文档内容
第 20 讲 概率初步（9 个知识点+9 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然
事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
知识点2．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进
行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，
如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的
估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
知识点3．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就
叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理
解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合
具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
知识点4．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝ ．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
知识点5．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域 G，又区
域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点
M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何
概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度
量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
知识点6．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的
枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
知识点7．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公
平．
（2）概率＝ ．
知识点8．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个
频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般
通过统计频率来估计概率．
知识点9．模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省
时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课
标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
题型强化
题型一．随机事件
1．（2024春•城关区期末）下列成语描述的事件为随机事件的是
A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高
2．（2023秋•郸城县期末）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的
事件是 （填“必然”或“随机” 事件．
3．（2023秋•太和县校级月考）已知关于 的二次函数 ，设事件 ：“ 时，
随 的增大而减小”，事件 ：“二次函数 的图象与 轴有两个交点”．
（1）小聪说 是必然事件，请你说明其中的道理；
（2）小明说 是随机事件，请你说明其中的道理．题型二．可能性的大小
4．（2024秋•义乌市期中）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面
朝上的可能性是
A． B． C． D．
5．（2024•姜堰区一模）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，
若从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性 摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”
．
6．（2022秋•丰顺县校级月考）英文字母中，元音字母包含： ， ， ， ， ．现用25张包含英文字
母的卡片拼出英语短句“ ， ”．比较下列事件发生的可能性大小，并将它们
按可能性从小到大的顺序排列：
（1）从25张卡片中任意抽一张，上面的字母属于元音字母；
（2）从25张卡片中任意抽一张，上面的字母不属于元音字母；
（3）从25张卡片中任意抽一张，上面的字母是“ ”．题型三．概率的意义
7．（2024秋•丰泽区校级月考）数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采
用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是
A． B． C． D．
8．（2023秋•昆都仑区期末）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上
的概率是 ．
9．（2020•鲤城区校级模拟）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规
定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过
45件的部分每件提成8元．（1）请将两家公司各一名推销员的日工资 （单位：元）分别表示为日销售件数 的函数关系式；
（2）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图、若记
甲公司该推销员的日工资为 ，乙公司该推销员的日工资为 （单位：元），将该频率视为概率，请回答
下面问题：
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统
计学知识为他作出选择，并说明理由．
题型四．概率公式
10．（2024秋•绿园区校级期中）不透明的袋子里共装有3个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，
其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是
A． B． C． D．
11．（2023秋•禹城市期末）从 ， ， ， 四个实数，任取一个数是有理数的概率为 ．
12．（2024秋•临平区校级月考）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止
转动时．
（1）指针指向奇数的概率为多少？
（2）指针指向大于5的数的概率为多少？题型五．几何概率
13．（2024春•张店区期末）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么
小球最终停留在黑色区域的概率是
A． B． C． D．
14．（2024•浙江模拟）一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为 ，让转盘自由转动，当转盘停止
时，指针落在红色区域的概率是 ．15．（2023秋•东莞市期末）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字 ， ，0，1，它
们除数字不同外，其他完全相同．
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ．
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 的横坐标；然后放回搅匀．
接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 的纵坐标．如图，已知四边形的四个顶点的坐标
分别为 ， ， ， ，求点 落在四边形 内部（含边界）的概率．
题型六．列表法与树状图法16．（2024•内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关 、 、 中的两个时，灯泡能发光的概率为
A． B． C． D．
17．（2024秋•南海区校级月考）一个盒子中装有一个红球，一个白球，这两个球除颜色外其余都相同，
从中随机摸出一个球记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，两次都摸出红球的概率为 ．
18．（2024秋•东明县校级月考）在中国共产党成立 100周年之际，某中学开展党史学习教育活动，为了
了解学生学习情况，随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图，
请根据图中信息回答下列问题：
测试成绩记为 ，
； ； ； ； ．
（1）本次抽取调查的学生共有 人，扇形统计图中表示 等级的扇形圆心角度数为 ；
（2）若该校有100名学生，估计得分超过80的有多少人？
（3） 等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或
列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．题型七．游戏公平性
