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第 25 章 概率初步 章节整合练习（9 个知识点+40
题练习）
章节知识清单练习
知识点1．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然
事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
知识点2．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进
行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，
如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的
估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
知识点3．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就
叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理
解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合
具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
知识点4．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝ ．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
知识点5．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域 G，又区
域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点
M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体
积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何
概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度
量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
知识点6．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
知识点7．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公
平．
（2）概率＝ ．
知识点8．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个
频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般
通过统计频率来估计概率．
知识点9．模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省
时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课
标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
章节题型整合练习
一．随机事件
1．（2024秋•江北区校级月考）下列事件中，属于必然事件的是
A．下个月，重庆将下一场雨
B．同位角相等
C．圆的直径平分任意一条弦
D．三角形任意两边之和大于第三边
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解： 、下个月，重庆将下一场雨是随机事件，不符合题意；
、同位角相当的是随机事件，不符合题意；
、圆的直径平分任意一条弦是随机事件，不符合题意；
、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查的是垂径定理、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能
事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能
不发生的事件．
2．（2024春•句容市期中）一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇
数属于 事件．
【分析】根据随机事件的定义解答即可．
【解答】解：根据题意，座位号码是奇数属于随机事件，
故答案为：随机．
【点评】本题考查了随机事件，有理数，熟知随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；
必然事件是在一定条件下，不可能发生的事件；不可能事件是在一定条件下一定不发生的事件是解题的关
键．
3．（2024•福田区校级二模）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五
晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 （填写“必然事件”或“不可能事件”或
“不确定事件” ．
【分析】“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，属于随机事件．
【解答】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，是不确定事件，
故答案为：不确定事件．
【点评】本题考查了随机事件，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件
是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发
生的事件．
4．（2023秋•花溪区校级月考）在一个不透明的袋子里，装有 9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，
3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出 个球，红球、白
球、黑球至少各有一个．
（1）当 为何值时，这个事件必然发生？
（2）当 为何值时，这个事件不可能发生？（3）当 为何值时，这个事件可能发生？
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：（1）当 时，即 或8或9时，这个事件必然发生；
（2）当 时，即 或2时，这个事件不可能发生；
（3）当 时，即 或4或5或6时，这个事件可能发生．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事
件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件
即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2021•内乡县二模）为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件
发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的3000例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据
绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为 ．
（4）估计所有3000例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？
【分析】（1）根据因琐事的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用总欺凌事件数乘以满足欲望和其他所占的百分比，求出满足欲望的人数和其他人数，从而补全统
