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第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
核心素养立意下的命题导向
1.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运
算的核心素养．
2．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用，
凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx ＋ φ
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找的五个特征点，如下表
所示
ωx＋φ 0 π 2π
x － － －
y＝Asin(ωx
0 0 － A 0
＋φ)
3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
[澄清盲点误点]
一、关键点练明1．(函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念)函数y＝sin的振幅为__________，周期为________，初
相为________．
答案：
2．(图象变换)将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得
图象的函数解析式是________．
答案：y＝1＋cos 2x
3．(五点作图)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．
答案：
二、易错点练清
1．(图象平移方向把握不准)为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(
)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案：A
2．(图象横坐标伸缩与ω的关系把握不准)函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐
标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________________．
答案：y＝sinx
3．(忽视参数的范围)已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的初相φ为
________．
解析：将点(0,1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝.因为|φ|<，所以φ＝.
答案：
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[典例] 已知函数y＝2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
[解] (1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝π，初相φ＝.
(2)描点画出图象，如图所示：(3)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；
再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；
最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图
象；
再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；
再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图
象．
三角函数图象的变换
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：
(1)A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；
(2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
(3)φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左
加右减，上加下减”．
[提醒] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减
多少值． [方法技巧]
[针对训练]
1．若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝ cos ωx的图象
重合，则ω的一个可能取值是( )
A．2 .
C. D．
解析：选A 由y＝sin的图象和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ(k∈Z)，则ω＝
6k＋2(k∈Z)．所以2是ω的一个可能值．
2．(2020·江苏高考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最
近的对称轴的方程是________．
解析：将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，得到y＝3sin＝3sin的图象，由2x－＝＋
kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，其中与y轴最近的对称轴的方程是 x＝－.
答案：x＝－
考点二 由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[典例] (多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
[解析] 由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.
当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，
将点代入得，sin＝0，
∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴y＝sin，故A错误；
由sin＝sin＝sin知B正确；
由sin＝sin＝cos知C正确；
由sin＝cos＝cos＝－cos知D错误．
综上可知，正确的选项为B、C.
[答案] BC
[方法技巧]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝.
(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求
解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
[针对训练]
1.(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，
则f(x)的最小正周期为( )
A. .
C. D．
解析：选C 法一：由题图知，f＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．
设f(x)的最小正周期为T，
易知T＜2π＜2T，∴＜2π＜，∴1＜|ω|＜2，
当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，
∴T＝＝.故选C.
法二：由题图知，f＝0且f(－π)＜0，f(0)＞0，
∴－ω＋＝－(ω＞0)，解得ω＝，
∴f(x)的最小正周期T＝＝.故选C.
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
解析：选B 由图易得，A＝2，T＝4×＝π，故ω＝＝2.当x＝时取得最大值2，所以2＝2sin，
且|φ|<，所以φ＝，所以函数的解析式为f(x)＝2sin.当x∈时，2x＋∈，又由正弦函数y＝sin x
的图象与性质可知，函数y＝sin x在上单调递增，故函数f(x)在上单调递增．当x∈时，2x＋
∈，由函数y＝sin x的图象与性质知此区间上不单调．故选B.
考点三 三角函数图象与性质的综合问题
[典例] 已知函数f(x)＝2sin＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)＝0，x∈，求x的值；
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍
(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求函
数h(x)在的值域．
[解] (1)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由f(x)＝0，得2sin＋1＝0，
∴sin＝－.
又∵x∈，∴2x－∈，
∴2x－＝－或2x－＝－或2x－＝，
解得x＝0或x＝－或x＝.(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，
可得函数图象的解析式为y＝2sin＋1＝2sin＋1＝2cos 2x＋1.
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2cos x＋1的图
象．
又∵曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，
∴h(x)＝g＝2cos＋1＝2sin x＋1.
∵x∈，∴sin x∈，
∴2sin x＋1∈(0,3]．
∴函数h(x)在上的值域为(0,3]．
[方法技巧]
三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义
域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
[针对训练]
1.(多选)(2021·百师联盟测试)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部
分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的周期为π
B．函数f(x)图象的一条对称轴方程为x＝
C．函数f(x)的递减区间为，k∈Z
D．当x∈时，函数f(x)的值域为
解析：选AC 由题中图象知，A＝1，＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝＝2，根据五点作图法得2×＋φ＝0，
∴φ＝－，则f(x)＝sin.
