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第 02 讲 概率
课程标准 学习目标
①概率的定义 1. 掌握概率的含义与简单随机事件的概率的计算方法，能熟练
的对简单随机事件的概率进行计算。
②简单随机事件的概率求法
2. 掌握几何概率的计算方法，能够熟练的计算几何概率。
③几何概率
知识点01 概率的定义
1. 概率的定义：
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生 可能性大小 的数值，称为随机事件A发生的概
率。记做 P （ A ） 。
发生的可能性越大，概率 越大 ；发生的可能越小，则概率 越小 。
【即学即练1】
1．某日天气预报信息显示：明天最高气温32℃，最低气温25℃，降水概率为80%．根据此信息，下列说
法中，你最认可的是（ ）
A．明天一定下雨
B．明天不可能下雨
C．明天下雨的可能性较小
D．明天下雨的可能性很大【分析】根据题意，明天是否下雨和最高温度、最低温度无关，根据降水概率为 80%进行分析，明天下
雨的可能性较大．
【解答】解：降水概率为80%，那么明天下雨的可能性较大．
故选：D．
知识点02 简单随机事件的概率的求法
1. 简单事件的概率计算：
如果在一次实验中，有n中可能的结果，并且它们发生的 可能性大小 是相同的，事件A包含其中
m
n
的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）= 。由m与n的含义可知，0≤m≤n，所以可知P
（A）的取值范围为 0 ≤ P （ A ）≤ 1 。
2. 确定性事件与随机事件的概率大小：
若事件A是必然事件，则P（A）＝ 1 ；若事件A是不可能是事件，则P（A）＝ 0 ；若事
件A是随机事件，则P（A）的取值范围为 0 ＜ P （ A ）＜ 1 。
【即学即练1】
2．五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、矩形、正方形，现从中随机抽取一
张，恰好抽到既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】卡片共有五张，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有圆、矩形、正方形共3张，根据概率
公式即可得到答案．
【解答】解：卡片中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有圆、矩形、正方形共3张，
根据概率公式，从中随机抽取一张，恰好抽到既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
故选：B．
【即学即练2】
3．不透明的袋子中有5个相同的小球，分别写有1，2，3，4，x五个数字，随机摸出一个小球，上面的数
字是奇数的概率为 ，则x可以是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
【分析】根据奇数的概率为 ，可以算出奇数个数，即可得答案．
【解答】解：根据上面的数字是奇数的概率为 ，
可得奇数的个数为 个，
∵1，2，3，4中1，3为奇数，有两个，∴x为奇数，
选项中只有D选项符合，
故选：D．
知识点03 几何概率
2. 几何概率的计算：
即求 部分 与 总和 的比值。有时候求长度比，有时候求面积比，有时候求体积比。
【即学即练1】
4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，
那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的 ，
则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
故选：C．
题型01 求简单随机事件的概率
【典例1】下列四个图形中，从中任取一个是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由中心对称图形的定义可知，四个图形中有2个是中心对称图形，利用概率公式可得答案．
【解答】解：四个图形中是中心对称图形的是第二个和第四个，共2个，
∴从中任取一个是中心对称图形的概率是 ．故选：B．
【变式1】学校举办演讲比赛，该校七年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛．若从报名的8名学
生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是 ．
【分析】根据概率＝所求情况数与总情况数之比直接求解即可．
【解答】解：∵该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛，
∴这名学生是女生的概率是 ．
故答案为： ．
【变式2】从“hangzhou”中随机抽取一个字母，抽中字母h的概率为 ．
【分析】由题意可得，共有8种等可能的结果，其中抽中字母h的结果有2种，利用概率公式可得答案．
【解答】解：从“hangzhou”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母h的结果有
2种，
∴抽中字母h的概率为 ．
故答案为： ．
【变式3】若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从
乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况，
∴ ；
故选：C．
题型02 求几何概率
【典例1】如图，将一个飞镖随机投掷到3×3的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A． B． C． D．
【分析】根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
【解答】解：∵3×3的方格纸的面积为＝3×3＝9，阴影部分面积为4，
∴飞镖落在阴影区域的概率是 ．
故选：B．
【变式1】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞
镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AB＝2a，则圆的直径为2a，求出小正方形的边长，即可求出几何概率．