计图；
（3）用 乘以“因琐事”所占的百分比即可；
（4）用总欺凌事件数乘以“因琐事”或因“发泄情绪”所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量为： ；
故答案为：50；（2）满足欲望的人数有： （人 ，
其他的人数有： （人 ，补全统计图如下：
（3）“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为： ；
故答案为： ；
（4） （例 ，
答：计所有3000例欺凌事件中有2400例事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
二．可能性的大小
6．（2024秋•杭州月考）一个不透明的盒子中装有1个黄球，2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色
外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是
A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色
【分析】首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可能性的大小即可．
【解答】解： 盒子中球的总个数为 ，且红球个数最多，
摸到红球的可能性最大，
故选： ．
【点评】本题主要考查可能性的大小，根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种颜色的球越
多，摸出的可能性就越大．
7．（2024秋•东阳市月考）“明天下雨的可能性为 ”这句话指的是
A．明天一定下雨
B． 的地区下雨， 的地区不下雨C．明天不一定下雨
D．明天 的时间下雨， 的时间不下雨
【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．
【解答】解：“明天下雨的概率为 ”说明明天下雨的可能性是 ，
即 （A） ．
故选： ．
【点评】本题考查可能性大小，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发
生．
8．（2024•湖南模拟）成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“水中捞月”描述的事件是
事件．（填“随机”“不可能”或“必然”
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：由题可知，
水中捞月是不可能事件．
故答案为：不可能．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
9．（2024秋•东阳市月考）比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排列．
（1）从写有 数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数；
（2）铁块丢入水中后，浮在水面；
（3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上．
【分析】（1）根据共有9个数，是4的倍数的有4和8，再根据概率公式即可得出取到的概率；
（2）铁块丢入水中后，不可能浮在水面，再根据概率公式即可得出答案；
（3）根据硬币只有两个面，根据概率公式即可得出落地后反面朝上的概率；
最后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）从写有 数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数的数字是4和8，则取
到的概率是 ；
（2）铁块丢入水中后，浮在水面上的概率是0；
（3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上的概率 ，，
它们的可能性从小到大的排列是：（2） （1） （3）．
【点评】此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
10．（2022秋•宜阳县期末）甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着100个红球、40个黑球和5个
白球．三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取1个球，如果你想取
出一个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？请说明理由．
【分析】直接求出概率比较即可．
【解答】解：从乙袋中取出一个球是黑球的机会大．
原因如下：从甲袋中取出一个球是黑球的概率是 ；
从乙袋中取出一个球是黑球的概率是 ．
，
从乙袋中取出一个球是黑球的机会大．
【点评】此题考查可能性的大小，如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出
现 种可能，那么事件 的概率 ．
三．概率的意义
11．（2023秋•单县期末）下列说法正确的是
A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【解答】解： 、“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；
、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误；
、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；
故选： ．【点评】本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可
能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一
定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．（2024•阿荣旗一模）如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为 ”，对这条
信息的下列说法中，正确的是
扬州市邗江区天气
日出 日落
体感温度降水概率降水量空气质量
优
A．邗江区明天将有 的时间下雨
B．邗江区明天将有 的地区下雨
C．邗江区明天下雨的可能性较大
D．邗江区明天下雨的可能性较小
【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．
【解答】解：“扬州市邗江区明天的降水概率为 ”表示“邗江区明天下雨的可能性较大”，
故选： ．
【点评】本题主要考查了概率反映随机事件出现的可能性大小，掌握相关概念是解题的关键．
13．（2024春•汝州市期末）“明天的降水概率为 ”的含义有以下三种不同的解释：①明天 的地
区会下雨； ② 的人认为明天会下雨；③明天下雨的可能性比较大；你认为其中合理的解释是 ．
（写出序号即可）
【分析】根据概率的意义解答可得．
【解答】解：“明天的降水概率为 ”可表示③明天下雨的可能性比较大，
故答案为：③．
【点评】本题主要考查概率的意义，解题的关键是掌握概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生
可能性大小的量的表现．
14．（2023秋•焦作期末）写一个概率为0.5的事件： ．
【分析】根据概率的意义，即可解答．
【解答】解：一个概率为0.5的事件：抛掷一枚硬币，正面朝上的概率，
故答案为：抛掷一枚硬币，正面朝上的概率（答案不唯一）．
【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．15．（2021•仓山区校级三模）甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪 70
元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元．
