文档内容
第四章 平面向量综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5分）（2024·广西柳州·一模）对于非零向量⃗a，⃗b，“⃗a+⃗b=0⃗”是“⃗a//⃗b”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据相反向量一定是共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解.
【解答过程】对于非零向量⃗a，⃗b，因为⃗a+⃗b=0⃗，
所以⃗a=−⃗b，则⃗a//⃗b，
即“⃗a+⃗b=0⃗”能推出⃗a//⃗b ，
但当 时， ，显然 不一定成立，
⃗a//⃗b ⃗a=λ⃗b(λ≠0) ⃗a+⃗b=0⃗
所以“⃗a+⃗b=0⃗”是“⃗a//⃗b”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（5分）（2024·广东·模拟预测）已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若
⃗DF=3⃗EF，则⃗AF=（ ）
1 3 1 5
A． ⃗AB+ ⃗AC B． ⃗AB+ ⃗AC
2 4 2 6
1 1 3
C． ⃗AB+⃗AC D． ⃗AB+ ⃗AC
2 2 2【解题思路】取 为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.
{⃗AC,⃗AB}
【解答过程】在 中，取 为基底，
△ABC {⃗AC,⃗AB}
因为点D,E分别为AB,BC的中点，⃗DF=3⃗EF，
1 1
所以⃗EF= ⃗DE= ⃗AC，
2 4
1 1 1 3
所以⃗AF=⃗AE+⃗EF= (⃗AB+⃗AC)+ ⃗AC= ⃗AB+ ⃗AC.
2 4 2 4
故选：A.
3．（5分）（2025·安徽合肥·一模）已知向量→ → →，满足→ → → →，且 → ， → ， → ，
a,b,c a+b+c=0 |a|=1 |b|=2 |c|=√3
则→与→的夹角为（ ）
a b
π π 5π 2π
A． B． C． D．
6 3 6 3
【解题思路】利用向量的数量积公式计算得到→ → ，从而得到→与→的夹角.
a⋅b=−1 a b
【解答过程】 → → → →，
∵ a+b+c=0
→ → →，且 → ， → ， → ，
∴ a+b=−c |a|=1 |b|=2 |c|=√3
→ → → → → ， → → ，
∴ b2+a2+2a⋅b=c2 4+1+2a⋅b=3
→ → ，
∴ a⋅b=−1→ →
→ → a·b 1 → →
∴ cos=
→ →
=−
2
，且 ∈[0,π] ，
|a||b|
→ → 2π
→ →
2π
∴ = ，即 与 的夹角为 .
a b
3 3
故选:D.
4．（5分）（2024·重庆·一模）已知平面向量 ，且 ，则 的值为（ ）
⃗a=(1,−2),⃗b=(4,−3) (λ⃗a+⃗b)⊥⃗a λ
2
A．−2 B．− C．2 D．6
3
【解题思路】由题意可得λ⃗a2+⃗b·⃗a=0，利用向量的数量积的坐标表示可求得λ的值.
【解答过程】因为 ，所以 ，所以 ，
(λ⃗a+⃗b)⊥⃗a (λ⃗a+⃗b)·⃗a=0 λ⃗a2+⃗b·⃗a=0
又因为 ，所以 ，解得 .
⃗a=(1,−2),⃗b=(4,−3) 5λ+10=0 λ=−2
故选：A.
5．（5分）（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
⃗e ⃗e ⃗AB=⃗e +2⃗e
1 2 1 2
， ，则（ ）
⃗BC=−3⃗e +2⃗e ⃗DA=3⃗e −6⃗e
1 2 1 2
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
【解题思路】根据向量 共线则 判断即可.
⃗a,⃗b ⃗a=λ⃗b(λ∈R)
【解答过程】对A，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三
⃗AB=⃗e +2⃗e ⃗BC=−3⃗e +2⃗e λ ⃗AB=λ⃗BC A B C
1 2 1 2
点不共线，故A错误；
对B，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，故
⃗AB=⃗e +2⃗e ⃗DA=3⃗e −6⃗e λ ⃗AB=λ⃗DA A B D
1 2 1 2
B错误；
2
对C，因为⃗AC=⃗AB+⃗BC=−2⃗e +4⃗e ，⃗DA=3⃗e −6⃗e ，则⃗AC=− ⃗DA，故A、C、D三点共线，故
1 2 1 2 3
C正确；
对D，因为 ， ，不存在实数
⃗BC=−3⃗e +2⃗e ⃗BD=−⃗DA−⃗AB=⃗DA=−3⃗e +6⃗e −⃗e −2⃗e =−4⃗e +4⃗e
1 2 1 2 1 2 1 2λ使得⃗BC=λ⃗BD，故B、C、D三点不共线，故D错误.