令2x－＝kπ－，k∈Z，
得f(x)的对称轴方程为x＝π＋，k∈Z.
令2kπ－≤2x－≤2kπ－，k∈Z，
得f(x)的单调减区间为，k∈Z.
当x∈时，2x－∈，
f(x)＝sin∈，故选A、C.
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,0＜ω＜6，|φ|＜)，x＝是函数f(x)的零点，x＝是函数f(x)
图象的对称轴，且f＝2.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个零点，求m的取值范围．
解：(1)因为x＝是函数f(x)图象的对称轴，
且f＝2，A＞0，
所以A＝2，又因为x＝是函数f(x)的零点，所以T＝－(n∈N*)，
即T＝(n∈N*)，
所以ω＝＝＝4n－2(n∈N*)，
又因为0＜ω＜6，
所以n＝1，ω＝2，
因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，
因为f＝2，所以2sin＝2，
即sin＝1，
又因为|φ|＜，所以φ＝，
故f(x)＝2sin.
(2)依题意知函数y＝f(x)与y＝m在上有2个交点，设t＝2x＋，
由x∈，得t∈，
结合图象可知：
函数y＝2sin t在上单调递减，
在上单调递增，
所以当t＝－时，y＝－；
当t＝－时，y＝－2；
当t＝时，y＝.
所以m的取值范围为(－2，－ ]．
考点四 三角函数模型的应用
[典例] 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b
的图象.2021年1月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温
度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)1月29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届
时学校后勤应该开空调吗？
[解] (1)由题意知解得
易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，
则y＝8sin＋6.
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，故＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin＋6<8sin＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
[方法技巧]
已知函数模型解决实际问题的思路
(1)这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如y＝Asin(ωx
＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的函数来刻画，只需根据已知条件确定参数，求解函数解析
式，再将题目涉及的具体的数值代入计算即可．
(2)三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查．
[针对训练]
1．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他
证明了所有的乐音都能用数学表达式来描述，它们是一些形如y＝asin bx的简单正弦函数的
和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐音的数学表达式可知，所有泛音的频
率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数y＝0.06sin 180
000t(基本音)构成乐音的是( )
A．y＝0.02sin 360 000t B．y＝0.03sin 180 000t
C．y＝0.02sin 181 800t D．y＝0.05sin 540 000t
解析：选C 由f＝＝，可知若f＝nf (n∈N*)，
1 2
则必有ω＝nω (n∈N*)．
1 2
易得360 000＝2×180 000,180 000＝1×180 000，
540 000＝3×180 000，
故A、B、D中函数都能与函数y＝0.06 sin 180 000t构成乐音．只有C选项中，181 800不是
180 000的整数倍．
2.电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，
0<φ<π)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为________．
解析：由题图知A＝10，函数的周期T＝2×＝，所以ω＝＝＝100π，
将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再
将t＝代入函数解析式得I＝0.
答案：0
创新命题视角——学通学活巧迁移
三角函数与其他知识综合
题型(一) 三角函数与导数相交汇
[例1] 2019新型冠状病毒属于β属冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着数学模型为y＝Bcos ωβ，y＝kβ＋b的某结构，人体肺部结构中包含数学模型为y＝Asin ωβ，y＝ln β
的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们“复合”引起的，表现为f(β)．若函数f(β)＝asin(1－β)＋
ln β在(0,1)上单调递增，则a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
[思路点拨] 将题眼“f(β)在区间(0,1)上单调递增”，转化为“a≤在(0,1)上恒成立”，构造函
数，借用导数工具，求出p(β)＝在(0,1)上的单调性，即可得a的取值范围．
[解析] f(β)＝asin(1－β)＋ln β在(0,1)上单调递增，
则f′(β)＝－acos(1－β)＋≥0在(0,1)上恒成立，
因为0<β<1，
所以0<1－β<1，所以cos(1－β)>0，
所以a≤在(0,1)上恒成立．
设k(β)＝βcos(1－β)(0<β<1)，
则k′(β)＝cos(1－β)＋βsin(1－β)，
易知sin(1－β)>0，所以k′(β)>0，故k(β)在(0,1)上单调递增．
令p(β)＝，则p(β)在(0,1)上单调递减，
又p(1)＝1，故a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．故选B.
