文档内容
第四章：三角函数（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．若 ， ，则 （ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】由倍角余弦公式、平方关系求得 ， ，进而有 ，再应用诱导公式、
弦化切求目标式的值.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 .
故选：C
2．将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则
（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 在 上的最小值为 D．直线 是 图象的一条对称轴
【答案】D【分析】由平移变换内容得 可判断A；求出 的增区间可判断B；依据 的范
围即可求出 的值域即可判断C；根据对称轴方程求解 的对称轴方程即可判断D.
【详解】对于选项A，由题意，可得 ，
故A错误；
对于选项B，令 ， ，
所以 在 上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为 ，所以 ，故 ，
在 上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数 的对称轴方程为 ，
化简可得 ，取 ，可得 ，
所以 是 图象的一条对称轴，故D正确.
故选：D.
3．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率 约等于 ，和 相比，其误差小
于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知 的近似值还可以表示成 ，则
的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 代入 ，结合三角恒等变换化简可得结果.
【详解】将 代入 ，可得
.
故选：C.
4．将函数 的图象向右平移 （ ）个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短
到原来的 ，得到函数 的图象．若 的图象关于点 中心对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象平移写出 解析式，结合对称中心列方程求参数 的表达式，即可得最小值.
【详解】令 ，
图象向右平移 （ ）个单位长度，则 ，
再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的 ，则 ，
又 的图象关于点 中心对称，则 ，
所以 ，则 ，又 ，故 .
故选：A
5．函数 （ ， ）的部分图象如图所示， 的图象与y轴交于M点，与x轴
交于C点，点N在 图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）A．函数 的最小正周期是
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 单调递增
D．函数 的图象向右平移 后，得到函数 的图象，则 为奇函数
【答案】C
【分析】A选项，根据M、N关于点C对称得到 点横坐标，从而得到最小正周期 ；B选项，根据
的图象关于点 对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出 ，将 代入解析
式求出 ， ，从而利用整体法判断出 在 不单调；D选项，求出 ，得
到其奇偶性.
【详解】A选项，点M、N关于点C对称，故 ，
设 的最小正周期为 ，则 ，故 ，A正确；
B选项，可以看出函数 的图象关于点 对称，
又 的最小正周期 ，
故函数 的图象关于点 对称，B正确；
C选项，又 ，故 ，
，故将 代入解析式得 ，
解得 ，又 ，故当且仅当 时，满足要求，故 ，
又当 时， ，故 ，
则 ，
当 时， ，
由于 在 上不单调，
故 在 上不单调，C错误；
D选项， ，定义域为R，
又 ， 为奇函数，D正确.
故选：C
6．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数恒等变换化简已知可得 ，再利用诱导公式和二倍角公式求值.
【详解】根据题意，
，
而
.
故选：D
7．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八
种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 ，正割函数 ，余割函数 ，正矢函数 ，余矢函数 .如图角 始边为 轴的非负半轴，其终边与单位
圆交点 ， 、 分别是单位圆与 轴和 轴正半轴的交点，过点 作 垂直 轴，作 垂直 轴，垂
足分别为 、 ，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线分别交 的终边于 、 ，其中 、 、
、 为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知 ， ， ，然后结合新定义简单
计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得 ，
对于A，因为 ，即 ，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得 ，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似
三角形相似比求解，注意有向线段.
8．已知函数 的图象关于 对称，且 ， 在 上
单调递增，则 的所有取值的个数是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【分析】直接利用正弦型函数的性质对称性和单调性的应用求出结果.
【详解】由于函数 的图象关于 对称，则： ， ①，
由于 ，所以 ②，
得： ，
所以 ，
故 为奇数，
且 在 上单调递增，
所以 ，解得 ．
当 ，
故 的取值为：1，3，5，7，
当 时，可以求得 ，
时， ，满足条件；
当 时，因为 ，所以不满足条件；
当 时， ，
时， ，满足条件；
当 时， ， ，既有增区间，又有减区间，
所以不满足条件；
所以满足条件的 的所有取值的个数是2，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关正弦型函数的性质，正确解题的关键是要明确正弦型函数的对称
性与单调性.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．若 ，且 ， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【分析】
根据同角的三角函数关系式，结合两角和（差）的正弦余弦公式逐一判断即可.
【详解】
由题意可得 ，
所以 ，故A错误；
，
因为 ，
所以 ，所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，
所以
，故C错误：
即 ，
因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，故D正确.
故选：BD
10．已知 ，则（ ）
A． 的最小正周期是 B． 在 上单调递减
C． ， D． 的值域是
【答案】BC【分析】对于A，计算 是否等于 可判断A；根据正弦型函数 的单调性可判断B；计算
是否等于 可判断C；分 、 求出 的值域可判
断D.
【详解】对于A，
，故A错误；
对于B，当 时，有 ，
此时 ，显然是 的一个单调递减区间，所以 在 上单调递减，故B正确；
对于C， ， ，故
C正确；
对于D，当 时， ，
当 时， ，
所以 的值域是 ，故D错误.
故选：BC.
11．已知函数 ， 为的 导函数，且满足 ，则下列
结论中正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象不可能关于y轴对称
C．若 最小正周期为 ，且 ，则
D．若函数 在 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】代入 即可求解A，根据 ，结合辅助角公式即可求解B，根据二倍角公式即可求解C，
根据 可得最值点满足 ，即可列不等式求解D.
【详解】对于A， ，由于 ，所以 ，A正确，对于B， ，
当 时， 为偶函数，
其图象关于y轴对称，故B错误，
对于C， 最小正周期为 ，所以 ，故 ，
则 ，
故 ，即 ，C正确，
对于D，因为 ，
令 ，则 ，
故
由于 在 上恰有一个最大值点和一个最小值点，
根据对称可知这两个极值点分别为 ，
故 ，解得 ，故D正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键在于，利用整体代入法求得 的最值点，从而得到关于
的不等式，由此得解.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知 ，则 .
