文档内容
考点 12-1 排列组合
1．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里
至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有 种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有 种安排方法
所以，不同的安排方法共有 种
故选：C
【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
2．（2023·全国·高三专题练习）3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的
不同的站法共有（ ）
A．72种 B．64种 C．48种 D．36种
【答案】D
【分析】利用捆绑法，将2名女生捆绑在一起，先站2名女生，再站3名男生.
【详解】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有 种站法，又2名女生都不站在最左端，故有 种
站法，剩下3个位置，站3名男生有 种站法，
故不同的站法共有 种.
故选：D.
3．（2022·海南中学高三阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5
名的名次，已知甲和乙都不是冠军，且乙不是最后一名、则这5人的名次排列所有可能的情况共有（
）
A．18种 B．36种 C．54种 D．72种
【答案】C
【分析】先排冠军位置，再排最后一名，最后再考虑其他三个位置，有分步乘法计数原理进行求解.
【详解】先从丙、丁、戊三人中选择一人为冠军，有 种情况，
再从除乙外的三人中选择一人为最后一名，有 种情况，
最后将剩余三人进行全排列，有 种情况，
综上：这5人的名次排列所有可能的情况共有 =54种.
故选：C4.（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每
个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原
理得解.
【详解】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同
学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分
析能力和计算能力，属于中档题.
5．（2022·云南师大附中高三阶段练习）成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、
羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在
“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）
【答案】24
【分析】把“徵”“羽”看成一个元素，排在“宫”的前面，再排“商”“角”，最后计算“徵”“羽”
交换顺序排列即可.
【详解】解：把“徵”“羽”看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按“宫”在后，“徵”
“羽”在前的顺序，有 种排法，
另两个位置排“商”“角”，有 种排法，
“徵”“羽”又可交换顺序排列，有 种排法，
故所求音序种数为 .
故答案为：24.
6.（2022·全国·高三专题练习）若 ，则n等（ ）
A．8 B．4 C．3或4 D．5或6
【答案】A【分析】根据排列数和组合数公式，化简，即可求出 .
【详解】由题意，根据排列数、组合数的公式，
可得 ，
，
则 ，且 ，
解得： .
故选：A
7．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，
现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有
（ ）种
A．15 B．20 C．10 D．9
【答案】C
【分析】根据题意，用插空法分析：先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，分析其空位情况，在空位中，
任选3个，安排熄灭的灯，由组合数公式计算可得答案.
【详解】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，
则需要用插空法分析：
先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位，
在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有 种情况，
即有10种关灯方法.
故选：C
8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））现安排编号分别为1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做
三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一项工作，且编号为相邻整数的志愿
者不能被安排做同一项工作，则不同的安排方法数为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
【答案】C
【分析】先按照要求将志愿者分为3组，再分配到三项工作，最后由分步计数原理求解即可.
【详解】先将四位志愿者分为2人、1人、1人共3组，有1号和3号一组；2号和4号一组；1号和4号一
组共3种情况；
再将3组志愿者分配到三项工作有 种；
按照分步乘法计数原理，共有3×6=18
种.
故选：C.
9.只能参加一科竞赛，若 和 不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数
字作答）.
【答案】
【分析】根据题意，先安排四位同学参加三科竞赛且每科都有人参加的情况，再去除 和 参加同一科的
情况即可得答案.
【详解】解：根据题意，若 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科
竞赛，且这三科都有人参加，则共有 种情况，若 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参
加， 和 参加同一科的有 种情况；
所以，满足题意的情况共有 种.
故答案为：
10．（2022·北京·测试学校四高三）将不大于12的正整数分为6个两两交集为空的二元集合，且每个集合
中两个元素互质，则不同的分法有___________种.
【答案】252
【分析】依题意 恰好在6个不同的集合中，设依次为 ，则 可以任意放，5不
能放在 中，3，9不能放在 或 中，分两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；
【详解】解：易知 中的元素两两不互质，因此恰好在6个不同的集合中.
设依次为 .
此时剩余的正整数中 可以任意放在上述6个集合中，5不能放在 中，3，9不能放在 或 中，分
两种情况：
①若5放入了 或 中，有两种情况，此时3与9可在4个集合中选择，有 种情况，而 放入集合
有 种情况.
②若5没有放入 或 中，则5有3个集合可以选择，进而3与9可在3个集合中选择，有 种情况，而
放入集合有 种情况.
综上所述，不同的集合拆分方法共有 种.
故答案为：
11.（2022·北京市第十二中学三模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总
是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，
则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】分类分步排列即可.
【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：
（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，
故选：B.
12．（2022·全国·高三专题练习（理））已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、
2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ）
A．150 B．240 C．390 D．1440
【答案】C
【分析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，
分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果.
【详解】因为 或
所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中
（1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种
方法：
各放1个，2个，2个的方法有 种.
各放3个，1个，1个的方法有 种.
（2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有
种.
综上，总的放球方法数为 种.
故选：C
13．（2020·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高三期中）从1，2，3，…，20中选取四元数组
，满足 ，则这样的四元数组 的个数是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过假设 ，分析得到满足的
的个数，从而确定出四元数组 的个数.【详解】因为 ，记 ，
因为 ，所以 ，记 ，
因为 ，所以 ，记 ，
因为 ，所以 ，记 ，
因为 ，记 ，
所以 ，
所以四元数组 的个数，即为满足条件的 的个数，
又因为 且 ，
所以 的个数为： （ 看成 个 排成一列，会形成 个空位，插入 个隔板隔开，形成
个数），
则四元数组 的个数为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的综合应用，其中涉及到数字排列的变换以及隔板法的运用，对学生的分析与
转化能力要求较高，难度较难.
14．（2022·全国·高三专题练习）将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放
两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用
数字作答）.
【答案】27
【分析】按照1号球是否放在B盒子分类，结合.
【详解】若1号球放在B盒子中，共有 种放法；
若1号球放在C盒子中，共有 种放法；
所以共有放法总数为 .
故答案为：27.
15．（2021·全国·高三专题练习（理））若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美
数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的
概率是____________
【答案】
【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.
【详解】所有三位数个数为900个.
“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是 的，共有 个，分别为
；②含有两个相同数字的，共有 个，分别为 ；
③不含0且没有相同数字的，共有 个，分别为
,
从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率 .
故答案为:
