文档内容
第四节 椭圆
核心素养立意下的命题导向
1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，
凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点
1 2 1 2
叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|F F |＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
1 2 1 2
(1)若 a > c ，则集合P为椭圆．
(2)若 a ＝ c ，则集合P为线段．
(3)若 a < c ，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
范围 － a≤x≤a， － b≤y≤b － b≤x≤b， － a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
性
A (－a,0)，A (a,0)，B (0，－b)， A (0，－a)，A (0，a)，B (－b,0)，
1 2 1 1 2 1
质 顶点
B (0，b) B (b,0)
2 2
离心率 e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
3．常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x，y)与两焦点F ，F 构成的△PF F 叫做焦点三角形．若r＝|
0 0 1 2 1 2 1
PF |，r＝|PF |，∠F PF ＝θ，△PF F 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
1 2 2 1 2 1 2
①当r＝r，即点P为短轴端点时，θ最大；
1 2
②S＝|PF ||PF |sin θ＝c|y|，当|y|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
1 2 0 0③△PF F 的周长为2(a＋c)．
1 2
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(椭圆的定义)设P是椭圆＋＝1上的点，若F ，F 是椭圆的两个焦点，则＋＝( )
1 2
A．4 B．8
C．6 D．18
解析：选C 由定义知|PF |＋|PF |＝2a＝6.
1 2
2．(椭圆的离心率)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B．
C. D．
解析：选B ∵椭圆方程为＋＝1，
∴a＝3，c＝＝＝.
∴e＝＝.故选B.
3．(椭圆的方程)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程
是( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选D 依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
所以解得a2＝9，b2＝8.
故椭圆C的方程为＋＝1.
4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.
解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝1，依题意知 ＝
2，解得m＝.
答案：
二、易错点练清
1．(忽视椭圆定义中2a>|F F |) 到两定点F (－2,0)和F (2，0)的距离之和为4的点的轨迹是(
1 2 1 2
)
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
答案：B
2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝
________.
解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10
－a)＝22，解得a＝8.
答案：4或83．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及
焦点F ，F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．
1 2
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F (－1,0)，F (1,0)．由题意可得
1 2
点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P
点坐标为或.
答案：或
考点一 椭圆定义的应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
[例1] (2021·济南调研)已知两圆C ：(x－4)2＋y2＝169，C ：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C
1 2 1
内部且和圆C 相内切，和圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
1 2
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D．＋＝1
[解析] 设圆M的半径为r，则|MC |＋|MC |＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C C |，
1 2 1 2
所以M的轨迹是以C ，C 为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
1 2
[答案] D
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
[例2] 椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F ，F ，P为椭圆上异于端点的任意一点，
1 2
PF ，PF 的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF F 的周长是
1 2 1 2
( )
A．2(＋) B．4＋2
C.＋ D．＋2
[解析] 如图，由于O，M，N分别为F F ，PF ，PF 的中点，
1 2 1 2
所以OM∥PF ，ON∥PF ，且
2 1
|OM|＝|PF |，|ON|＝|PF |，
2 1
所以四边形OMPN为平行四边形，
所以▱OMPN的周长为
2(|OM|＋|ON|)＝|PF |＋|PF |＝2a＝2，
1 2
所以a＝，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，
所以c2＝a2－1＝2，所以|F F |＝2c＝2，
1 2
所以△PF F 的周长为2a＋2c＝2＋2＝2(＋)，故选A.
1 2
[答案] A
考法(三) 利用定义求最值
[例3] 设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的
取值范围是______________．[解析] 如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(－
2,0)，
∴|AF′|＝＝.
∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4＋，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|
＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4－.
∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4－，4＋ ]．
[答案] [4－，4＋ ]
[方法技巧] 椭圆定义应用的类型及方法
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接
求方程
求解其轨迹方程
焦点三角 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆
形问题 的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF |＋|PF |＝2a两边平方是常用技巧
1 2
抓住|PF |与|PF |之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF |·|PF |的最
1 2 1 2
求最值
值；利用定义|PF |＋|PF |＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
1 2
[针对训练]
1．(多选)(2021·日照模拟)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F ，F ，且
1 2
cos∠F PF ＝，则( )
1 2
A．△PF F 的周长为12 B．S ＝2
1 2 △PF1F2
C．点P到x轴的距离为 D．PF1·PF2＝2
解析：选BCD 由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF |＋|PF |＝6，于是△PF F 的周
1 2 1 2
长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；
在△PF F 中，由余弦定理可得|F F |2＝|PF |2＋|PF |2－2|PF ||PF |cos∠F PF ＝(|PF |＋|
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
PF |)2－2|PF ||PF |－2|PF |·|PF |cos∠F PF ，
2 1 2 1 2 1 2
所以20＝36－2|PF |·|PF |－|PF ||PF |，解得|PF ||PF |＝6，
1 2 1 2 1 2
故S ＝|PF ||PF |sin∠F PF ＝×6×＝2，故B选项正确；
△PF1F2 1 2 1 2
设点P到x轴的距离为d，则S ＝|F F |·d＝×2d＝2，解得d＝，故C选项正确；
△PF1F2 1 2
PF1·PF2＝|PF1|·|PF2|cos∠F PF ＝6×＝2，故D选项正确．
1 2
2．(2021·惠州调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦
点分别是F ，F ，且△F AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是
1 2 1
________．
解析：由已知得2b＝2，故b＝1，
∴a2－c2＝b2＝1. ①∵△F AB的面积为，∴(a－c)b＝，
1
∴a－c＝2－. ②
由①②联立解得，a＝2，c＝.
由椭圆的定义知|PF |＋|PF |＝2a＝4，
1 2
∴＋＝＝＝，
又2－≤|PF |≤2＋，
1
∴1≤－|PF |2＋4|PF |≤4，∴1≤＋≤4，
1 1
即＋的取值范围是[1,4]．
答案：[1,4]
考点二 椭圆的标准方程
[例1] 过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[解析] 法一：定义法
椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.
法二：待定系数法
设所求椭圆方程为＋＝1(k>－9)，将点(，－)的坐标代入，可得＋＝1，
解得k＝－5，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.
[答案] C
[例2] 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P
为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[解析] 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，
连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C.
[答案] C
[方法技巧] 求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置
待定系
不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2
数法
＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
[针对训练]
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正确
解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求
椭圆的标准方程为＋＝1.
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F ，F 在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF |，|F F |，|PF |成
1 2 1 1 2 2
等差数列，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF |，|
1
F F |，|PF |成等差数列，则|PF |＋|PF |＝2|F F |，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝
1 2 2 1 2 1 2
8，b2＝6.所以椭圆方程为＋＝1.
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆的离心率
[例1] (1)(2021·武汉模拟)已知椭圆方程为＋＝1，且a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比
数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D．
(2)过椭圆C：＋＝1的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若BF＝3FA，
则C的离心率为( )
A. B．
C. D．
[解析] (1)因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因为a，b，ab成等比数列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，椭圆方程为＋＝1，c＝＝，所以
离心率e＝.故选C.
(2)由题意可得B(0，b)，F(－c,0)，
由BF＝3FA，得A，
又点A在椭圆上，则＋＝1，
整理可得·＝，
∴e2＝＝，e＝.故选D.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离
心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒] 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，
否则将产生增根.
考法(二) 求椭圆的离心率的范围
[例2] (1)(2021·湛江模拟)已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，
若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得k ·k ∈，则离心率e的取值范围为( )
PA PB
A. B．
C. D．
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆
C相交于A，B两点．若＋＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是(
)
A. B．
C. D．
[解析] (1)设P(x，y)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x，y)，B(－x， －
0 0 1 1 1
y)，
1
k k ＝×＝.
PA PB
又＋＝1，＋＝1，两式做差，代入上式得k k ＝－∈，故0<<，
PA PB
所以e＝ ∈.
(2)如图所示，设F′为椭圆的左焦点，
连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3.取P(0，b)，
∵点P到直线l：4x－3y＝0的距离不小于，
∴≥，解得b≥2.∴c≤＝，∴0<≤.
∴椭圆E的离心率范围是.故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧] 求椭圆离心率范围的2种方法
方法 解读 适合题型
利用椭圆的几何性质，设P(x，y)为椭圆＋
0 0
＝1(a>b>0)上一点，则|x|≤a，a－c≤|PF | 题设条件有明显的
0 1
几何法
≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何 几何关系
图形的临界情况建立不等关系
根据题目中给出的条件或根据已知条件得
题设条件直接有不
直接法 出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不
等关系
等关系式
考法(三) 与椭圆性质有关的最值或范围问题
[例3] 如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭
圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为( )
A．1 B．2
C．4 D．4
[解析] 设P点坐标为(x，y)．
0 0
由题意知a＝2，∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆方程为＋＝1.∴－2≤x≤2，－≤y≤.
0 0
又F(－1,0)，A(2,0)，
PF＝(－1－x，－y)，PA＝(2－x，－y)，
0 0 0 0
∴PF·PA＝x－x－2＋y＝x－x＋1＝(x－2)2.
0 0 0
当x＝－2时，PF·PA取得最大值4.故选C.