[答案] B
[名师微点]
破解本题的关键是“巧转化妙构造”，即巧妙地把函数的单调性问题转化为不等式恒成立问
题，再通过构造函数，借用导数工具，轻松判断所构造函数的单调性，即可得参数的取值范围．
题型(二) 三角函数与零点相交汇
[例2] 已知函数f(x)＝4sin，x∈，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x，x，x，…，
1 2 3
x ，且x0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )
A．－ B．
C．1 D．
解析：选D 由题意可知该函数的周期为，
∴＝，即ω＝2，∴f(x)＝tan 2x.
∴f＝tan ＝.
4.(2021·扬州检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则φ的值
为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B 由题图，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知
A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y＝a＋Acos(x＝
1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18
℃，则10月份的平均气温值为_______℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
6．若将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，
则φ的最小值为________．
解析：平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，∵图象关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝
－π－(k∈Z)，又∵φ>0，∴当k＝－1时，φ的值最小，为.
答案：
二、综合练——练思维敏锐度
1．(多选)要得到y＝sin的图象，可以将函数y＝sin x的图象上所有的点( )A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
解析：选AD 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数y＝sin
的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin的图象，故A正确；将函数y＝
sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把所得各点的
横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin的图象，故B错误；将函数y＝sin x的图象上所有的点
横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再把所得各点向右平行移动个单位长度，得
到y＝sin的图象，故C错误；将函数y＝sin x的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，得
到y＝sin 2x的图象，再把所得各点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象，故D正确．
故选A、D.
2．在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象
经过原点，则φ的最小值为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y
＝sin[3(x＋φ)＋]，因为其图象经过原点，所以sin(3φ＋)＝0，所以3φ＋＝kπ(k∈Z)，解得φ＝
－(k∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为－＝，故选B.
3.函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则函数g(x)＝的最
小正周期为( )
A．π B．2π
C．4π D．
解析：选A 根据函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分图象，
可得＝π－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
点是五点作图的第二个点，则2×＋φ＝，
∴φ＝－，∴f(x)＝cos.
∴g(x)＝＝，
易知y＝g(x)与y＝cos＋的最小正周期相同，均为T＝＝π.故选A.
4．(多选)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有
的性质为( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．为奇函数，在上单调递增
C．为偶函数，在上单调递增
D．周期为π，图象关于点对称解析：选BD 将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝sin 2x
的图象，则函数g(x)的最大值为1，其图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故选项A不正确；函数
g(x)为奇函数，当x∈时，2x∈，故函数g(x)在上单调递增，故选项B正确，选项C不正确；函
数g(x)的周期为π，其图象关于点(k∈Z)对称，故选项D正确．故选B、D.
5．(2021·大同一中质检)将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度之后与函数
f(x)的图象重合，则ω＝( )
A．9 B．6
C．4 D．8
解析：选B 函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f(x)
＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－
6k(k∈Z)．又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.
6．(多选)将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若函
数g(x)在区间上是单调增函数，则实数ω可能的取值为( )
A. B．1
C. D．2
解析：选ABC 由题意知g(x)＝sin ，
g(x)的一个增区间为，
要使g(x)在上单调递增，
只需，
解得0<ω≤，故选A、B、C.
7.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈)的部分图象如图所示，其中
f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)
的图象，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝2cos x B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin D．g(x)＝－2cos x
解析：选A 设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝，得＝，则T＝6，ω＝.又由f(0)＝
1，φ∈得sin φ＝，φ＝.所以f(x)＝2sin(x＋).则g(x)＝2sin＝2cos x.故选A.
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值
时，x的集合为______________________．
解析：根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝
sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝
sin，∴f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．
答案：
9．将函数f(x)＝2sin x图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度
得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值范围
是________．解析：将函数f(x)＝2sin x图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝2sin 2x的图
象；再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin的图象．
若函数g(x)在区间，上单调递增，
则
解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
答案：2sin
10．已知函数f(x)＝cos ωx＋sin(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值
范围是________．
解析：f(x)＝cos ωx＋sin＝cos ωx＋sin ωx＝sin，由x∈[0，π]，ω>0，得ωx＋∈.因为f(x)在[0，
π]上恰有一个最大值点和两个零点，所以2π≤ωπ＋<，解得≤ω<，所以ω的取值范围是.
