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第 03 讲 中心对称图形
课程标准 学习目标
1. 掌握中心对称图形的定义并能够熟练的判定生活中的一些中心
①中心对称图形的定义 对称图形。
②中心对称图形的性质 2. 掌握中心对称图形的性质，并能够熟练对其应用。
③关于原点对称的点的坐标 3. 掌握关于原点对称的点的坐标规律特点，能够通过规律特点熟
练的求值与作图。
知识点01 中心对称图形的定义
1. 中心对称图形的定义：
一个图形绕某一点旋转 后，如果旋转后的图形能够与旋转前 ，那么这个图
形就叫做 ，这个点叫做中心对称图形的 。
【即学即练1】
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【即学即练2】
2．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形这几个图形中是中心对称图形的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点02 中心对称图形的性质
1. 中心对称图形的性质：
性质1：对应点连线都经过 ，且被对称中心 。
性质2：对应线段的数量关系是 的，位置关系为 或 。
性质3：对应角 。
性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 的图形。
特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是
指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。
【即学即练1】
3．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB＝6，AP＝
3，BC＝8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为 ．
【即学即练2】
4．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点
E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．18 D．12
【即学即练3】
5．如图．AF∥ED∥BC，AB∥EF∥DC，用一条直线平分图面积．简单描述作法．知识点03 关于原点对称的点的坐标
1. 关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 。
即若点 与点 关于原点对称，则有 。
2. 关于点对称的点坐标：
关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。
【即学即练1】
6．直角坐标系中，点A（﹣3，1）关于原点的对称点为A′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（1，﹣3）
【即学即练2】
7．已知点P（﹣1，2）关于原点的对称点为Q（a，b），则a﹣b＝ ．
题型01 判断中心对称图形
【典例1】剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图所示的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【变式2】下列天气预报图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是（ ）
A． 核安全 B． 国土安全
C． 生安全 D． 军事安全
题型02 与中心对称图形有关的计算
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝60°，直线l平分平行四边形ABCD的
面积，交AD边于点M，交BC边于点N，当线段MN最短时，则AM的长为 ．
【变式1】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是AD，BC上的动点，且经过M，N
的直线把 ABCD分成面积相等的两部分．BD＝8，E为OD的中点，连接ME，当线段MN最小时，
▱
ME的长为 ．
▱
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA＝
6．OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（ ）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
【变式3】如图，平面直角坐标系中 ABCD的顶点A在原点，C点坐标是（6，2），直线y＝mx﹣2m﹣1
将 ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为（ ）
▱
▱A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4】如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影
部分的面积是 ．
题型03 利用对称中心平分面积进行作图
【典例1】画一条直线，你能将下面的图形分割成面积相等的两部分吗？动手画一画．
【变式1】如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分．
【变式2】如图所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两部分，图②中过平行四边形的中心
（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ．（1）图①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？
（2）工人师傅需把图③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，
并作简要说明．
【变式3】（1）能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有 条，它们的共同特点是 ．
（2）如图，已知：AB∥CD∥FE，AF∥BC∥DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、
要求：对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）．
（3）自己设计一个图形A（由至少两个基本的中心对称图形B、C组成），并作出可以将图形A面积分
成相等两部分的直线．
题型04 求关于原点对称的点的坐标
【典例1】在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）关于原点的对称点为A'，则点A'的坐标是（ ）
A．（ 2，﹣1） B．（ 2，1 ） C．（﹣1，2 ） D．（﹣2，﹣1 ）【变式1】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（3，﹣1）
【变式2】平面直角坐标系内一点P（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）
【变式3】在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为（﹣2，3），则点B坐标为（
）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，2）
【变式4】在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，所得到的点关于原点中心对称
后的点的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（5，2） D．（﹣5，﹣2）
题型04 根据关于原点对称的点的坐标特点求值
【典例 1】在直角坐标系中，点 A（1，a）和点 B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则 a﹣b的值为
（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
【变式1】如果点A（a、b）在第三象限，则点B（﹣a+1，3b﹣5）关于原点的对称点是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2】已知点A（2，m）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点B（n，﹣1），则
点C（m，n）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，2） D．（1，1）
【变式3】已知点A（m，n）与点B（n，m）关于原点对称，则（ ）
A．m＝0 B．n＝0 C．m+n＝0 D．m﹣n＝0
【变式4】若点P（﹣m，m﹣3）关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞3 B．0＜m＜3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3
1．下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
2．点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5
3．已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标
为（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移
动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
5．平面直角坐标系xOy中， ， ，则坐标原点O关于直线AB对称的点O的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
6．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块 OABC空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽
略不计）．有两个要求：①经过BC边上一点P；②分成面积相等的两部分，则小路除了经过点 P外，
▱
还经过（ ）
A．点A
B．OB的中点
C．OA的中点
D．AB边上的H点，且AH＝CP
7．七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线y＝kx将这七个正方形分成面积相等的两部
分，则k的值为（ ）A．1 B． C． D．
8．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点 O称为极点；从
点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度
以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣
300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣450°）
C．Q（3，600°） D．（3，﹣120°）
9．已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为60°，M，N是平行四边形边上的两点，且MN
将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段MN的长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点 O，O ，A，A ，B，B ，C，…都是平行四边形的顶点，点 A，B，
1 1 1
C，…在x轴正半轴上，∠AOO ＝45°，OA＝1，AB＝2，BC＝3，OO ＝ ，AA ＝2 ，BB ＝3
1 1 1 1
，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（ ）
A．（15，2） B．（18， ） C．（36，4） D．（72，8）
11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ，（填序号）
①等边三角形；②等腰直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形
12．在平面直角坐标系中，若点A（3，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是 ．13．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴上，顶点A（4，0），顶点B（6，4），点
P（4，m）在线段BC上，若直线l经过点P，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线
l的函数解析式是 ．
14．如图，点O为菱形ABCD的对称中心，AB＝8，∠ABC＝60°，E、F分别是AB、AD上的点，连接
OE、OF．若AE+AF＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝60°，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱
形分成面积相等的两部分，过点D作DM⊥EF于点M，连接CM，则线段CM的最大值为 ．
16．（1）如图①，已知 ABCD，点E是AD边上一定点，试在BC边上确定一点 F，使得EF平分
ABCD的面积，并直接写出AE与CF之间的数量关系；
▱
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，AE＝2．求EF的长度．
▱
17．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC （填
“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形
分成面积相等的两部分；（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方
法分割）．
18．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
19．如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C，分别延长OB，OD至点E，F，且
BE＝DF，连结AF，FC，CE，EA．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若OE＝CE，∠EAC＝45°， ，求四边形AFCE的周长．20．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，3）、（4，1），以OA、OC为邻边作平
行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B．
（1）点B的坐标为 （ 2 ， 4 ） ；
（2）求用含k的代数式表示b；
（3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值．
（4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围．