故选：C.
π
6．（5分）（2025·黑龙江·模拟预测）若向量⃗a，⃗b满足|⃗a−⃗b|=1，|⃗a+2⃗b|=√3，⃗a，⃗b的夹角为 ，则
2
（ ）
|⃗b|=
1 √3 2 √6
A． B． C． D．
3 3 3 3
【解题思路】由题知 ，将 和 两边同时平方后，解方程组即可求得 .
⃗a·⃗b=0 |⃗a−⃗b|=1 |⃗a+2⃗b|=√3 |⃗b|
π
【解答过程】∵⃗a，⃗b的夹角为 ， ∴⃗a·⃗b=0.
2
， ，
∵|⃗a−⃗b|=1 |⃗a+2⃗b|=√3
∴|⃗a−⃗b| 2 =(⃗a−⃗b) 2 =⃗a2+⃗b2−2⃗a·⃗b=⃗a2+⃗b2=1 ，
|⃗a+2⃗b| 2 =(⃗a+2⃗b) 2 =⃗a2+4⃗b2+4⃗a·⃗b=⃗a2+4⃗b2=3 ，
√6
解得¿，∴|⃗b|= .
3
故选：D.
7．（5分）（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力F ,F ,F 作用于一点，且处于平衡状态.若
1 2 3
√6−√2
|F |=1N,|F |= N,F 与F 的夹角为45°，则F 与F 夹角的余弦值为（ ）
1 2 2 1 2 3 1
√6+√2 √6+√2 √6−√2 √6−√2
A．− B． C．− D．
4 4 4 4
【解题思路】根据 ⃗F +⃗F +⃗F =0⃗,先求得 |⃗F |=|⃗F +⃗F | ，再由 |⃗F |= √|⃗F | 2 +|⃗F | 2 +2|⃗F ||⃗F |cosθ ，即可
1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3
求解.
【解答过程】∵三个力平衡，
∴ ，
⃗F +⃗F +⃗F =0⃗
1 2 3
∴ |⃗F |=|⃗F +⃗F |= √|⃗F | 2 +2⃗F ⋅⃗F +|⃗F | 2 = √ 12+2×1× √6−√2 cos45°+ (√6−√2) 2 =√2 .
3 1 2 1 1 2 2 2 2设⃗F 与⃗F 的夹角为 θ ，则 |⃗F |= √|⃗F | 2 +|⃗F | 2 +2|⃗F ||⃗F |cosθ ，
3 1 2 1 3 1 3
√6−√2
即 =√12+√2 2+2×1×√2cosθ，
2
√6+√2
解得cosθ=−
4
故选：A.
8．（5分）（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A ,A ,⋯,A 的边上，点M在边A A 上，
1 2 8 1 2
则 的取值范围是（ ）
⃗A M⋅⃗A N
1 1
A．[−4−2√2,2√2] B．[−4,4+2√2]
C．[−2√2,4+2√2] D．[−2√2,4]
【解题思路】以 为原点，建立平面直角坐标系，表示出点 的坐标，计算 即可.
A M、N ⃗A M⋅⃗A N
1 1 1
【解答过程】以A 为原点， A A 为x轴，A A 为y轴建立平面直角坐标系，
1 1 2 1 6
设 ，则 ，
N(x ,y ),M(x ,0) ⃗A M=(x ,0),⃗A N=(x ,y )
1 1 2 1 2 1 1 1
所以 ，
⃗A M⋅⃗A N=x x
1 1 1 2
π
由于正八边形的每个外角都为 ；
4则 ，
x ∈[0,2],x ∈[−√2,2+√2]
2 1
所以 .
