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第 03 讲 整式的乘法
课程标准 学习目标
①单项式乘单项式 1. 掌握单项式乘单项式，单项式乘多项式以及多项式乘多项式
②单项式乘多项式 的运算法则并能够熟练应用。
③多项式乘多项式 2. 能用整式的乘法的运算法则解决相关题型。
知识点01 单项式乘单项式
1. 单项式乘单项式的运算法则：
把几个单项式的系数 作为积的系数，在把同底数幂分别 。对于只在一个单项式
里面出现的字母，连同它的 作为积的一个因式。
＝ ＝
如：
【即学即练1】1．计算：
（1）（﹣2m2n）3•（﹣ mn2）2； （2）5ab• ．
知识点02 单项式乘多项式
1. 单项式乘多项式的运算法则：
用单项式去乘多项式的 ，得到单项式乘单项式，再把所得的积 。若有同类
项，则一定要合并同类项。
说明：
【即学即练1】
2．计算：
（1）（﹣x2﹣xy+y2）（﹣xy）； （2）（﹣2ab2）3•（3a2b﹣2ab﹣4b2）；
（3）（﹣ x2y）3•（4x2﹣ xy+2y）； （4）2mn（﹣2mn）2﹣3n（mn+m2n+m2n2）．
知识点03 多项式乘多项式
1. 多项式乘多项式的运算法则：
用一个多项式的 乘以另一个多项式的 ，再把所得的积 。若有
同类项，一定合并同类项。
说明：
【即学即练1】
3．计算：（1）（3x﹣4y）（x+2y）； （2）（x2﹣1）（2x+1）；
（3）（2x﹣1）（4x2+2x+1）； （4）（a﹣2）（a+4）+2a（a﹣1）．
题型01 整式的乘法的运算
【典例1】计算：
（1）（﹣5a2b）•（﹣3a） （2）（3xy2）2+（﹣4xy3）•（﹣xy）．
【变式1】计算：
（1）3x2y•（﹣2x3y2）2； （2）（﹣2a2）•（3ab2﹣5ab3）．
【变式2】（x﹣y）（x2+xy+y2）
【变式3】计算：
（1）5m（m﹣n+2）； （2）（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2）；（3）（3x2+xy﹣y2）•3x2； （4）2a（﹣2ab+ ab2）．
【变式4】计算：
（1）（﹣2xy2）3•（﹣3x2y3）2• xy；
（2）（﹣2y3）2+（﹣4y2）3﹣（﹣2y）2•（﹣3y2）2；
（3）[ （a﹣b）]3•[﹣3（a﹣b）]2•[﹣ （b﹣a）]2．
题型02 利用整式的乘法的运算法则求值
【典例1】已知单项式2x3y2与﹣5x2y2的积为mxny4，那么m﹣n＝ ．
【变式1】若x3yn+1•xm+n•y2n+2＝x9y9，则4m﹣3n＝ ．
【变式2】若要使x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．2，﹣2 D．﹣2，2
【变式3】已知（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，那么m、n的值分别是（ ）
A．m＝32，n＝﹣4 B．m＝4，n＝﹣32
C．m＝﹣32，n＝4 D．m＝﹣4，n＝﹣32
【变式4】如果（x﹣3）（3x+5）＝ax2+bx+c，则a、b、c的值分别是（ ）A．a＝3，b＝﹣9，c＝﹣15 B．a＝3，b＝5，c＝﹣15
C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣15 D．a＝1，b＝﹣4，c＝﹣15
【变式5】已知m﹣2n＝1，则2n（m+1）﹣m（1+2n）+3的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2
题型03 整式的乘法中的化简及化简求值
【典例1】化简： ．
【变式1】化简：
（1）（ab）3•a2•（4a2b3）2； （2）（﹣2a2b3）4+（﹣a8）•（2b4）3．
【变式2】化简下列整式：
（1）（ x﹣ xy）•（﹣12y）； （2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）．
【变式3】先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【变式4】先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝ ．题型04 整式的乘法中的不含项或无关问题
【典例1】如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
【变式 1】若关于 x，y的多项式（x2﹣mx+3）x﹣x2（4mx2+3x+5）的结果中不含 x2项，则 m的值为
（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣5
【变式2】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的
值为（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．2
【变式3】已知M＝x2﹣ax，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5，若M•N+P的值与x的取值无关，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．5 D．4
【变式4】已知代数式A＝2x2﹣3xy+2x﹣ ，B＝x2﹣6xy﹣x﹣1，C＝a（x2﹣1）﹣b（2x+1）．
（1）化简2A﹣B所表示的代数式；
（2）若代数式2A﹣B﹣C值与x的取值无关，求出a、b的值．
题型05 整式的乘法中的错解题目问题
【典例1】小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的
结果为﹣2x2﹣2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果．【变式1】在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了
a的值，计算结果为4x2+12x+5．
（1）求a，b的值．
（2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果．
【变式2】在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12．
（1）求出a的值；
（2）在（1）的条件下，且b＝﹣3时，计算（x+a）（x+b）的结果．
【变式3】小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：（x2+3x﹣2）（x﹣a）．
（1）小万在做题时不小心将x﹣a中的x写成了x2，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值；
（2）小鹿在做题时将x2+3x﹣2中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的
值可能是多少？题型06 整式的乘法的实际应用
【典例1】如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为2x+5、x、2x，则这个木制的长方体的体积
为（ ）
A．4x3+10x2 B．4x3+10x C．4x2+10x D．4x2+10x3
【变式1】李老师做了个长方形教具，其中一边长为a+2b，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ）
A．a+3b B．2a+6b C．ab+2b D．ab+2b2
