−1
（1）当m＝a+1时，化简M的结果为 ；
a+1
（2）若化简M的结果为 ，则m＝ ．
2
【分析】（1）将m＝a+1代入原式，然后根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）根据题意可得m的代数式，然后根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）当m＝a+1时，
a+1 (a+1)(a−1)
原式＝（1+ ）•
a−1 2a
a−1 a+1 (a+1)(a−1)
＝（ + ）•
a−1 a−1 2a
2a (a+1)(a−1)
= •
a−1 2a
＝a+1．
故答案为：a+1．
a+1 2a
（2）由题意可知：m＝（ • −1）（a﹣1）
2 a2−1
a+1 2a
＝[ • −1]（a﹣1）
2 (a+1)(a−1)a
＝（ −1）（a﹣1）
a−1
＝a﹣（a﹣1）
＝a﹣a+1
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查实数的混合运算以及分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算、乘除
运算法则．
2 1
17．（2022秋•滦州市期中）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题： − ，小明同学
x2−1 x−1
的解答过程如下：
2 1
−
x2−1 x−1
2 1
= −
①
(x+1)(x−1) x−1
2 x+1
= −
②
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
＝2﹣（x+1）③
＝1﹣x④，
（1）请你分析小明的解答从第 步开始出现错误（填序号），错误的原因是 ；
（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝2时此式的值．
【分析】（1）根据异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
（2）根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）请你分析小明的解答从第③步开始出现错误（填序号），错误的原因是漏掉了分母；
故答案为：③，漏掉了分母；
（2）正确的解答过程如下：
2 1
−
x2−1 x−1
2 1
= −
(x+1)(x−1) x−1
2 x+1
= −
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
2−x−1
=
(x+1)(x−1)1−x
=
(x+1)(x−1)
1
=− ，
x+1
1 1
当x＝2时，原式=− =− ．
2+1 3
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．（2022秋•西城区校级月考）甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为（m2﹣1）亩，乙
地的种植面积为（m﹣1）2亩（m＞1），最后两块土地收获的水稻重量都是200kg．请问甲地每亩水稻
的产量是乙地的多少倍？你能根据计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？
200
【分析】先表示出甲地、乙地每亩水稻的产量得到甲地每亩水稻的产量为 ，乙地每亩水稻的产量
m2−1
200 200 200
为 ，然后计算 ÷ 即可．
(m−1) 2 m2−1 (m−1) 2
200 200
【解答】解：甲地每亩水稻的产量为 ，乙地每亩水稻的产量为 ，
m2−1 (m−1) 2
200 200 200 (m−1) 2 m−1
÷ = • = ，
m2−1 (m−1) 2 (m+1)(m−1) 200 m+1
∵m＞1，
∴m﹣1＜m+1，
m−1
∴0＜ ＜1，
m+1
∴乙地每亩水稻的产量高．
m−1
故甲地每亩水稻的产量是乙地的 倍，乙地每亩水稻的产量高．
m+1
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺
序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
19．观察以下等式：
1 1
（﹣1）× =（﹣1）+ ，
2 2
2 2
（﹣2）× =（﹣2）+ ，
3 3
3 3
（﹣3）× =（﹣3）+ ，
4 44 4
（﹣4）× =（﹣4）+ ，
5 5
（1）依此规律进行下去，第 5 个等式为 ，猜想第 n 个等式为 •
n n
= + （n为正整数）；
n+1 n+1
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．
【分析】（1）仿照阅读材料中的等式得到第5个等式，进而确定出第n个等式即可；
（2）验证所得的等式即可．
5 5
【解答】解：（1）根据题意得：第 5个等式为（﹣5）× =（﹣5）+ ，第n个等式为（﹣n）•
6 6
n n
=（﹣n）+ ；
n+1 n+1
5 5 n n
故答案为：（﹣5）× =（﹣5）+ ；（﹣n）• =（﹣n）+ ；
6 6 n+1 n+1
n2 −n(n+1)+n −n2−n+n n2
（2）左边=− ，右边= = =− ，
n+1 n+1 n+1 n+1
n n
则左边＝右边，即（﹣n）• =（﹣n）+ ．
n+1 n+1
【点评】此题考查了分式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：
23 x x+2
− ÷ =
2−x x+2 x−2
） ．
（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
x+2 x 23
【分析】（1）根据加减和乘除的关系可得 ⋅ + ，然后先算乘法，后算加法即可；
x−2 x+2 2−x
x+2 x
（2）假设能等于﹣1可得方程 =−1，解出x的值，发现分式 =0，除数为零无意义，则原代数
x−2 x+2
式的值不能等于﹣1．
【解答】解：（1）由题意得：
x+2 x 23
⋅ + ，
x−2 x+2 2−xx 23
= − ，
x−2 x−2
x−23
= ；
x−2
（2）不能，
x+2
假设能，则 =−1，
x−2
x+2＝﹣（x﹣2），
x+2＝﹣x+2，
x＝0，
x
当x＝0时，分式 =0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于﹣1．
x+2
【点评】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握计算法则，注意除法中除数不能为零．
