文档内容
第四节 基本不等式
核心素养立意下的命题导向
1.结合作差法，了解基本不等式的证明过程，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素
养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术
平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求和的最值)已知x>0，y>0，xy＝16，则x＋y的最小值为( )
A．32 B．24
C．4 D．8
解析：选D 由基本不等式得x＋y≥2＝8，当且仅当x＝y＝4时等号成立．
2．(求积的最值)若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则的最大值为( )
A．9 B．18
C．36 D．81
解析：选A 由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
3．(基本不等式成立的条件)若x<0，则x＋( )
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D 因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
4．(重要不等式的应用)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，
当且仅当x＝y且xy＝1时等号成立，
所以x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
二、易错点练清
1．(忽视变量的范围)函数f(x)＝2x＋＋1(x<0)的最大值为________．
解析：∵x<0，∴f(x)＝2x＋＋1＝－＋1≤－2 ＋1＝1－2，当且仅当－2x＝－，即x＝－时，等
号成立，∴f(x)的最大值为1－2.
答案：1－2
2．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x≥2时，x＋的最小值为________．
解析：设x＋2＝t，则x＋＝t＋－2.又由x≥2得t≥4，而函数y＝t＋－2在[2，＋∞)上是增函
数，因此当t＝4，即x＝2时，t＋－2即x＋取得最小值，最小值为4＋－2＝3.
答案：3
考点一 利用基本不等式求最值
考法(一) 拼凑法求最值
[例1] (1)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
[解析] (1)f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，
∵x>0，∴x＋1>1，
∴x＋1＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”．
∴f(x)的最小值是5，故选D.
(2)依题意得＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时取等号．因此，＋＋的最小值
为4.
[答案] (1)D (2)4
[方法技巧]
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值
的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系
数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
考法(二) 常数代换法求最值
[例2] (1)已知函数y＝log (x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A.若直线mx＋ny＝2过
a
点A，其中m，n是正实数，则＋的最小值是( )
A．3＋ B．3＋2
C. D．5
(2)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
[解析] (1)由y＝log (x－1)＋2的图象恒过定点A可知A(2,2)．所以2m＋2n＝2，所以m＋n
a
＝1.
又因为m>0，n>0，所以(m＋n)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当n＝m时，取等号．
(2)因为3a＋b＝2ab，所以＋＝1，又a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，当且仅当＝时
取等号，即a＋b的最小值为2＋.
[答案] (1)B (2)2＋
[方法技巧]
1．常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
2．常数代换法求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．
考法(三) 消元法求最值
[例3] 已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当取最小值时，a＋b－c的最大值为(
)
A．2 B.
C. D.
[解析] 根据题意得c＝a2－ab＋4b2，所以＝＝＋－1≥2－1＝3，当且仅当＝，即a＝2b时取
等号，所以a＋b－c＝2b＋b－4b2＋2b2－4b2＝－6b2＋3b＝－62＋，所以当b＝时，a＋b－c取
得最大值，故选C.
[答案] C[方法技巧]
通过消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．
有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
考法(四) 放缩法求最值
[例4] (1)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值是________．
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
[解析] (1)∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，∴()2－2－
3≥0，∴(－3)(＋1)≥0，∴－3≥0，∴≥3，即ab≥9. ∴ab的最小值为9.
(2)∵x>0，y>0，
∴9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·2，
当且仅当x＝3y时等号成立．
设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，
∴(t－6)(t＋18)≥0，
又∵t>0，∴t≥6.
故当x＝3，y＝1时，(x＋3y) ＝6.
min
[答案] (1)9 (2)6
[方法技巧]
放缩法解不等式求最值的方法
将所给代数式，利用基本不等式放大或缩小，构造出所求最值的代数式的结构，然后通过解
不等式求出代数式范围，从而求出代数式的最值．
考点二 基本不等式在实际问题中的应用
[典例] 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材
料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的
比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为 28 800 cm2，设该铝合金窗的
宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.
(1)试用a，b表示S；
(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
[解] (1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，
∴ab＝28 800. ①
设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，
则3h＋18＝b，∴h＝，
∴透光部分的面积S＝(a－18)×＋(a－12)×＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28
800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．(2)∵9a＋8b≥2＝2＝2 880，当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝160，从
而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．
∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大．
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型题目的题干往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转
化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等
式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
[针对训练]
经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x
＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产
该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销
售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，即x＝3－，
每1万件产品的销售价格为1.5×(万元)，
∴2021年的利润y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝28－－m(m≥0)．
∴利润y表示为年促销费用的函数关系式是y＝28－－m(m≥0)．
(2)由(1)知y＝－＋29(m≥0)．
∵当m≥0时，＋(m＋1)≥2 ＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时取等号．
∴y≤－8＋29＝21，
即当m＝3时，y取得最大值21.