0
[答案] C
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
[提醒] 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、
长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
[针对训练]
1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下述正确的是( )
A．椭圆C的长轴长为10
B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)
C．椭圆C的离心率等于
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝
解析：选ACD ∵16x2＋25y2＝400，∴＋＝1，
∴a＝5，b＝4，c＝3，e＝＝，
∴长轴长2a＝10，故A、C正确，B错误．
对于选项D，|PQ|＝＝，正确．故选A、C、D.
2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，直线l过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得
的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B．
C. D．
解析：选D 直线l的方程为y＝x±c，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦为AB，AB＝2c，
设OC⊥AB，垂足为C，则OC＝＝c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2⇒a2＝2＋c2⇒a2＝c2⇒c
＝a⇒e＝，故选D.
3．已知F ，F 分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F PF 为
1 2 1 2
钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选A 设P(x，y)，由题易知|x|x
0 0 0 1 2
＋y有解，即c2>(x＋y) ，又y＝b2－x，xb2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>，解得e>，又00，n>0，m≠n)，A(x，y)，B(x，y)是椭圆上的两点，
1 1 2 2
把点A(x，y)，B(x，y)代入椭圆方程，
1 1 2 2
得将两式作差并整理得
＋＝0，
记弦AB的中点为M(x，y)，
0 0若x≠x，则＝－，
1 2
即·＝－，
从而k ·＝－，即k ·k ＝－.
AB AB OM
[应用体验]
1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中
点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选D 设AB的中点为M(1，－1)，
则k ·k ＝－，
AB OM
而k ＝k ＝＝，k ＝－1，
AB MF OM
故×(－1)＝－，故a2＝2b2，①
又a2＝b2＋9，②
由①②解得a2＝18，b2＝9，
故椭圆E的方程为＋＝1.
2．如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，
M为AB的中点，则k ·k 的值为( )
AB OM
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
解析：选C 易知k ·k ＝－＝－1＝e2－1.
AB OM
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他
利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭
圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程
为( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 由题意可得解得a＝4，b＝3，
因为椭圆的焦点坐标在y轴上，
所以椭圆方程为＋＝1.
2．(2021·宜昌夷陵中学模拟)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月
球背面成功着陆．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道
飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的
椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕
月飞行，若用e 和e 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则( )
1 2A．e>e
1 2
B．ea>0，c>c>0，且a－c＝a－c.
1 2 1 2 1 1 2 2
令a－c＝a－c＝t，t>0，则a＝t＋c，a＝t＋c.
1 1 2 2 1 1 2 2
所以＝＝＝1＋，
＝＝＝1＋.
因为c>c>0，t>0，所以<，
1 2
所以<，即e>e.故选A.
1 2
3.如图，点A，B分别是椭圆＋＝1(0b>0)的离心率为，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B 因为椭圆的离心率e＝＝，
所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．已知焦点在y轴上的椭圆 ＋＝1的长轴长为8，则m＝( )
A．4 B．8
C．16 D．18
解析：选C 椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，过F 的直线l交C于A，
1 2 2
B两点，若△AF B的周长为4，则C的方程为( )
1
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A ∵△AF B的周长为4，
1
∴由椭圆的定义可知4a＝4，
∴a＝，∵e＝＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程为＋＝1，故选A.
5．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F ，F ，上顶点为A，若
1 2
∠F AF ＝，则m＝( )
1 2
A．1 B．
C. D．2
解析：选C ∵c＝＝1，b＝m，由∠F AF ＝，得∠F AO＝，
1 2 1
∴tan∠F AO＝＝，解得m＝，故选C.
1
6．已知F ，F 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF ⊥PF ，且∠PF F ＝60°，则C的
1 2 1 2 2 1
离心率为( )A．1－ B．2－
C. D．－1
解析：选D 由题设知∠F PF ＝90°，∠PF F ＝60°，|F F |＝2c，所以|PF |＝c，|PF |＝c.由椭
1 2 2 1 1 2 2 1
圆的定义得|PF |＋|PF |＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.
1 2
故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为(
)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．＋y2＝1或＋x2＝1
解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以
若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，
椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
2．设F ，F 分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F P的中点，|OM|＝3，则
1 2 1
P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：选A 连接PF ，由题意知，a＝5，在△PF F 中，|OM|＝|PF |＝3，∴|PF |＝6，∴|PF |＝
2 1 2 2 2 1
2a－|PF |＝10－6＝4.故选A.
2
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆
的离心率为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为
＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.
5．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0|C C |＝6，即P在以C (－3,0)，C (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程
1 2 1 2
为＋＝1.