（1）求甲、乙快递公司的“快递小哥”一日工资 （单位：元）与送货单数 的函数关系式；
（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并
记录其100天的送货单数，得到如下条形图：
若将频率视为概率，回答下列问题：
小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计
学知识为他作出选择，并说明理由．
【分析】（1）根据甲、乙两个公司的日工资方案即可得出函数关系式；
（2）求出甲、乙两个公司的日工资的平均数，再作出判断即可．
【解答】解：（1）由甲、乙两个公司的日工资方案可知，
，
当 时， ，
当 时， ，
，
；
（2）选择甲公司，理由如下：
甲公司日销售单数平均数为 （单 ，甲公司日销售工资为 元，
乙公司日销售工资为 （元 ，
，
选择甲公司，
【点评】本题考查条形统计图、概率的意义以及函数关系式，求出甲、乙公司的平均日工资是正确判断的
关键．
四．概率公式
16．（2024秋•甘州区期中）掷一个骰子时，点数小于2的概率是
A． B． C． D．0
【分析】让骰子里小于2的数的个数除以数的总数即为所求的概率．
【解答】解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，即1、2、3、4、5、6，
出现小于2的点即1点的只有一种，故其概率是 ．
故选： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率 所求情况数与总情况数之比．
17．（2024秋•罗湖区校级月考）初三（1）班周同学拿了 ， ， ， 四把钥匙去开教室门，只有
能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是
A． B． C．1 D．
【分析】概率 所求情况数与总情况数之比．
【解答】解： 共有4个可能的结果，一次打开教室门的结果有1个，
（一次性打开） ，
故选： ．
【点评】本题考查概率公式，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．
18．（2024春•鄄城县期末）如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是6，表明数字6
周围的8个位置有6颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为 ．【分析】由题意可知数字6周围的8个位置中有2个位置有地雷，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：由题意可知数字6周围的8个位置中有6个位置有地雷，
任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了简单的概率计算，掌握求概率的公式是关键．
19．（2024秋•高邮市校级月考）不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从
盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是 ．
【分析】由题意可知一共有5枚棋子，黑棋有2枚，然后根据公式求解即可．
【解答】解：从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查概率公式：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现
种可能，那么事件 的概率 （A） ．
20．（2024春•济宁期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其
中红球6个，白球10个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 ．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出 个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的
概率为 ，请求出 的值．
【分析】（1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率；
（2）由红球的概率可求得盒子里的总球数，用30减去总球数即可得到要取出黑球的个数，即可求得 的
值．【解答】解：（1） 红球6个，白球10个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是 ，
盒子中球的总数为： （个 ，
故盒子中黑球的个数为： （个 ；
任意摸出一个球是黑球的概率为： ；
（2） 任意摸出一个球是红球的概率为
盒子中球的总量为： （个 ，
可以将盒子中的黑球拿出 （个
．
【点评】本题考查了简单事件的概率，清楚所有可能结果数及事件发生时的可能结果数是解题的关键．注
意概率公式的变形运用．
五．几何概率
21．（2024•徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相
等，则飞镖落在阴影区域的概率为
A． B． C． D．
【分析】设 ，则圆的直径为 ，求出小正方形的边长，即可求出几何概率．
【解答】解：如图：设 ，则圆的直径为 ，
则小正方形的边长为： ，则飞镖落在阴影区域的概率为： ．
故选： ．
【点评】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的边长是关键．
22．（2024秋•成都月考）如图，在 △ 中， ， ， ，将△ 绕点 按
逆时针方向旋转 后得到△ ，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ．
【分析】证明阴影部分的面积 三角形 的面积，求出三角形 的面积，可得结论．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ．
， ， ，
，
由旋转变换的性质可知 ， ，，
，
， ，
现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概率，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2024春•河源期末）小球在如图所示的地板上自由滚动最终停在黑色区域的可能性是 ．
【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【解答】解： 由图可知，黑色方砖3块，共有9块方砖，
黑色方砖在整个地板中所占的比值 ，
它停在黑色区域的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
24．（2023秋•淮南月考）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块
地板大小、质地完全相同，求该小球停留在黑色区域的概率．
【分析】用黑色区域的面积除以总面积即可求得答案．
【解答】解：由图可知，黑色方砖6块，总共有方砖16块，．
【点评】本题主要考查了几何概率计算，解题的关键是熟练掌握概率公式．
25．（2022春•郓城县期末）（1）如图所示是一条线段， 的长为10厘米， 的长为2厘米，假设可
以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段 上的概率．
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为 ，小圆的直径为 ，一只小鸟自由
自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是 ．
【分析】（1）由 间距离为10， 的长为2，用 的长除以线段 的长即可得；
（2）用小圆面积除以大圆面积即可得．
【解答】解：（1） 间距离为10， 的长为2，
故随意在这条线段上取一个点，
那么这个点取在线段 上的概率为 ．
（2）因为大圆的面积为： ；
小圆的面积为： ．
所以小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