⃗A M⋅⃗A N=x x ∈[−2√2,4+2√2]
1 1 1 2
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·陕西西安·一模）下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．设 ， 为非零向量，若 ，则
⃗a ⃗b |⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b| ⃗a⊥⃗b
B．设⃗a，⃗b为非零向量，若⃗a⋅⃗b>0，则⃗a,⃗b的夹角为锐角
C．设 ， ， 为非零向量，则
⃗a ⃗b ⃗c (⃗a⋅⃗b)⋅⃗c=⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)
D．若点G为△ABC的外心，则⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗
【解题思路】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D.
【解答过程】对于A，若|⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b|，
则 ，可得 ，
(⃗a+⃗b) 2 =(⃗a−⃗b) 2 ⃗a⋅⃗b=0
又⃗a，⃗b为非零向量，所以⃗a⊥⃗b，A正确；
对于B，若⃗a⋅⃗b>0，且⃗a，⃗b为非零向量，
所以⃗a，⃗b夹角为锐角或者同向，B错；
对于C， 与 共线， 与 共线，C错；
(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c ⃗c ⃗a⋅(⃗b⋅⃗c) ⃗a
对于D，若点G为△ABC的重心，
延长BG交AC于O，可得O为AC中点，
1
即有⃗BG=2⃗GO=2⋅ (⃗GC+⃗GA)=⃗GC+⃗GA，
2
即有⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗，
而G为△ABC的外心，与重心性质不符，D错.故选：BCD.
10．（6分）（2025·河北邯郸·二模）已知向量 ， ，则（ ）
⃗a=(x−1,x−2) ⃗b=(x−2,2)
A．“x=−1”是“⃗a⊥⃗b”的必要不充分条件
B．“x=2”是“⃗a⊥⃗b”的充分不必要条件
C．“x=3−√3”是“⃗a//⃗b”的充分不必要条件
D．“x=−3+√3”是“⃗a//⃗b”的必要不充分条件
【解题思路】先根据 向量垂直得出x=2或x=−1即可判断A，B，再根据向量平行计算得出x=3±√3即可
判断C，D.
【解答过程】若 ，则 ，
⃗a⊥⃗b ⃗a⋅⃗b=(x−1)(x−2)+2(x−2)=(x−2)(x+1)=0
解得x=2或x=−1，“x=−1”是“⃗a⊥⃗b”的充分不必要条件,所以A选项不正确，
结合A的分析知，“x=2”是“⃗a⊥⃗b”的充分不必要条件，B选项正确；
若 ，则 ，即 ，
⃗a//⃗b 2(x−1)−(x−2) 2=0 x2−6x+6=0
解得x=3±√3，“x=3−√3”是“⃗a//⃗b”的充分不必要条件，所以C选项正确，
由C的分析知，“x=−3+√3”是“⃗a//⃗b”的既不充分也不必要条件，D选项不正确，
故选：BC.
1
11．（6分）（2024·四川眉山·一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，⃗BD= ⃗BC，点P在以CD
3
为直径的半圆上（含端点），设⃗AP=x⃗AB+ y⃗AC，则（ ）
1 2
A．y的值不可能大于1 B．⃗AD= ⃗AC+ ⃗AB
3 3
1
C．⃗AP⋅⃗AB的最小值为 D．⃗AP⋅⃗AB的最大值为1
3
【解题思路】对于A，利用反例，结合平面向量的基本定理，作平行四边形，可得答案；对于B，根据等边三角形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案；对于C、D，利用平面向量的线性运算，整
理所求数量积仅仅只有一个变量，根据三角函数的值域，可得答案.
