文档内容
第 09 讲 弧长和扇形面积
课程标准 学习目标
1. 掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。
①扇形的弧长
2. 掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。
②扇形的面积
3. 掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应
③圆锥的侧面积和全面积
用。
知识点01 扇形的弧长
1. 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条 间 的长度。
2. 扇形弧长的计算公式：
在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所
以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。
【即学即练1】
1．已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
π π π π【即学即练2】
2．已知扇形的圆心角是120°，扇形弧长是20 ，则扇形的半径＝ ．
【即学即练3】
π
3．一个扇形的弧长是8 cm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 度．
π
知识点02 扇形的面积
1. 扇形的面积计算公式：
方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为 ，则1°的圆心角所对的面积 ＝
，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积 ＝ 。
方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。
【即学即练1】
4．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【即学即练2】
π π π π
5．一个扇形的面积为12 cm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是 度．
【即学即练3】
π
6．一个扇形的面积是60 cm2，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（ ）
A．30 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
π
知识点03 圆锥的侧面积与全面积
π π π π
1. 圆锥的认识：
如图，圆锥是由一个 侧面 和一个 底面 构成。顶点C到底面圆上任
意一点的连线是圆锥的 母线 ，如的CA与CB。AB是圆锥 底面直径 ，
顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 高 。
2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系：
圆锥的母线长与高与底面半径构成 勾股定理 。
即：如图： 。
3. 圆锥的侧面展开图的认识：
圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ，这个扇形的半径等于圆
锥的 母线长 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 周长 。
4. 圆锥的侧面积计算：
方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开
图的扇形的半径为 ，弧长等于底面圆周长等于： ，根据
已知弧长与半径可得扇形的面积为： 。方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：
。
【即学即练1】
7．一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是 80cm，母线长是50cm，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是
cm2．
【即学即练2】
8．一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的表面积为 ．
【即学即练3】
9．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（ ）
A．3cm B．4.5cm C．6cm D．9cm
【即学即练4】
10．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为（ ）
A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm
【即学即练5】
11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r＝2cm，扇形的圆心
角 ＝120°，则该圆锥的母线l长为 cm．
θ
【即学即练6】
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长 l为9cm，圆锥的底面圆的半径r
为3cm，则扇形的圆心角 为 °．
θ题型01 求扇形的弧长及公式的应用
【典例1】若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
【变式1】如图，正方形ABCD的边长是2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后
的对应点为E，则弧CE的长是 （结果保留 ）．
π
【变式2】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，4为半径画弧，交图
中网格线于点A、B，则 的长为 ．
【变式3】如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点
D刚好落在 上，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为27 cm2．如图，是该球
体的一个最大纵截面，则该截面 O中阴影部分的弧长为（ ）
π
⊙
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
题型02 求运动中的运动路径长
π π π π
【典例1】在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°．将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动
的路线长是（ ）A． B． C． D．
【变式 1】如图，一块边长为 8cm的正三角形木板 ABC，在水平桌面上绕点 B按顺时针方向旋转至
π
A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为（点A，B，C′在同一直线上）（ ）
A．16 B． C． D．
【变式2】如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）
π π π π
木板上点A位置变化为A→A →A ，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成 30°角，
1 2
则点A翻滚到A 位置时共走过的路径长为（ ）
2
【变式2】 【变式3】
A．10cm B．4 cm C． D．
【变式3】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB
π
与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友
将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．
题型03 求扇形的面积及公式的应用
【典例1】已知扇形的弧长是6.28厘米，半径是2厘米，那么扇形的面积是 平方厘米．
【变式1】如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝
60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
【变式2】扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初
放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为
135°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面面积为（ ）cm2．A． B．600 C．300 D．30
【变式3】如图，某数学兴趣小组将边长为1的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB为半径的扇
π π π π
形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4】如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地
上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A． m2 B． m2 C． m2 D． m2
π π π π
题型04 求圆锥的侧面积和全面积
【典例1】如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（ ）
A．36 B．60 C．64 D．48
【变式1】已知圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它侧面展开图的面积是 cm2（结果保留
π π π π
）．
【变式2】圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 （结果保留 ）．
π
【典例1】圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（ ）
πA．12 cm2 B．26 cm2
C． π cm2 D．（π4 +16） cm2
【变式1】如π 图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，若π把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，
则所得几何体的表面积为 （结果保留 ）．
π
题型05 圆锥的底面半径、高及母线长之间的计算
【典例1】如果圆锥侧面展开图的面积是15 ，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
π
【变式1】一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
【变式2】小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为5cm，扇形的弧长是
6 cm，那么这个圆锥的高是（ ）
π
A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm
题型06 求不规则图形的面积
【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，分别以点A，C为圆心，
AB，CD为半径画弧，图中阴影部分面积为 ．（结果保留 ）
π
【变式1】如图，AB＝8，以AB为直径的半圆绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影
部分的面积是 ．【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，E为AD上一点，以点A
为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点F，已知BF＝AB，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式3】如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为点D，延长OD与半圆O
交于点E．若AB＝16，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．
1．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．24
π π π π2．圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（ ）
A．弧长扩大为原来的4倍
B．弧长扩大为原来的2倍
C．弧长不变
D．弧长缩小为原来的一半
3．如图，AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点，连接 AC，OC，若 AB＝6，∠A＝30°，则 的长为
（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．2 C． D．
4．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为 15cm，圆锥母线长为
π π π π
20cm，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）（ ）
A．150 cm2 B．300 cm2 C．400 cm2 D．525 cm2
5．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固
π π π π
定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10 ，侧面积为75 的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草
毡的圆心角为（ ）
π π
A．150° B．120° C．180° D．100°
6．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧
BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．3
7．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝15cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别
π
裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）A．7.5cm B．8cm C．9cm D．10cm
8．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值 B．有最小值
π π
C．有最大值 D．有最小值
9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面
π π
积为S 、S 、S ，则它们之间的关系是（ ）
1 2 3
A．S ＜S ＜S B．S ＜S ＜S C．S ＜S ＜S D．S ＜S ＜S
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1
10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为 上一点，且AD＝4， ，则图中的阴影部分面积
为（ ）
A．5 ﹣10 B．5 ﹣14 C．10 ﹣20 D．10 ﹣24
11．一条弧所在圆的半径为6厘米，圆心角为60°，那么这条弧长为 厘米．
π π π π
12．一个圆锥的底面周长是6 cm，母线长是6cm，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是 ．
13．如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下来的扇形围成一个圆锥，
π
则圆锥的底面圆的半径是 m．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部
分的面积为 ．15．图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径
OA＝2cm，∠AOB＝120°，则图①中图形（实线部分）的周长为 cm（结果保留 ）．
π
16．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作 O，点E在BC边上，连结AE交 O于点F，连结
BF并延长交CD于点G．
⊙ ⊙
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝50°，OA＝3，求劣弧BF的长．（结果保留 ）
π
17．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．
（1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；
（2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．
18．（原创题）如图所示，扇形 OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O＝60°，OA＝
1．
（1）求O点所运动的路径长；
（2）O点走过路径与直线L围成的面积．
19．如图，BC是 O的直径，点A在 O上，AD⊥BC，垂足为D， ＝
⊙ ⊙，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）证明：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求 的长度．
20．石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为
100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），
游客在距离地面最近的位置进舱．
（1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；
（2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）．
①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（ 的长）；
②求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