六．列表法与树状图法
26．（2024•武汉模拟）《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，
是中国古代数学文化的瑰宝．小华要从这四部著作中随机抽取两本学习，则抽取的两本恰好是《周髀算
经》和《九章算术》的概率是A． B． C． D．
【分析】本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【解答】解：将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为 ， ， ， ，
用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即 ， ，
所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是掌握概率的求法．
27．（2024秋•莲池区校级月考）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，
另一个转出蓝色即可配成紫色），其中 转盘被分成相等的两个扇形， 转盘被分成相等的三个扇形．如
果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是
A． B． C． D．
【分析】用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计
算即可．
【解答】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，
所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是 ，
故选： ．
【点评】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关
键．
28．（2024秋•金山区校级月考）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可
能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是 ．
【分析】列表得出共有9种等可能的情况，其中至少一辆车向右转的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
左 直 右
左 左左 左直 左右
直 左直 直直 直右
右 左右 直右 右右
共有9种等可能的情况，其中至少一辆车向右转的结果有5种，
至少一辆车向右转的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
29．（2024秋•浙江期中）如图，有甲、乙两个完全相同的转盘均被分成 ， 两个区域，甲转盘中 区
域的圆心角是 ，乙转盘中 区域的圆心角是 ，自由转动转盘（如果指针指向区域分界线则重新转
动）．
（1）转动甲转盘一次，求指针指向 区域的概率．
（2）自由转动两个转盘各一次，利用树状图或列表法，求两个转盘指针同时指向 区域的概率．【分析】（1）用 除以 即可求解；
（2）列表求出总的结果数和两个转盘指针同时指向 区域的结果数，利用概率公式计算即可求解；
【解答】解：（1）转动甲转盘一次，指针指向 区域的概率为 ；
（2）列表如图：
乙
甲
由表可得，共有12种等可能的结果，两个转盘指针同时指向 区域的结果有6种，
两个转盘指针同时指向 区域的概率为 ．
【点评】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
七．游戏公平性
30．（2024•菏泽二模）某口袋中有20个球，其中白球 个，绿球 个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出
一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、
乙双方公平，则 应该是
A．6 B．8 C．2 D．4
【分析】先分别求出甲、乙获胜的概率，然后根据游戏双方公平，即概率相等列出方程解答即可．
【解答】解：由题意得：甲获胜的概率为 ；乙获胜的概率为 ；
则： ，
解得： ，故选： ．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，分别确定甲、乙获
胜的概率是解答本题的关键．
31．（2024•宝安区校级三模）在科学技术日新月异的推动下，某地积极筹划并成功建立了两个水果种植
基地 和 ，为了助力当地农民迅速走上致富之路，特地邀请了农科院的四位权威专家王专家、李专家、
刘专家和杨专家，他们每两人一组分别去 和 基地现场指导，该地为了公平、公正、采用抽签的方式随
机让两位专家去对应的水果种植基地，由此可知，王专家和刘专家分成一组去 基地的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中王专家和刘专家分成一组去 基地的结果有2种，再由
概率公式求解即可．
【解答】解：把四位专家王专家、李专家、刘专家和杨专家分别记为甲、乙、丙和丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中王专家和刘专家分成一组去 基地的结果有2种，
王专家和李专家分成一组去 基地的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率 所求
情况数与总情况数之比．
32．（2024•青岛）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明
和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为 1，2，
3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，
记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于
4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【分析】（1）由概率公式可得答案；（2）列表求出所有可能的情况，再用概率公式求出两人获胜的概率，比较即可得到答案．
【解答】解：（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，3的三张纸牌的可能性相同，
摸到“1”的概率是 ；
故答案为： ；
（2）游戏公平，理由如下：
根据题意列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
由表可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小
于4的有3种，
小明获胜的概率是 ，小红获胜的概率为 ，
两人获胜的概率相等，
游戏公平．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放
回试验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
33．（2024秋•宿迁月考）如图，转盘 中的4个扇形面积相等，转盘 中的6个扇形的面积相等，有人
设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘 、 一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中
的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率；
（2）当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，
则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由．
【分析】（1）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出
答案．
【解答】解：（1）画树状图：