【解答过程】对于A选项，过点P作PC //AB交AC延长线于C ，
1 1
过点P作PB //AC交AB于B ，作图如下：
1 1
在平行四边形 中， ，由 ，则 ，故A选项错
AB PC ⃗AP=⃗AB +⃗AC =x⃗AB+ y⃗AC |⃗AC |>|⃗AC| y>1
1 1 1 1 1
误；
1 1 1 2
对于B选项，⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC−⃗AB)= ⃗AC+ ⃗AB，故B正确；
3 3 3 3
对于C、D选项，取线段CD中点E，连接AE，PE，作图如下：
⃗AP⋅⃗AB=⃗AB⋅(⃗AE+⃗EP)=⃗AB⋅(⃗AC+⃗CE+⃗EP)=⃗AB⋅⃗AC+⃗AB⋅⃗CE+⃗AB⋅⃗EP，
1 1
在等边三角形ABC中，易知⃗CE= ⃗CB，所以⃗AB⋅⃗AC=1×1×cos60°= ，
3 2
1 1 1 1 2
⃗AB⋅⃗CE=1× ×cos60°= ，则⃗AP⋅⃗AB= + +⃗AB⋅⃗EP= +⃗AB⋅⃗EP，
3 6 2 6 3
[ 2π] 1 [ 1 1]
设⃗AB与⃗EP的夹角为θ，易知θ∈ 0, ，则⃗AB⋅⃗EP=1× ⋅cosθ∈ − , ，
3 3 6 3
[1 ]
所以⃗AB⋅⃗AP∈ ,1 ，故C选项错误，D选项正确.
2
故选：BD.第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12．（5分）（2025·上海·模拟预测）已知⃗a=(2,1),⃗b=(1,x) ，若 ⃗a∥⃗b，则x= ．
2
【解题思路】由平面向量共线的坐标表示即可求解.
1
【解答过程】由⃗a∥⃗b得2x−1=0，解得x= .
2
1
故答案为： .
2
13．（5分）（2025·江西新余·一模）已知向量 ，若 与 是共
⃗a=(1,−2),⃗b=(−1,1),⃗c=(−2,m) ⃗b+⃗c ⃗a+3⃗b
1
线向量，则实数m= .
2
【解题思路】由向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示列方程求参数即可.
【解答过程】由题设 ， ，且两向量共线，
⃗b+⃗c=(−3,m+1) ⃗a+3⃗b=(−2,1)
−2 1 1
所以 = ，则m= .
−3 m+1 2
1
故答案为： .
2
14．（5分）（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F在BC上且
√2
CF=2FB，AF与DE交于点M，则cos∠DMF= − ．
10
1 1
【解题思路】设⃗AB=⃗a,⃗AD=⃗b，利用平面向量基底表示以及线性运算可得⃗AF=⃗a+ ⃗b、⃗DE= ⃗a−⃗b，
3 2
结合数量积的运算律、定义和诱导公式计算即可.1 1 1
【解答过程】设⃗AB=⃗a,⃗AD=⃗b，则⃗AF=⃗AB+⃗BF=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ ⃗AD=⃗a+ ⃗b，
3 3 3
1 1
⃗DE=⃗AE−⃗AD= ⃗AB−⃗AD= ⃗a−⃗b，
2 2
设正方向边长为6，则 ，
|⃗a|=|⃗b|=6,⃗a⋅⃗b=0
1 1
( ⃗a−⃗b)⋅(⃗a+ ⃗b)
⃗DE⋅⃗AF 2 3
所以cos∠EMF=cos⟨⃗DE,⃗AF⟩= =
|⃗DE||⃗AF| |1 || 1 |
⃗a−⃗b ⃗a+ ⃗b
2 3
1 1
⃗a2− ⃗b2
2 3 6 √2
= = = ，
√1 √ 1 3√5⋅2√10 10
⃗a2+⃗b2 ⃗a2+ ⃗b2
4 9
√2
所以cos∠DMF=cos(π−∠EMF)=−cos∠EMF=− .
10
√2
故答案为：− .
10
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形ABCDEF的中心，写出满足条件的向量.
(1)与⃗OA相等的向量；
(2)与⃗OB相等的向量；
(3)与⃗OC的模相等且平行的向量（除⃗OC外）.
【解题思路】根据向量相等的定义直接求解即可.
【解答过程】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以⃗OA=⃗DO=⃗EF=⃗CB；
（2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以⃗OB=⃗EO=⃗FA=⃗DC
（3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以⃗AB、⃗ED、 ⃗FO、⃗CO、⃗BA、⃗DE、⃗OF.
