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考点 6-2 等比数列
1．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】
设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得
解.
【详解】
解：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】
根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
【详解】
∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .故选：A.
3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列 的公比为2，前n项和为
，若 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】D
【分析】
根据等比数列的性质即可求解.
【详解】
因为 ， ，则 ，所以 ．
故选:D
4.（2019·全国·高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则
S=____________．
5
【答案】 .
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题目的难
度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）在正项等比数列 中， ，记数列 的前 项的积为 ，
若 ，请写出一个满足条件的 的值为__________．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】
先求出公比， 的通项公式，从而得到 ，得到 的值.
【详解】
因为 为正项等比数列且 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，又 ，所以 ，则 ，
，
因为 ，所以当 时满足要求，
故答案为：4
6．（2022·江西·高三阶段练习（理））某数学爱好者以函数图像组合如图“爱心”献给在抗疫一线的白衣
天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线 与 构成，若a，
，c依次成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由“爱心”图 经过点 ,可求出 ，再由“爱心”图 过点 与 ，可求出 ，再由a，
，c，依次成等比数列可得 代入即可求出答案.
【详解】
解：由“爱心”图知 经过点 ，
即 ， ．由“爱心”图知 必过点 与 ，
所以 ，得 ， ，
若a， ，c，依次成等比数列，则 ，
从而 ，所以 ．
故选:A．
7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ， ， ，
当 时， ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先分别求出 ， ，判断出 随着 增大而增大， 随着 增大而减小，且 ，
，即可得到实数 的取值范围.
【详解】
由 ①，可得 ②，所以②－①得 ，即 .因为 ，所以
，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，故 .
当 时， ，当 时， 也符合 ，故 .
显然 随着 增大而增大， 随着 增大而减小，且 ， ，
故要使得 恒成立，则 .
故选：B
8．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知数列 是等差数列，且 ．若
是 和 的等差中项，则 的最小值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
易知 是正项等比数列，根据 ，得到 ，再根据 是 和 的等
差中项，得到 ，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】
解：因为数列 是等差数列，
所以 是正项等比数列，
又 ，
所以 ，
解得 或-1（舍），
又因为 是 和 的等差中项，
所以 ，
则 ，即 ．
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号．
故选：A．
9.（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{ }各项均为正数， ， 、 为方程 (m
为常数)的两根，数列{ }的前n项和为 ，且 ，求数列 的前2022项和为
_________．
【答案】
【分析】
首先根据条件求得等比数列{ }的前n项和为 ，代入 中可看出可以通过裂项相消法求和．【详解】
等比数列{ }中 、 为方程 的两根
，
设数列{ }的公比为 ，则 ，且
又 ，所以 ，
所以
∴
∴
∴数列 的前2022项和
，
故答案为： .
10．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））设 为等比数列 的前n项和，已知 ， ，
若存在 ，使得 成立，则m的最小值为___．
【答案】9
【分析】
先求出首项和公比，从而得到通项公式及求和公式，然后利用基本不等式求出最小值，从而求出m的最小
值.
【详解】
设 的公比为q，由 可知 ，所以 ，
由 得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
由题意知存在 ，使得 成立，当且仅当 ，即 时取得等号，所以 ，
故m的最小值为9
故答案为：9
11．（2021·全国·高三专题练习（理））数列 是以 为首项， （ ）为公比的等比数列，数列
满足 ，数列 满足 ，若 为等比数列，
则
A． B．3 C． D．6
【答案】B
【详解】
由题意， ，则 ，得
,要使 为等比数列，必有 ，得 ，故选B.
12．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））记数列 中不超过正整数n的项的个数为 ，设数列
的前n项的和为 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先由定义判断出当 时， ，再变形得到，
再按照错位相减法求和，即可求解
【详解】
，
当 时， ，
所以
，
记 ， ，
两式相减得 ，
化简得 ，
所以 ．
故选：B.
13．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知数列 的前 项和 ，等比数
列 满足 ，若对于任意的实数 ，不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先利用 ，求出 ，进而求出 ，故题干条件转化为 对于
任意的实数 恒成立，设 ，利用一次函数的单调性得到 且 ，求
出 的取值范围.
【详解】
因为 .当 时， ，又当 时， ，所以 .设 ，则 ，可得 ， ，所以数列 .的通项公式为
， ，因此原不等式转化为 ，即 对于任意的实数 恒
成立，设 ， ，可得 且 ，即有 ，解得：实数
的取值范围为 .
故选：D
14．（2018·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））等差数列 的公差d≠0，a 是a，a 的等比中项，已知
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数列a，a， ， ，……， ，……为等比数列，数列 的前n项和记为Tn，则2Tn＋9=_______
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【答案】
【分析】
根据等差数列及等比中项的定义，求得首项；由等比数列前两项求得公比，进而利用等比数列通项公式与
等差数列通项公式求得 ；利用等比数列及等差数列求和公式即可求得T，代入即可求得2Tn＋9．
n
【详解】
因为数列 是等差数列，且a 是a，a 的等比中项
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所以
因为公差d≠0，解得
公比
所以
由 是等差数列可知
所以
所以
所以所以
15．（2021·全国·一模（理））已知数列 的奇数项和偶数项为公比为 的等比数列， ，且
.则数列 的前 项和的最小值为__________．
【答案】
【分析】
先分 为奇数和偶数，利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，再分奇数项和与偶数项和利用
分组求和法、等比数列的前 项和公式、等差数列的前 项和公式求出数列 的前 项和，再利用函数的
单调性进行比较求解.
【详解】
当 为奇数时，设 ，
；
当 为偶数时，设 ，
；
则 ；
设 .
当 为偶数时，.
又 .
当 时，因为 是关于 的增函数，
又 也是关于 的增函数，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以当 为偶数时， 最小， ；
当 为奇数时，
，
又 .
当 时，因为 是关于 的增函数，
又 也是关于 的增函数，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以当 为奇数时， 最小， .
又因为 ，所以 .
故答案为： .