由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有18种结果，乙获胜的有6种结果，
所以甲胜的概率 ，乙胜的概率 ；
（2）这样的规则公平，理由如下：
画树状图：
由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有12种结果，乙获胜的有12种结果，
所以甲胜的概率 ，乙胜的概率 ，
所以这样的规则公平．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
八．利用频率估计概率
34．（2024秋•渭南期中）在一个不透明的盒子中装有30颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，
搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋
子的频率稳定在0.6，则盒子中黑色棋子可能有A．5颗 B．10颗 C．18颗 D．26颗
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入
手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设盒子中黑色棋子有 颗，
根据题意可列方程： ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解．
盒子中黑色棋子可能有18颗．
故选： ．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
35．（2024秋•义乌市期中）在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相
同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 ．
【分析】同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，
设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中红球大约有 个，
由题意知： ，
解得 ，
故答案为：8个．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用红球的概率公式列方程求解
得到红球的个数．
36．（2023秋•雷州市期末）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，
“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到【分析】根据图中的数据即可解答．
【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在0.440附近，
“凸面向上”的概率为0.440，
故答案为：0.440．
【点评】本题考查了模拟实验，由频率估计概率，解题的关键是明确概率的定义．
37．（2024秋•义乌市校级月考）数学老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若
干生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的 23 31 60 130 203 250
次数
摸到黑球的 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 0.25
频率
（1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（精确到
（2）估算袋中白球的个数．
【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）设白球有 个，根据摸出黑球的概率列方程求解即可．
【解答】解：（1）由表中给出的数据进行分析可得：频率逐渐稳定到0.25附近，
估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
故答案为：0.25；
（2）设白球有 个，
估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25，
，
解得： ，经检验 是原方程的解，且符合题意，
袋中白球的个数是3个．
【点评】本题考查由频率估计概率，已知概率求数量．理解在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个
随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率是解题关键．
九．模拟试验
38．（2024•微山县二模）为验证“掷一枚质地均匀的骰子，标有数字 1的面朝上的概率是 ．”某同学
做了下面两个模拟实验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，计算标有数
字1的面朝上次数与总掷投次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字 1，2，3，4，5，6，转动转盘，计算指针落
在标有数字1区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线不计）．你认为下面说法正确的是
A．实验①科学 B．实验②科学
C．两个实验都不科学 D．两个实验都科学
【分析】分析每个试验的概率后，与原来的掷骰子的概率比较即可．
【解答】解：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，标有数字1的面朝上的
概率是 ；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字 1，2，3，4，5，6，转动转盘，指针落在标
有数字1区域的概率是 ；
两个实验都科学．
故选： ．
【点评】此题主要考查了模拟实验，选择和抛骰子类似的条件的试验验证抛骰子实验的概率，是一种常用
的模拟试验的方法．
39．（2022秋•太原期末）农科所通过大量重复实验，发现某农作物种子发芽的频率在 0.85附近波动，则
该种子发芽的大约有 ．
【分析】用总质量乘以样本中发芽的频率即可．
【解答】解：根据题意知， 种子中发芽的大约有 ，故答案为：1700．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率
40．（2022•陕西模拟）一个不透明的袋子中装有1个黄球和若干个蓝球，这些球除颜色外重量、大小、表
面光滑度等都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回；搅
匀后再摸一个球，记下颜色后放回；不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 100 200 300 400 500
摸到黄球的频 26 51 75 98 126
数
摸到黄球的频 0.260 0.255 0.250 0.245 0.252
率
（1）该学习小组发现，摸到黄球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 （精确到 ，由此估出
蓝球有 个；
（2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个黄
球，1个蓝球的概率．
【分析】（1）由表中数据得出摸到黄球的概率，根据黄球的概率求出总数然后求出篮球个数即可；
（2）分别记三个篮球为蓝1，蓝2，蓝3，画出树状图然后得出概率即可．
【解答】解：（1）由表中数据得出摸到黄球的概率为0.25，则球的总数为 （个 ，
篮球有 （个 ，
故答案为：0.25，3；
（2）分别记三个篮球为蓝1，蓝2，蓝3，画出树状图如下：
有树状图可知，共有12种可能的结果，其中恰好摸到1个黄球1个蓝球的的结果有6种，
恰好摸到1个黄球，1个蓝球的概率为 ．【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握频率和概率的关系及概率的计算是解题的关键．