16．（15分）（2024·四川德阳·一模）平面向量⃗e ，⃗e 满足
1 2π
|⃗e |=|⃗e |=1,⟨⃗e ,⃗e ⟩= ,⃗a=⃗e +t⃗e ,⃗b=t⃗e +⃗e
1 2 1 2 2 1 2 1 2
(1)若⃗b在⃗a上的投影向量恰为⃗a的相反向量，求实数t的值；
(2)若 为钝角，求实数t的取值范围．
⟨⃗a,⃗b⟩
【解题思路】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可；
（2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可.
⃗a⋅⃗b ⃗a
【解答过程】（1）由题意得 ⋅ =−⃗a，
|⃗a| |⃗a|
则⃗a⋅⃗b ，即 ，
=−1 ⃗a⋅⃗b=−|⃗a|2
|⃗a|2
π
因为|⃗e |=|⃗e |=1,⟨⃗e ,⃗e ⟩= ，则⃗e ⋅⃗e =0，
1 2 1 2 2 1 2
所以 ，
⃗a⋅⃗b=(⃗e +t⃗e )⋅(t⃗e +⃗e )=t⃗e 2+(t2+1)⃗e ⋅⃗e +t⃗e 2=2t
1 2 1 2 1 1 2 2
，
|⃗a|2=(⃗e +t⃗e ) 2=⃗e 2+2t⃗e ⋅⃗e +t2 ⃗e 2=1+t2
1 2 1 1 2 2
所以 ，解得 .
2t=−(1+t2) t=−1
（2）由（1）知，⃗a⋅⃗b=2t，
因为 为钝角，所以 ，即 ，
⟨⃗a,⃗b⟩ ⃗a⋅⃗b=2t<0 t<0
若 共线，设 ，即
⃗a,⃗b ⃗a=λ⃗b ⃗e +t⃗e =λ(t⃗e +⃗e )
1 2 1 2
则¿，解得λ=t=1或λ=t=−1，
要使 为钝角，则 且 ，
⟨⃗a,⃗b⟩ t<0 t≠−1
即实数t的取值范围为(−∞,−1)∪(−1,0)．
17．（15分）（2024·天津河北·模拟预测）已知向量 ， ， ．
⃗a=(3,4) ⃗b=(1,x) ⃗c=(1,2)
(1)若 ，求 的值；
⃗a⊥⃗b |⃗b|
(2)若 ，求向量 与 的夹角的余弦值．
⃗c∥(⃗a−2⃗b) ⃗a−2⃗b ⃗a
【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求x，再代入模的公式，即可求解；（2）首先根据两向量平行求x，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
3
【解答过程】（1）由 ⃗a⊥⃗b，得3+4x=0，解得x=− ，
4
∴⃗b= ( 1,− 3)，则 |⃗b|= √ 12+ ( − 3) 2 = 5．
4 4 4
（2）由题意 ，
⃗a−2⃗b=(1,4−2x)
又 ， ，解得 ，
⃗c∥(⃗a−2⃗b) ∴1×2−1×(4−2x)=0 x=1
则 ， ， ，
⃗a−2⃗b=(1,2) |⃗a−2⃗b|=√12+22=√5 |⃗a|=√32+42=5
∴cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a⟩=
(⃗a−2⃗b)⋅⃗a
=
1×3+2×4
=
11√5，
|⃗a−2⃗b||⃗a| √5×5 25
11√5
即向量⃗a−2⃗b与⃗a的夹角的余弦值为 ．
25
18．（17分）（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，
2π
∠ADC= ，E为CD中点，且⃗AF=λ⃗AD(0≤λ≤1)，.设⃗AB=⃗a，⃗AD=⃗b.
3
1
(1)当λ= 时，用⃗a，⃗b表示⃗AE，⃗BF；
2
(2)若⃗AN⊥⃗BN，求实数λ的值；
(3)求⃗BF⋅⃗FE的取值范围.
【解题思路】（1）由向量的线性运算求解即可.
（2）将问题转化为⃗AE⊥⃗BF，利用向量垂直关系求解即可；
1
（3）由于⃗FE=(1−λ)⃗b+ ⃗a，则⃗BF⋅⃗FE=−16λ2+22λ−6，结合二次函数的最值问题求解即可.
2
1 1
【解答过程】（1）⃗AE= ⃗a+⃗b ⃗BF= ⃗b−⃗a.