【答案】 /0.28
【分析】根据余弦的二倍角公式可求解 ，进而根据诱导公式即可化简求值.
【详解】由 得 ，，
故答案为：
13．已知函数 （ ， ）的最小正周期为T， ，若 在 内
恰有10个零点则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由 ，可得 ，进而可求 ，进而根据 在 内恰有10
个零点，可求 的取值范围.
【详解】函数 （ ， ）的周期为 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
要使 在 内恰有10个零点，则 .
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
14．函数 在区间 上的值域为 ，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】化简函数 得 ，其中 ， ，
再利用函数 在区间 上的值域为 ，可得 ，从而得到
，再结合 ， ，利用三角恒等变换化简即可得出结果.
【详解】由题意可得，其中 ， ，
函数 在区间 上的值域为 ，
当 时， ，即 ，
当 时， 或 ，则 或 ，
，则 ，
， ， ，
， ，则 ，
，
又 ， ，
的取值范围为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数 .
(1)若 ， ，求 的值；
(2)设 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】(1) 或
(2)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）根据条件，利用特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据条件得到 ，再利用 的图象与性质，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，由 ，得到 ，
解得 或 ，
即 或 ，又 ，
所以 或 .
（2）因为
，
令 ，因为 ，得到 ，
由 的图象与性质知， ，所以 ，
所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
16．设 ， .
(1)若x，y均为锐角且 ，求z的取值范围；
(2)若 且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设条件求得 ，把 表示成关于 的函数形式，再整理成对勾函数，利用其单调
性即可求得z的取值范围；
（2）将条件等式化切为弦，逆用差角公式求得 ，再利用差角公式求得 ，
最后代入和角公式计算即得.【详解】（1）由 ，可得， ，
所以
记 ，因 ，可得 ，因函数 在 上单调递减，故 ，则
，
故 的取值范围是 .
（2） ，且 ，
则： ，即得： ，
又由 ，整理得： ，
故 .
17．已知函数 ．
(1)若 ，求 的值域；
(2)若关于x的方程 有三个连续的实数根 ， ， ，且 ， ，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 看成整体角 ，由 求得 ，判断 的单调性，求得函
数 的值域，继而得 的值域；
（2）结合函数 的图象，得 和 ， ，求得 ，，由方程 即可求得 值.
【详解】（1）
因 ，令 ，则 ，
因 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，故 ．
则 ， 的值域为 ．
（2）如图，因 的最小正周期为 ，
当 时，易得 ，不满足 ，故舍去，
当 时，依题意： ，代入 得： ．
由 ， ，可得 ， ．
由 ， ，代入 ，解得 ， ．
， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ，
故 的值为 ．
18．已知函数 为奇函数，且 图象的相邻两条
对称轴间的距离为 .(1)求 的解析式与单调递减区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，当 时，求方程 的所有根的和.
【答案】(1) ，
(2) .
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得 的函数表达式，解方程求得 的值，利用换元思想，结合三角函数
的图象和性质分析求出即可.
【详解】（1）由题意可得：
因为 图象的
相邻两条对称轴间的距离为 ，
所以 的最小正周期为 ，即可得 ，
又 为奇函数，则 ，
又 ，所以 ，故 .
令 ，得 ，
所以函数 的递减区间为 .
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，
又 ，则 或 ，
即 或 .令 ，当 时， ，
画出 的图象如图所示：
的两个根 对应的点 关于直线 对称，即 ，
有 ，
在 上有两个不同的根 ，
所以 ；
又 的根为 ，
所以方程 在 内所有根的和为 .
19．已知定义域为 的函数 满足：对于任意的 ，都有 ，则称函数
具有性质 ．
(1)判断函数 ， 是否具有性质 ；（直接写出结论）
(2)已知函数 （ ， ），判断是否存在 ， ，使函数 具有性质 ？
若存在，求出 ， 的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数 具有性质 ，且在区间 上的值域为 ．函数 ，满足
，且在区间 上有且只有一个零点．求证： ．
【答案】(1) 具有性质
(2)存在， ，
(3)证明见解析
【分析】（1）利用定义直接判断即可；（2）假设函数 具有性质 ，可求出 ，进而得到 ，再根据定义验证即可；
（3）分析可知函数 在 的值域为 ，由 在区间 上有且仅有一个零点可知 时
不合题意，再求解当 时，与函数 是以 为周期的周期函数矛盾，由此可得 ，进而得证．
【详解】（1）因为 ，则 ，又 ，
所以 ，故函数 具有性质 ；
因为 ，则 ，又 ，
，故 具有性质 ．
（2）若函数 具有性质 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
若 ，不妨设 ，由 ，
得 （*），
只要 充分大时， 将大于1，而 的值域为 ，
故等式（*）不可能成立，所以必有 成立，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，此时 ，
则 ，
而 ，即有 成立，
所以存在 ， 使函数 具有性质 ．
（3）证明：由函数 具有性质 及（2）可知， ，
由 可知函数 是以 为周期的周期函数，则 ，
即 ，所以 ， ；
由 ， 以及题设可知，
函数 在 的值域为 ，所以 且 ；
当 ， 及 时，均有 ，
这与 在区间 上有且只有一个零点矛盾，因此 或 ；
当 时， ，函数 在 的值域为 ，
此时函数 的值域为 ，而 ，于是函数 在 的值域为 ，
此时函数 的值域为 ，
函数 在当 时和 时的取值范围不同，
与函数 是以 为周期的周期函数矛盾，
故 ，即 ，命题得证．
【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程
中；
2、用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素.
