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第四节 指数与指数函数
核心素养立意下的命题导向
1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．
2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．
3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象
和逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．根式
(1)根式的概念
若 x n ＝ a ，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a
叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒
2．有理数指数幂
m
正分数指数幂：a ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
n
幂的有
m
负分数指数幂：a ＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
关概念 n
0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义
有理数 aras＝ a r ＋ s(a＞0，r，s∈Q)
指数幂 (ar)s＝ a r s(a＞0，r，s∈Q)
的性质 (ab)r＝ a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)
3．指数函数的图象和性质
y＝ax a>1 00时，恒有 y >1 ； 当x>0时，恒有 0< y <1 ；
当x<0时，恒有 0< y <1 当x<0时，恒有 y >1
函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数4．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小
关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(指数型函数图象)函数y＝2x＋1的图象是( )
答案：A
1
2．(指数幂的运算)计算：π0＋2－2× ＝________.
2
答案：
3．(根式的意义)若＝，则实数a的取值范围为________．
解析：＝|2a－1|，＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a.故2a－1≤0，所以a≤.
答案：
4．(函数过定点)函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
解析：令x－2＝0，得x＝2.此时a0＋1＝2，∴定点为(2,2)．
答案：(2,2)
5．(指数函数的值域)函数y＝3x2－2x的值域为________．
解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝，所以函数y
＝3x2－2x的值域是.
答案：
二、易错点练清
1．(化简(a∈R)时忽略n的范围)计算 ＋ ＝________.
答案：2
2．(错误理解指数函数的概念)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________.
答案：23．(忽视对底数a的讨论)若函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
答案：2或考点一 指数幂的化简与求值
[典例] (1)(a>0)的值是( )
A．1 B．a
1 17
C．a D．a
5 10
1
(2)0＋2－2· －(0.01)0.5＝________.
2
1 4 17
[解析] (1)＝＝a3- - ＝a .故选D.
2 5 10
1 1
(2)原式＝1＋× － ＝1＋×－＝1＋－＝.
2 2
[答案] (1)D (2)
[方法技巧]
1．指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
2．化简指数幂常用的技巧
(1)－p＝p(ab≠0)；
(2)a＝m，a＝n(式子有意义)；
1 1
(3)1的代换，如1＝a－1a,1＝a a 等；
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(4)乘法公式的常见变形，如(a ＋b )(a －b )＝a－b，(a ±b )2＝a±2a b ＋b，(a ±b )
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
2 1 1 2
(a ∓a b ＋b )＝a±b.
3 3 3 3
[针对训练]
1．化简(a>0，b>0)的结果是( )
A．a B．ab
C．a2b D．
1 1 1 1 1 5
解析：选D 原式＝＝a- - - ·b + - ＝.
3 2 6 2 3 6
2．已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝________.
1 1 1 1 1
解析：由题设可得2 ＝14,2 ＝7,2 ＝4，则2 ＝＝2，
a b c a b
1 1 1
∴2 ＝2×4＝23，∴－＋＝3.
a b c答案：3
1 3 1 3 1 1
3．若x>0，则(2x ＋3 )(2x －3 )－4x (x－x )＝________.
4 2 4 2 2 2
1 3 1 1 1 1 3 1
解析：因为x>0，所以原式＝(2x )2－(3 )2－4x ·x＋4x ·x ＝4x ×2－3 ×2－4x 1＋4x
4 2 2 2 2 4 2 2
1 1 1 1
＝4x －33－4x ＋4x0＝－27＋4＝－23.
2 2 2 2
答案：－23
考点二 指数函数的图象及应用
[典题例析]
(1)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax
＋b的图象是( )
(2)(多选)已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，下列四个关系式中成立的关系式是( )
A．01时，01，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．00，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[解析] 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.
[答案] B
[方法技巧]
与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注
意数形结合思想的运用．
考法(二) 比较指数式大小[例2] 已知f(x)＝2x－2－x，a＝－，b＝，c＝log ，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
2
A．f(b)＝b>0，c＝log <0，则a>b>c，所以
2
f(c)－3，此时－30}，则函数 f(x)＝4x－2x＋1－
3(x∈A)的最小值为( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
(2)若函数f(x)＝ax2－4x＋3有最大值3，则a＝________.