答案：＋＝1
10．设F ，F 是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF ⊥PF ，若
1 2 1 2
△PF F 的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．
1 2
解析：∵PF ⊥PF ，∴△PF F 为直角三角形，
1 2 1 2
又知△PF F 的面积为9，∴|PF |·|PF |＝9，
1 2 1 2
得|PF |·|PF |＝18.
1 2
在Rt△PF F 中，由勾股定理得|PF |2＋|PF |2＝|F F |2，由椭圆定义知|PF |＋|PF |＝2a，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴(|PF |＋|PF |)2－2|PF ||PF |＝|F F |2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b
1 2 1 2 1 2
＝3，
∵△PF F 的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
1 2
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，
1 2
O是坐标原点，过F 作∠F PF 的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离
2 1 2
心率为________．
解析：如图，延长F A交F P于点M，由题意可知|PM|＝|PF |，
2 1 2
由椭圆定义可知
|PF |＋|PF |＝2a，
1 2
故有|PF |＋|PM|＝|MF |＝2a.连接OA，知OA是△F F M的中位线，
1 1 1 2
∴|OA|＝|MF |＝a，
1
由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即c2＝a2，∴e＝＝.
答案：
12．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，上、下顶点分别为A，B，直线AF 与该椭
1 2 2
圆交于A，M两点．若∠F AF ＝90°，则直线BM的斜率为________．
1 2
解析：∵∠F AF ＝90°，
1 2
∴a＝b，即椭圆方程为＋＝1.设M，A，B，且＋＝1，
即n2－b2＝－，
k k ＝·＝＝＝－，
AM BM
又k ＝－1，∴k ＝.
AM BM
答案：
13．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(00，由题意知y >0.
Q P
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝y ，|BQ|＝.
P
因为|BP|＝|BQ|，所以y ＝1，
P
将y ＝1代入C的方程，解得x ＝3或－3.
P P
由直线BP的方程得y ＝2或8.
Q
所以点P，Q的坐标分别为P(3,1)，Q(6,2)；P(－3,1)，Q(6，8)．
1 1 2 2
|PQ|＝，直线PQ 的方程为y＝x，点A(－5,0)到直线PQ 的距离为，
1 1 1 1 1 1
故△AP Q 的面积为××＝；
1 1
|PQ|＝，直线PQ 的方程为y＝x＋，点A到直线PQ 的距离为，
2 2 2 2 2 2
故△AP Q 的面积为××＝.
2 2
综上，△APQ的面积为.
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 交
1 2 2
椭圆于另一点B.
(1)若∠F AB＝90°，求椭圆的离心率；
1
(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F AB＝90°，则△AOF 为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF |，即b＝c.
1 2 2
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F (－c,0)，F (c,0)，
1 2
其中c＝，设B(x，y)．
由AF2＝2F2B，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由AF1·AB＝(－c，－b)·＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
三、自选练——练高考区分度
1．已知椭圆C的焦点为F (－1,0)，F (1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点，若|AF |＝3|
1 2 2 2
BF |，|BF |＝5|BF |，则C的方程为( )
2 1 2
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.
∵|AF |＝3|BF |，∴|AB|＝4|BF |.
2 2 2
又|BF |＝5|BF |，|BF |＋|BF |＝2a，
1 2 1 2
∴|BF |＝，∴|AF |＝a，|BF |＝a.
2 2 1
∵|AF |＋|AF |＝2a，∴|AF |＝a，
1 2 1
∴|AF |＝|AF |，∴A在y轴上．
1 2
如图所示，在Rt△AF O中，
2
cos∠AF O＝.
2
在△BF F 中，由余弦定理可得
1 2
cos∠BF F ＝＝，
2 1
根据cos∠AF O＋cos∠BF F ＝0，可得＋＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1.
2 2 1
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.故选A.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且
AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率e的取值范围为( )
A. B．(－1,1)
C. D．
解析：选A 如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，则四
边形AFBF′为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝
2csin α，|BF|＝2ccos α，
∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝＝.
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈，
∴sin∈，
∴e∈.故选A.
3.如图所示，A ，A 是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点
1 2
M不与A ，A 重合，点N满足NA ⊥MA ，NA ⊥MA ，则＝( )
1 2 1 1 2 2A．2 B．3
C．4 D．
解析：选A 由题意知A (0,3)，A (0，－3)．
1 2
设M(x，y)，N(x，y)，则直线MA 的斜率为k ＝.
0 0 1 1 1 MA1
由NA ⊥MA ，可得NA 的斜率为k ＝－.
1 1 1 NA1
于是直线NA 的方程为y＝－x＋3. ①
1
同理，NA 的方程为y＝－x－3. ②
2
联立①②消去y，得x＝x＝.
1
因为M(x，y)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y－9＝－，所以x＝－，所以＝＝2.故选A.
0 0 1