2 2
（2）若⃗AN⊥⃗BN，则⃗AE⊥⃗BF，1 π
因为⃗AE= ⃗a+⃗b，⃗BF=λ⃗b−⃗a，⃗a⋅⃗b=2×4×cos =4，
2 3
则⃗AE⋅⃗BF= (1 ⃗a+⃗b ) (λ⃗b−⃗a)=2λ−2+16λ−4=18λ−6=0，
2
1
所以λ= .
3
1
（3））由题可得：⃗FE=(1−λ)⃗b+ ⃗a ，
2
[ 1 ]
⃗BF⋅⃗FE=(λ⃗b−⃗a) (1−λ)⃗b+ ⃗a =−16λ2+22λ−6 ，
2
11 25
∵0≤λ≤1，当λ= 时，⃗BF⋅⃗FE的最大值为 ，
16 16
当λ=0时，最小值为−6，
[ 25]
所以⃗BF⋅⃗FE∈ −6, .
16
19．（17分）（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AB的中点，
点F在线段BD上且是靠近B点的一个三等分点，AF交ED于点G，EC交AD于点O．
(1)用⃗AB和⃗AD表示⃗AF；
(2)若⃗EG=λ⃗ED，求实数λ；
(3)过点O的直线与边AB，BC分别交于点S，T，设四边形DEST的面积为S ，梯形AEDC的面积为S ，
1 2
求S 的最小值．
1
S
2
1
【解题思路】（1）根据⃗BF= ⃗BD及⃗AF=⃗AB+⃗BF即可求解；
3
4 1 5
（2）设⃗AF=t⃗AG，可得⃗AG= ⃗AE+ ⃗AD，根据G,E,D三点共线可求t= ，又根据
3t 3t 3
⃗AG=(1−λ)⃗AE+λ⃗AD，即可得实数λ的值；
1 1
（3）设⃗BS=x⃗BA,⃗BT= y⃗BC，可得O是△ABC的中心，故⃗BO= ⃗BS+ ⃗BT，根据S,O,T三点共
3x 3 y1
xy−
1 1 S 4 1 1
线，得 + =3.由S =S −S ，S =S −S ，可得 1= ，根据 + =3及基本不等
x y 2 △ABC △BED 1 △BST △BED S 3 x y
2
4
式求出xy的最小值，从而可求解.
1
【解答过程】（1）由题意可得⃗BF= ⃗BD，
3
1 1 2 1
所以⃗AF=⃗AB+⃗BF=⃗AB+ ⃗BD=⃗AB+ (⃗AD−⃗AB) = ⃗AB+ ⃗AD.
3 3 3 3
2 1
（2）设⃗AF=t⃗AG，由（1）得⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD，
3 3
2 1 4 1
所以t⃗AG = ⃗AB+ ⃗AD= ⃗AE+ ⃗AD,
3 3 3 3
4 1
即⃗AG= ⃗AE+ ⃗AD.
3t 3t
4 1 5
因为G,E,D三点共线，所以 + =1，解得t= ,
3t 3t 3
4 1
所以⃗AG= ⃗AE+ ⃗AD，
5 5
又 .
⃗AG=⃗AE+⃗EG=⃗AE+λ⃗ED=⃗AE+λ(⃗AD−⃗AE)=(1−λ)⃗AE+λ⃗AD
1
所以¿，解得λ= .
5
（3）设⃗BS=x⃗BA,⃗BT= y⃗BC(x>0,y>0)，
因为D,E分别是BC,AB的中点，所以O是△ABC的重心，
1 1 1 1
所以⃗BO= ⃗BA+ ⃗BC= ⃗BS+ ⃗BT.
3 3 3x 3 y
1 1 1 1
因为S,O,T三点共线，所以 + =1，即 + =3.
3x 3 y x y
3 ( 1)
所以S =S −S = S ，S =S −S = xy− S ，
2 △ABC △BED 4 △ABC 1 △BST △BED 4 △ABC
1
xy−
S 4
所以 1= .
S 3
2
4
1 1 x+ y
因为 + =3，所以 =3，即x+ y=3xy≥2√xy,
x y xy4 2
所以xy≥ ，当且仅当x= y= 时等号成立，
9 3
4 1
−
( S ) 9 4 7
所以 1 = = .
S 3 27
2 min
4