[解析] (1)由题知集合A＝{x|－20，且a≠1)型函数最值问题，多利用换元法，即令t＝ax，转化为y
＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．
[针对训练]
1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a1，所以
b0，且a≠1)，下面给出四个命题，其中真命题
是( )
A．函数f(x)的图象关于原点对称
B．函数f(x)在R上不具有单调性
C．函数f(|x|)的图象关于y轴对称
D．当01时，f(x)在R上为增函数，当00在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：从已知不等式中分离出实数a，得a>－x＋x.因为函数y＝x和y＝x在R上都是减函数，所
以当x∈(－∞，1]时，x≥，x≥，所以x＋x≥＋＝，从而得－x＋x≤－.故实数a的取值范围为.
答案：
一、创新命题视角——学通学活巧迁移1．(2021·昆明模拟)能说明“已知f(x)＝2|x－1|，若f(x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立，则在
[0,2]上，f(x) ≥g(x) ”为假命题的一个函数g(x)＝________.(填出一个函数即可)
min max
解析：易知函数f(x)＝2|x－1|在x∈[0,2]上的最小值是1，取g(x)＝x
－，作出f(x)，g(x)在[0,2]上的图象如图所示，满足f(x)≥g(x)对任意
的x∈[0,2]恒成立，但 g(x)＝x－在[0,2]上的最大值是，不满足
f(x) ≥g(x) ，所以g(x)＝x－能说明题中命题是假命题．
min max
答案：x－(答案不唯一)
2．已知a，b，c，m都是正数，am＝bm＋cm，当m取何值时，长分别为a，b，c的三条线段能构成
三角形？
解：由于am＝bm＋cm，且a，b，c，m都是正数，所以a>b>0且a>c>0.因此要使长分别为a，b，c
的三条线段能构成三角形，则只要b＋c>a即可．
注意到f(x)＝x＋x在R上单调递减．
若m＝1，则b＋c＝a，显然此时不能构成三角形；
若m>1，则f(m)1，即b＋c>a，此时可以构成三角形；
若0f(1)，即<1，即b＋c1时，长分别为a，b，c的三条线段能构成三角形．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x 满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“倒戈函
0 0 0
数”．设f(x)＝3x＋2m－1(m∈R，且m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取
值范围是( )
A. B.
C. D．(－∞，0)
解析：选B ∵f(x)＝3x＋2m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴∃x∈[－1,1]满足
0
f(－x)＝－f(x)，∴3－x＋2m－1＝－3x－2m＋1，∴4m＝－3－x－3x＋2.构造函数g(x)＝
0 0 0 0 0 0
－3－x－3x＋2，x∈[－1,1]，令t＝3x，则t∈，则g(x)可转化为h(t)＝－－t＋2，易知h(t)＝－－t
＋2在上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴y＝h(t)∈.又m≠0，∴－≤4m<0，∴－≤m<0.
2．已知函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝g(x) 在[a，b]上
同时递增或同时递减时，[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”．若[1,2]为函数y＝|2x＋t|的
“不动区间”，则实数t的取值范围为________．
解析：因为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝f(－x)＝|2－x＋t|.因为[1,2]
为函数y＝|2x＋t|的“不动区间”，所以函数y＝|2x＋t|和函数g(x)＝|2－x＋t|在[1,2]上的单调性
相同．又因为y＝2x＋t和y＝2－x＋t的单调性相反，所以(2x＋t)(2－x＋t)≤0在[1,2]上恒成立，
即2－x≤－t≤2x在[1,2]上恒成立，得－2≤t≤－.
答案：3．对于某种类型的口服药，口服x小时后，由消化系统进入血液中的药物浓度y(单位)与时间
t(时)的关系为y＝k(e－at－e－bt)，其中k>0，b>a>0，k，a，b为常数，对于某一种药物k＝4，a＝
1，b＝2.
(1)口服药物后________小时血液中药物浓度最高；
(2)这种药物服药n(n∈N*)小时后血液中药物浓度f(n)如下表：
n 1 2 3 4
f(n) 0.954 5 0.930 4 0.693 2 0.468 0
n 5 6 7 8
f(n) 0.301 0 0.189 2 0.116 3 0.072 0
一个病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，第三次
服药的时间是________．(时间以整点为准)
解析：(1)药物浓度y(单位)与时间t(时)的关系为y＝k(e－at－e－bt)，对于某一种药物k＝4，a＝
1，b＝2，代入可得y＝4(e－t－e－2t)＝－4＝－4＋1＝－42＋1，
所以当－＝0，即t＝ln 2时取得最大值．
(2)由题可知，病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，
则第二次服药时间在11：00.