【解答】解：如图：设AB＝2a，则圆的直径为2a，
则小正方形的边长为： ，
则飞镖落在阴影区域的概率为： ．
故选：C．
【变式2】如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑
色区域的概率是（ ）A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法可知，小球最终停在阴影区域的概率等于阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵由图可知，阴影区域的面积等于3块地板的面积，总面积等于9块地板的面积，
∴小球最终停留在阴影区域的概率是 ＝ ．
故选：C．
【变式3】如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 P，
则点P落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出阴影部分的面积，根据概率是即可求出概率．
【解答】解：设16个相同的小正方形的边长为a，则4个相同的大正方形的边长为1.5a，
∴点P落在阴影部分的概率为 ＝ ．
故选：A．
【变式4】某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，
那么该顾客获奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值解答即可得解．
【解答】解：∵阴影部分占36°，
∴阴影部分占整个圆面积的： ，该顾客获奖的概率为： ，
故选：D．
题型03 根据概率的大小取值
【典例1】一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，
已知摸到白球的概率是 ，估计袋中白球的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：设袋子中白球的个数为x个，
则 ，
解得x＝4，
经检验得x＝4是原方程的解，
∴估计袋中白球的个数是4个．
故选：D．
【变式1】一个不透明的布袋里装有3个红球、1个黑球、若干个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出
的球是红球的是概率是 ，袋中白球共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是 ，利用概率公式列出方程，解之可得．
【解答】解：设白球有x个，
根据题意，得 ，
解得：x＝6，
经检验x＝6是方程的解，
即袋中白球有6个，
故选：C．
【变式2】若干张卡片上均写有一道数学题，其中有3道几何题，其余都是代数题，这些卡片除上面所写
的题不一样外，其余完全相同．将这些卡片背面朝上洗匀，若随机抽取一张卡片，上面是几何题的概率
是 ，则上面写有代数题的卡片的张数是（ ）
A．1 B．6 C．9 D．12
【分析】先根据概率的公式 （其中m是指事件A的情况数，n是总共的事件情况数）求出总
题数，再减去几何题的题数，即可得代数题的题数．【解答】解：由题意得总题数为： （道），其中有3道几何题，
∴代数题有12﹣3＝9（道），
故选：C．
【变式3】如图所示，有一个转盘，转盘上有一个可转动的指针，已知指针转动一定的时间后停在红色部
分、黄色部分、白色部分三者的概率之比为5：7：4，转盘的半径为2个单位，则红色部分、黄色部分、
白色部分面积各是多少？
【分析】首先求出转盘的面积，然后根据“指针转动一定的时间后停在红色部分、黄色部分、白色部分
三者的概率之比为5：7：4”求出各个部分在转盘中所占的比例，从而得出各个部分的面积．
【解答】解：∵转盘的半径为2个单位，
∴转盘的面积为 22＝4 ，
又指针转动一定的时间后停在红色部分、黄色部分、白色部分三者的概率之比为5：7：4，
π π
即红色部分、黄色部分、白色部分在转盘中占的比例分别为 、 、 ，
所以红色部分的面积为4 × ＝ ，
π
黄色部分的面积为4 × ＝ ，
π
白色部分的面积为4 × ＝ ．
π π
1．天气预报称，明天全市的降水概率为90%，下列说法中正确的是（ ）
A．明天全市将有90%的地方会下雨
B．明天全市将有90%的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大
D．明天全市一定会下雨
【分析】下雨的降水概率指的是下雨的可能性，据此进行解题即可．
【解答】解：由题可知，天气预报称，明天全市的降水概率为90%，
则代表明天全市下雨的可能性较大，
故C说法正确，
故选：C．2．下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【分析】分别利用概率的意义，随机事件的定义分析得出即可．
【解答】解：A、10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸或者后摸的人摸到奖票的概率都一样大，故此
选项不符合题意；
B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大，故此选项不符合题意；
C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，故此选项符合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次不一定有1次正面朝上，故此选
项不符合题意．
故选：C．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．必然事件的概率为1
B．随机事件的概率为0.5
C．概率很小的事件不可能发生
D．概率很大的事件一定发生
【分析】根据概率的意义，随机事件，概率公式，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、必然事件的概率为1，故A符合题意；
B、0＜随机事件的概率＜1，故B不符合题意；
C、概率很小的事件也可能发生，故C不符合题意；
D、概率很大的事件不一定会发生，故D不符合题意；
故选：A．
4．随意掷一枚质地均匀的骰子，连续掷7次都是数字6朝上，则掷第8次时数字6朝上的概率是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
【解答】解：随意掷一枚质地均匀的骰子，连续掷7次都是数字6朝上，掷第8次时，不会受到前7次
的影响，
掷第8次时仍有6种等可能出现的结果，其中数字6朝上的有1种．