∴当该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．
考点三 基本不等式的综合应用
[典例] (1)如图，在△ABC中，CM＝2MB，过点M的直线分别交射
线AB，AC于不同的两点P，Q，若AP＝mAB，AQ＝nAC，则mn＋m的
最小值为( )
A．2 B．2
C．6 D．6
(2)已知x>0，y>0，且＝1，不等式＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是________．[解析] (1)连接AM，由已知可得AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝
AP＋AQ.因为P，M，Q三点共线，所以＋＝1，所以mn＋m＝＋m＝＋＝＝＋＋≥＋2 ＝2，当
且仅当＝，即m＝n＝1时取等号，
所以mn＋m的最小值为2.故选A.
(2)不等式＋≥m恒成立可转化为 ≥m.
min
由＝1，得2y＋3x＝xy，即＋＝1.
因为x>0，y>0，所以＋＝＝＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当即时取等号，所以 ＝4.
min
故实数m的取值范围是(－∞，4]．
[答案] (1)A (2)(－∞，4]
[方法技巧]
基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：
(1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基
本不等式求解，这是难点；
(2)要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式；
(3)检验等号是否成立，完成后续问题．
[针对训练]
1.如图，三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝2，设点
K是△ABC内一点，现定义f(K)＝(x，y，z)，其中x，y，z分别是三棱锥K-
PAB，KPBC，KPAC的体积，若f(K)＝，则的最小值为________．
解析：由定义得a＋＋b＝×2×，∴a＋b＝1.∴＝＋＝(a＋b)＝4＋＋≥4
＋2 ＝4＋2(当且仅当b＝a时取等号)，即最小值为2＋4.
答案：2＋4
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于
点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
解析：依题意画出图形，如图所示．
∵S ＋S ＝S ，∴csin 60°＋asin 60°＝acsin 120°，
△ABD △BCD △ABC
∴a＋c＝ac，∴＋＝1，
∴4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥2 ＋5＝9.当且仅当2a＝c且＋＝1，即a＝
且c＝3时取等号．故4a＋c的最小值为9.
答案：9一、创新思维角度——融会贯通学妙法
“1的代换”的妙用
1．若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．
解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，
所以＋＝＋＝＋＋4≥2 ＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，
所以＋的最小值是8.
答案：8
2．已知a＞0，b＞0，且＋＝1，则3a＋2b＋的最小值为________．
解析：∵a＞0，b＞0，且＋＝1，∴3a＋2b＋＝3a＋2b＋＝5＋＋≥5＋2＝11，当且仅当a＝b＝2
时取等号，∴3a＋2b＋的最小值为11.
答案：11
3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.
解析：由题意知，(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°.
因为tan 45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
所以tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°.
所以(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2
“1”的代换是通过在实际解题中，恰当运用“1”的整体性进行代换，结合相应的定理、公式，
进而达到迅速解题的目的，常在不等式及三角函数中应用．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将
5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放
在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾
客，你认为顾客购得的黄金( )
A．大于10 g B．大于等于10 g
C．小于10 g D．小于等于10 g
解析：选A 由于天平两臂不等长，
可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，
再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，∴x＝，y＝，
∴x＋y＝＋＝5≥5×2＝10，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10，因此，顾客购得的黄金大于10 g.
2．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆
数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：
米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
解析：(1)当l＝6.05时，F＝＝≤＝1 900，
当且仅当
v
＝，即
v
＝11时取等号．
∴最大车流量F为1 900辆/小时．
(2)当l＝5时，F＝＝，
∴F≤＝2 000，
当且仅当
v
＝，即
v
＝10时取等号．
∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/小时．
答案：(1)1 900 (2)100
3．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为
________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.
又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时取等号，
故函数f(x)的最小值为3.
答案：1 3
4．已知<α<，<β <，且sin2αsin2β＝sin(α＋β)cos αcos β，则tan(α＋β)的最大值为________．
解析：因为sin2αsin2β＝sin(α＋β)cos αcos β，
所以tan αtan βsin αsin β＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
所以tan αtan β＝＋＝，
所以tan α＋tan β＝(tan αtan β)2.
因为<α<，<β<，所以tan αtan β>1，tan(α＋β)＝＝＝－(tan αtan β－1)＋－2≤－2－2＝－4，
当且仅当tan αtan β－1＝，即tan αtan β＝2时取等号，所以tan(α＋β)的最大值为－4.
答案：－4一、基础练——练手感熟练度
1．(2021·豫北重点中学联考)设a>0，则a＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．5
解析：选D a＋＝a＋1＋≥1＋2 ＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.
2．设x为实数，则“x<0”是“x＋≤－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若x<0，则－x>0，x＋＝－(－x)＋≤－2，∴“x<0”是“x＋≤－2”的充分条件；
若x＋≤－2，则≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋≤－2”的必要条件．综上，“x<0”是“x＋≤
－2”的充要条件．故选C.
3．(2021·沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
解析：选D 对于选项A，当x>0时，y＝x＋≥2 ＝2；当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合题意．
对于选项B，由于00，b>0，且a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴ab有最大值，∴A正确．
∵(＋)2＝a＋b＋2≤a＋b＋2×＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴＋≤，即＋有最大值，B错误．
∵＋＝≥＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴＋有最小值4，∴C正确．
∵a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，
∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误，故选A、C.