第一次服药7个小时后药物浓度为0.116 3，此时为第二次服药后4个小时，药物浓度为
0.468 0，而0.116 3＋0.468 0＝0.584 3>0.5；
第一次服药8个小时后的药物浓度为0.072 0，此时为第二次服药后5个小时，药物浓度为
0.301 0，而0.072 0＋0.301 0＝0.373 0<0.5.
综上可知，若使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，则第三次服药时间为第一次
服药后的7个小时，即为15：00.
答案：(1)ln 2 (2)15：00
4．已知函数f(x)＝2－x，给出下列结论：
①若x>0，则f(x)>1；
②对于任意的x，x∈R，x－x≠0，必有(x－x)·[f(x )－f(x )]<0；
1 2 1 2 1 2 1 2
③若0f.
1 2 1 2
其中所有正确结论的序号是________．
解析：f(x)＝2－x＝x.
对于①，当x>0时，x∈(0,1)，故①错误．
对于②，f(x)＝x在R上单调递减，所以(x－x)·[f(x )－f(x )]<0，故②正确．
1 2 1 2
对于③，表示f(x)图象上的点与原点连线的斜率，由f(x)＝x的图象可知，当0，即
1 2
xf(x)>xf(x)，故③错误．
2 1 1 2
对于④，由f(x)的图象可知，>f，故④正确．综上所述，所有正确结论的序号是②④.
答案：②④
一、基础练——练手感熟练度
1．函数y＝ln(2x－1)的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C 由2x－1>0，得x>0，所以函数的定义域为(0，＋∞).
2x－x2
2．函数y＝ 的值域为( )
A. B．
C. D．(0,2]
解析：选A 设t＝2x－x2，则t≤1，所以y＝t，t≤1，所以y∈，故选A.
2 1
3．化简4a ·b ÷的结果为( )
3 3
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
2 1 1 2
解析：选C 原式＝－6a b ＝－6ab－1＝－.
3 3 3 3
4．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
解析：选A 由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋
2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．
5．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝
20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
二、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·衡水模拟)已知ab＝－5，则a ＋b 的值是( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
解析：选B 由题意知ab<0，a ＋b ＝a ＋b ＝a ＋b ＝a＋b＝0.故选B.
2．已知0aa，babb，∴在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故选C.
2
3．函数y＝ 的值域为( )
x+1
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
2
解析：选D 由≠0，得y＝ ≠1，又y>0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.
x+1
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是(
)
解析：选C 两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A、
D；二次函数的对称轴为直线x＝，当01时，指
数函数递增，>0，B不符合题意，故选C.
5．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log 3)，b＝f(log 5)，c＝f(2m)，则
0.5 2
a，b，c的大小关系是( )
A．a0，故D错误．故选A、C.
1 2 1 2
8．化简：(2·)(－6·)÷(－3·)＝_______.
2 1 1 1 1 5
解析：(2·)(－6·)÷(－3·)＝÷＝4a + - ·b + - ＝4a1·b0＝4a.
3 2 6 2 3 6
答案：4a
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．
解析：当01时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，又函数f(x)的定义域和值域都是[0,2]，所以解得a
＝，所以实数a的值为.
答案：
10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：∵(m2－m)·4x－2x<0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m2－m)<在x∈(－∞，－1]上恒成立．
∵y＝在(－∞，－1]上单调递减，∴当x∈(－∞，－1]时，y＝≥2，∴m2－m<2，解得－10，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．
解：令t＝ax(a>0，且a≠1)，
则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当01时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数．
所以f(t) ＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
max
解得a＝3或a＝－5(舍去)．
综上得a＝或3.
12．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，因为x∈[－3,0]，所以t∈.故y＝2t2－t－1＝22－，t∈，
故值域为.
(2)设2x＝m>0，关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．
当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，过点(0，－1)，不成立．
当a>0时，开口向上，对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．
13．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等
价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
故k的取值范围为.
三、自选练——练高考区分度
1．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析：选D 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
因为af(c)>f(b)，
结合图象知，00，
所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故选D.2．(多选)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是( )
A．x＝y B．10，∴1＋ex>1，∴－