所以掷第8次时数字6朝上的概率是 ．
故选：D．
5．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据转盘中的数据可知，偶数为2，然后即可得到指针指向的数字为偶数的概率．
【解答】解：由图可得，
指针指向的数字为偶数的概率是 ，
故选：D．
6．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，
二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏
至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、
小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为 ＝ ，
故选：D．
7．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概
率是 ，则口袋中白色球可能有（ ）
A．12个 B．24个 C．32个 D．28个
【分析】根据概率的意义，由频数＝数据总数×频率计算即可．
【解答】解：∵摸到白色球的频率是 ，
∴口袋中白色球可能有40× ＝24个．
故选：B．
8．象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三
十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一
枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率．【解答】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”；
故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是 ．
故选：C．
9．如图，小明向由9个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投掷一枚飞镖，飞镖落在阴影三角形内的概
率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出阴影部分的面积与整个网格的面积之比，即可得出结果．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则： ；
故选：B．
10．如图，已知 O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点
取在阴影部分的概率是（ ）
⊙
A． B． C． D．
【分析】设OA＝a，则OB＝OC＝a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和
圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：如图，设OA＝a，OB＝OC＝a，
由正方形的性质可知∠AOB＝90°，
，
由正方形的性质可得CD＝CE＝OC＝a，
∴DE＝2a，
，
，∴这个点取在阴影部分的概率是 ，
故选：A．
11．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋
子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ．
【分析】根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵任意摸出一个棋子，一共有5种等可能性，黑色棋子有3种等可能性，
∴摸到黑色棋子的概率是 ．
故答案为： ．
12．文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”．已知一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮20秒，
绿灯亮30秒，黄灯亮10秒，则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为 ．
【分析】直接利用概率公式可得答案．
【解答】解：经过这个路口信号灯是绿灯的概率是 ．
故答案为： ．
13．在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个
球，摸到白球的概率为 ，则m的值为 1 2 ．
【分析】摸到白球的概率为 ，利用概率公式建立关于m的方程，解之可得．
【解答】解：∵若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为 ，
∴ ，
解得m＝12，
经检验：m＝12是分式方程的解，
故答案为：12．14．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵
爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到
图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，
现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【分析】根据题意易得BD＝4，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三
角形和正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，
由题意可知，AB＝CD＝5，BC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣5＝4，
∴S大正方形 ＝AC2＝AB2+BC2＝106，
则中间小正方形的面积为4×4＝16，
小正方形的外阴影部分的4S△ABD ＝4× ×4×5＝40，
∴阴影部分的面积为16+40＝56，
∴针尖落在阴影区域的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
15．如图，四边形ABCD与四边形DCEF均为边长等于1的正方形，连接点A，B，C，D，E，F中任意两
点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为无理数的线段的概率为
．【分析】由题意知，连接两点所得的所有线段共15条，其中长度为无理数的线段有6条，再利用概率