5．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
解析：选C 设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以
当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
6．若x>1，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5
二、综合练——练思维敏锐度
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D 由1＝2x＋2y≥2，变形为2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y
的取值范围是(－∞，－2]．
2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取
等号，故选B.
法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
故选B.
3．已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A．16 B．9
C．5 D．4
解析：选A ∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当
＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立，故选A.
4．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A．1 B．3
C．6 D．12
解析：选B ∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥ 2 ＝3，当且仅当＝，即x＝1
时取等号．故选B.
5．若log (3a＋4b)＝log ，则a＋b的最小值是( )
4 2
A．7＋2 B．6＋2
C．7＋4 D．6＋4
解析：选C 由题意得＝，∴3a＋4b＝ab，∴＋＝1(a>0，b>0)．
∴a＋b＝(a＋b)＝4＋3＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当a＝2b时取等号．故选C.
6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A. B.C．8 D．24
解析：选C 因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝(2x＋3y)＝12＋＋≥
＝8，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为8，故选C.
7．已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边分别为a，b，c，则＋的最小值
为( )
A．2 B．2＋
C．4 D．2＋2
解析：选D 因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
8．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m
的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
解析：选D 因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立．
由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，
令f(x)＝x2－4x－2，
则f(x)＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
9．实数x，y满足|x＋y|＋|x－y|＝2，若z＝4ax＋by(a>0，b>0)的最大值为1，则＋有( )
A．最大值9 B．最大值18
C．最小值9 D．最小值18
解析：选C 根据|x＋y|＋|x－y|＝2，可得点(x，y)满足的图形是以A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－
1)，D(1，－1)为顶点的正方形，可知x＝1，y＝1时，z＝4ax＋by取得最大值，故4a＋b＝1，所
以＋＝(4a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．故＋有最小值9.故选C.
10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是
________．
解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝
(a·2b)≤2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故ab的最大值是.
答案：
11．若关于x的不等式x＋≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：∵x＋＝x－a＋＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由x>a可得x－a>0.
则(x－a)＋≥2 ＝4，当且仅当x－a＝2即x＝a＋2时，上式取得最小值4，又∵x－a＋≥5－a
在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1.
答案：1
12．已知函数 f(x)＝(a∈R)，若对于任意的 x∈N*，f(x)≥3恒成立，则 a的取值范围是
__________．
解析：对任意x∈N*，f(x)≥3，
即≥3恒成立，即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，
当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，
∵g(2)>g(3)，∴g(x) ＝.∴－＋3≤－，
min
∴a≥－，故a的取值范围是.
答案：
13．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋＋.当x＜时，有3－2x＞0，∴＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即x＝－
时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，
∴y＝＝·≤ ·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
14．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：
千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：(1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]
.
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，即x＝18时等号成立．
故当x＝18千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．三、自选练——练高考区分度
1．已知函数f(x)＝log (x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线＋＝－2(m＞0，n＞
a
0)也经过点A，则3m＋n的最小值为( )
A．16 B．8
C．12 D．14
解析：选B 由题意，函数f(x)＝log (x＋4)－1(a＞0且a≠1)，令x＋4＝1，可得x＝－3，代入
a
可得y＝－1，
∴图象恒过定点A(－3，－1)．∵直线＋＝－2(m＞0，
n＞0)也经过点A，∴＋＝2，即＋＝1.∴3m＋n＝(3m＋n)＝＋＋＋≥2 ＋5＝8(当且仅当n＝
m＝2时，取等号)，∴3m＋n的最小值为8.
2．若实数x，y满足x2y2＋x2＋y2＝8，则x2＋y2的取值范围为( )
A．[4,8] B．[8，＋∞)
C．[2,8] D．[2,4]
解析：选A ∵x2y2≤，∴x2y2＋x2＋y2＝8≤＋(x2＋y2)(x2＝y2＝2时取等号)，
(x2＋y2－4)(x2＋y2＋8)≥0，∴x2＋y2≥4，
又x2y2≥0，∴x2＋y2≤8，∴x2＋y2∈[4,8]．
3.某县一中计划把一块边长为 20米的等边△ABC的边角地开辟为植物
新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB
上，E在AC上．
(1)设AD＝x(x≥10)，ED＝y，使用x表示y的函数关系式；
(2)如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值．
解：(1)∵△ABC的边长是20米，D在AB上，
则10≤x≤20，S ＝S ，
△ADE △ABC
∴x·AEsin 60°＝··202，故AE＝.
在△ADE中，由余弦定理得，y＝ (10≤x≤20)．
(2)若DE作为输水管道，则需求y的最小值，
∴y＝ ≥＝10，
当且仅当x2＝即x＝10米时“＝”成立，
∴DE的位置应该在AD＝10，AE＝10米处，
且DE的最小值为10米．