答案：
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，
∴ω＝＝2.
故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P，
∴5sin＝0，
由已知可得＋φ＝kπ(k∈Z)，
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴y＝5sin.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．
解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，
所以T＝π，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，
因为|φ|<，所以φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，则g(x)＝2sin＋2cos
＝2sin＋2[1－2sin2]，
令t＝sin，t∈[－1,1]，
记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，
因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，
即g(x)∈，故a∈.
故a的取值范围为.
三、自选练——练高考区分度
1．(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如
图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，
则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)在上单调递增
B．函数f(x)的图象关于点成中心对称
C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于直线x＝成轴对称
D．若圆的半径为，则函数f(x)的解析式为f(x)＝sin
解析：选BD 由题图可知，C为函数f(x)图象的对称中心，且点C的横坐标为，所以f(x)的最
小正周期T＝π，即＝π，所以ω＝2，由f＝0及0＜φ＜π，解得φ＝，所以f(x)＝Asin.
当x∈时，2x＋∈，显然f(x)不单调，所以A选项错误；f＝Asin(－π)＝0，所以函数f(x)的图象
关于点成中心对称，所以B选项正确；将直线x＝向左平移个单位长度后得到直线x＝，sin＝
sin＝－，所以C选项错误；若圆的半径为，则A＝，解得A＝π，故D选项正确．故选B、D.
2．(多选)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，F(x)＝f(x)＋f′(x)为奇函数，则下述说法中正确的是(
)
A．tan φ＝
B．若f(x)在[－a，a]上存在零点，则a的最小值为
C．F(x)在上单调递增
D．f(x)在上有且仅有一个极大值点
解析：选BC 因为f(x)＝cos(2x＋φ)，所以f′(x)＝－2sin(2x＋φ)，所以F(x)＝f(x)＋ f′(x)
＝cos(2x＋φ)－sin(2x＋φ)＝2cos，又F(x)为奇函数，所以F(0)＝0，即cos＝0，令φ＋＝kπ＋，
k∈Z，得φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝.对于A，tan φ＝tan＝，故A错误；对于B，由f(x)
＝cos＝0，得x＝＋，k∈Z，若f(x)在[－a，a]上存在零点，则a＞0且a的最小值为，故B正确；
对于C，F(x)＝2cos＝－2sin 2x，当x∈时，2x∈，则F(x)在上单调递增，故C正确；对于D，由
f′(x)＝－2sin＝0，x∈，可得x＝，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)在上单
调递减，在上单调递增，故D错误，所以选B、C.
3．(多选)(2021·湖南六校联考)筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种
以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有 1 000
多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的筒车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周
用时120秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝
Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是( )
A．φ＝－
B．当t∈[0,60]时，函数y＝f(t)单调递增
C．当t∈[0,60]时，|f(t)|的最大值为3
D．当t＝100时，|PA|＝6
解析：选AD 由题意可知y＝f(t)的最小正周期T＝120，所以＝120，即
ω＝.如图，由题意原问题可转化为P从A出发，沿圆周按逆时针方向匀
速运动，A(3，－3)，∠AOx∈，所以tan∠AOx＝＝，所以∠AOx＝，且R＝
6，连接OP，则∠xOP＝ωt－＝t－.根据三角函数的定义可得＝sin∠xOP
＝sin，即y＝Rsin＝6sin，所以φ＝－，故选项A正确；当0≤t≤60时，－≤t
－≤，所以函数y＝f(t)＝6sin在t∈[0,60]时不单调递增，故选项B错误；当0≤t≤60时，－≤t
－≤，所以当t－＝，即t＝50时，函数y＝f(t)＝6sin取得最大值6，所以|f(t)|的最大值为6，故
选项C错误；当t＝100时，y＝6sin＝6sin＝－3，此时x＝6cos＝－3，即P(－3，－3)，所以|PA|
＝6，故选项D正确．综上可知，选A、D.