公式计算即可．
【解答】解：连接两点所得的所有线段有：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，
CF，DE，DF，EF，共15条，
其中长度为无理数的线段有：AC，AE，BD，BF，CF，DE，共6条，
∴在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为无理数的线段的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
16．“草莓音乐节”组委会设置了甲，乙，丙三类门票，初一 2班购买了甲票4张，乙票16张，丙票20
张，这些票除票面内容不同外其他都相同，该班小尹同学从中随机抽取一张．
（1）小尹同学抽到甲票的概率是多少？
（2）小尹同学抽到甲票或乙票的概率是多少？
【分析】（1）小尹同学从中随机抽取一张共有40种等可能的结果，其中小尹同学抽到甲票的结果有4
种，利用概率公式求解即可得；
（2）小尹同学从中随机抽取一张共有40种等可能的结果，其中小尹同学抽到甲票或乙票的结果有20
种，利用概率公式求解即可得．
【解答】解：（1）因为小尹同学从中随机抽取一张共有4+16+20＝40（种）等可能的结果，
所以小尹同学抽到甲票的概率是 ，
答：小尹同学抽到甲票的概率是 ．
（2）因为小尹同学从中随机抽取一张共有4+16+20＝40（种）等可能的结果，其中小尹同学抽到甲票
或乙票的结果有4+16＝20（种），
所以小尹同学抽到甲票或乙票的概率是 ，
答：小尹同学抽到甲票或乙票的概率是 ．
17．口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出
一个球：（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋
中摸出一个球是红球的概率是 ，求取走多少个白球．
【分析】（1）根据红球与白球的数量的情况即可求解；（2）设取走x个白球，根据概率公式列出关于x的方程，解出x的值即可．
【解答】解：（1）∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x+y＝8，
∴x＝y＝4；
（2）设取走x个白球，放入x个红球，则口袋中现在有白球（4﹣x）个，红球（4+x）个，
根据题意得， ＝ ，
解得x＝3，
答：取走3个白球．
18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球 6个，白球10个，
黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 ．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出a个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红
球的概率为 ，请求出a的值．
【分析】（1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率；
（2）由红球的概率可求得盒子里的总球数，用30减去总球数即可得到要取出黑球的个数，即可求得a
的值．
【解答】解：（1）∵红球6个，白球10个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是 ，
∴盒子中球的总数为： （个），
故盒子中黑球的个数为：30﹣6﹣10＝14（个）；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为： ；
（2）∵任意摸出一个球是红球的概率为
∴盒子中球的总量为： （个），
∴可以将盒子中的黑球拿出30﹣24＝6（个）
∴a＝6．
19．（1）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一
点，求这个点取在线段MN上的概率．
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为 20cm，小圆的直径为10cm，一只小鸟自
由自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是 ．【分析】（1）由AB间距离为10，MN的长为2，用MN的长除以线段AB的长即可得；
（2）用小圆面积除以大圆面积即可得．
【解答】解：（1）AB间距离为10，MN的长为2，
故随意在这条线段上取一个点，
那么这个点取在线段MN上的概率为 ．
（2）因为大圆的面积为： ；
小圆的面积为： ．
所以小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是 ，
故答案为： ．
20．如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格
最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗
地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．
（1）小明如果踩在图中9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ．
（2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ．
（3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应
踩在A区域外的小方格上？并说明理由．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）直接利用概率公式计算；（3）分别计算出踩在A区域和踩在A区域外的踩中地雷的概率，然后比较两个概率的大小，即可得出
结论．
【解答】解：（1）小明如果踩在图中9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ；
故答案为： ；
（2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ＝ ；
故答案为： ；
（3）小明的第二步应踩在A区域外的小方格上，
理由：踩在A区域不踩中地雷的概率为 ＝ ，
踩在A区域外不踩中地雷的概率为 ＝ ，
∵ ＜ ，
∴小明的第二步应踩在A区域外的小方格上．