【变式2】在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种
卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形图案．为了完成这个装饰任务，
老板需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别是（ ）
A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5
【变式3】某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民
健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场
地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材
的区域建水泥地面．
（1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S 和安装健身器材区域的地面面积S ；
1 2
（2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
（3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需 100元，
铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）．
1．计算：5x2y2•（﹣2xy3）＝（ ）
A．10x2y6 B．﹣10x2y6 C．10x3y5 D．﹣10x3y5
2．如果单项式﹣3x4a﹣by2与 a+b是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A．﹣x6y4 B．x6y4 C．﹣3x3y2 D．
3．下列计算错误的是（ ）A．
B．3x2y（1﹣2y3）＝3x2y+6x2y3
C．2x（3x2﹣xy+y）＝6x3﹣2x2y+2xy
D．
4．（4×105）×（25×103）的计算结果是（ ）
A．100×108 B．1×1017 C．1010 D．100×1015
5．已知单项式4xy2与 的积为mxny3，则m，n的值为（ ）
A． ，n＝4 B．m＝﹣12，n＝﹣2
C． D．m＝﹣12，n＝3
6．为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所．已知长方形空坪
长为3a，宽为（4ab﹣2a），则其面积为（ ）
A．12a2b﹣6a2 B．6a2﹣12a2b C．6a2b﹣12a2 D．12a2﹣6a2b
7．当a＝﹣2时，代数式3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）的值是（ ）
A．﹣98 B．﹣62 C．﹣2 D．98
8．若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．0 D．3
9．代数式ac（bc+1）﹣c（3abc+b+a）+2abc2的值（ ）
A．只与a，b有关 B．只与a，c有关
C．只与b，c有关 D．与a，b，c都有关
10．对于多项式：x+1，x+3，2x+2，2x+6，用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，并算
出结果，称之为“积差操作”．例如：（x+1）（x+3）﹣（2x+2）（2x+6）＝﹣3x2﹣12x﹣9，…．下
列说法：
①一定存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都为3的倍数；
②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；
③所有的“积差操作”共有5种不同的结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 ．
12．已知（x+1）（x﹣3）＝x2+mx+n，那么m+n的值 ．
13．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的绿色观光道路，则
道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式）
14．若a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）＝ ．
15．小亮在计算（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）的值时，把n的值看错了，其结果等
于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把n＝2023代入，
结果还是25，则m的值为 ．
16．已知A＝3x2y﹣2（x2y+xy2）， ．
（1）化简代数式A．
（2）当x＝1，y＝﹣2时，求代数式A+B的值．
17．（1）已知关于x的整式A、B，其中A＝4x2+（m﹣3）x+1，B＝nx2+2x+1，若当A+2B中不含x的二次
项和一次项时，求（m﹣1）2023+（﹣n）2022的值．
（2）有理致a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|．18．小马虎同学在计算一个多项式A乘（1﹣2x）时，因抄错运算符号，算成了加上（1﹣2x），得到的结
果是x2﹣x+1．
（1）这个多项式A是多少？
（2）正确的计算结果是多少？
19．已知长方形的长为a cm，宽为b cm，其中（a＞b＞1，如果将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的
新长方形的面积记为S ；如果将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为S ．
1 2
（1）求S ，S ；
1 2
（2）如果2S ＝S +11，求将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积；
1 2
（3）如果用一个面积为S 的长方形和两个面积为S 的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方
1 2
形，求a，b的值．
20．给出如下定义：我们把有序实数对（m，n）叫做关于x的一次多项式mx+n的特征系数对，有序数对
（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，并且把关于x的一次多项式mx+n叫做有
序实数对（m，n）的特征多项式，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征
多项式．
（1）关于x的一次多项式﹣2x+4的特征系数对在第 象限；关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特
征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，a）的特征多项式与有序实数对（a，﹣4）的特征多项式的乘积为 bx2﹣
cx+16，求a、b、c的值；
（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结
果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，计算（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值．