19．（2023秋•唐河县期末） 、 、 三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个△ ，在
他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ 的
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点
20．（2024秋•东阳市月考）小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算
小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则 （填“公平“或“不公平” ．
21．（2024秋•拱墅区月考）某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘
、 分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停
止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如
果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．
（1）用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率；
（2）这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由．题型八．利用频率估计概率
22．（2024秋•武侯区校级月考）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，
小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是
A．4 B．6 C．9 D．10
23．（2024秋•江北区校级月考）在一个不透明的盒子里有红球20个，黄球12个，白球若干个（这些球
除颜色外无任何区别），通过若干次摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在 0.2左右，则盒子里白球的
个数为 个．
24．（2024秋•义乌市月考）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生
进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251
0.230 0.231 0.300 0.260 0.254
0.251
摸到黑球的频率
（1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；
（2）估计袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出
白球的概率．题型九．模拟试验
25．（2024•武汉模拟）某人做抛硬币实验，连续抛了9次都是正面向上，当她抛第10次时，抛得反面向
上是
A．确定性事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．必然事件
26．（2024•成都模拟）如图，阴影部分是分别以正方形 的顶点和中心为圆心，以正方形边长的一
半为半径作弧形成的封闭图形．在正方形 上做随机投针试验，针头落在阴影部分区域内的概率是
．
27．（2022秋•府谷县期末）有四张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，其中三张卡片的颜色分
别是红色、绿色，绿色，第四张卡片的颜色未知．将这四张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记
录颜色，然后放回，大量重复试验，共抽了600次，发现有300次抽到红色卡片．第四张卡片是什么颜色
的？请通过计算说明．分层练习
一、单选题
1．一个不透明的袋子中只装有4个黄球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球．下列说法正确的
是（ ）
A．摸到红球的概率是 B．摸到红球是不可能事件 C．摸到红球是随机事件 D．
摸到红球是必然事件
2．下列事件：①东边日出西边雨；②抛出的篮球会下落；③没有水分，水稻种子发芽；④367 人中至少
有 2 人的生日相同．其中确定事件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列事件为不可能事件的是（ ）
A．太阳从西边升起
B．买一张电影票，座位号是奇数号
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．同位角相等
4．下列事件为必然事件的是（ ）
A．小明平时成绩很好，期末考试数学考150分
B．从装有10个红球，1个黄球的盒子中取出一球，是红球
C．小明任意画了一个三角形，这个三角形的内角和是
D．小明连续3次抛硬币，落地时至少一次国徽面朝上
5．从1，2，3，4四个数中取出一个数作为点P的横坐标，从5，6，7，8四个数中取出一个数作为点P的
纵坐标，则点P落在直线 上的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率是（ ）A． B． C． D．
7．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在
阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题正确的是（ ）
A．概率是1%的事件在一次试验中一定不会发生
B．要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用全面调查的方式
C．甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和
0.62，则乙的成绩更稳定
D．随意翻到一本书的某页，页码是奇数是随机事件
9．同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 到 的点数，则两个骰子向上的一面的
点数和为 的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．在一个不透明的布袋中，红色、黑色的球共有10个，它们除颜色外其他完全相同．张宏通过多次摸球
试验后发现其中摸到红球的频率稳定在 附近，则口袋中红球的个数很可能是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D．10个
二、填空题
11．两直线平行，同旁内角相等，这个事件是 发生的．（填“可能”、“不可能”或“必然”）
12．在一个不透明的袋子里装有 个白球和 个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出
一个球，则摸到白球的概率为 ．
13．从一副扑克牌中挑出一张红桃、三张黑桃，把它们背面朝上洗匀放在桌子上，随机从中抽取一张，记
下花色后放回，再次洗匀放在桌上并随机再抽取一张，两次抽到的扑克牌花色一样的概率是 ．
14．如图，随机闭合开关 中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．15．数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如表数据：
重复试验次
10 50 100 500 1000
数
钉尖朝上次
5 15 36 205 403
数
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为 ．（精确到 ）
16．掷一枚均匀的硬币，前20次抛掷的结果都是正面朝上，那么第21次抛掷的结果正面朝上的概率为
．
17．袋子中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记
下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球
约有 个．
18．现从 ， ， ， ，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式
方程 的解是负数，且关于x的不等式组 无解的概率为 ．
三、解答题
19．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，计算下列事件发生的概率：
（1）掷出的数字是奇数；
（2）掷出的数字大于8；
（3）掷出的数字是一位数；
（4）掷出的数字是3的倍数．20．在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球5个，黑球4个，它们
除了颜色外其他都相同．
(1)从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性最大．
(2)“摸到黑球”是____事件，“摸到黄球”是_____事件．（填“不可能”“必然”或“随机”）
(3)求摸出的小球不是白球的概率．
21．为庆祝中国共产党成立100周年，某地开展“永远跟党走”群众性主题宣传教育活动，现要选一名志
慝服务人员，甲、乙两人都想参加，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者参加，游戏规则如下：
在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个小球（除编号外都相同）．从中随机摸出一个球，记下
数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则甲获胜，若两次数字之和为偶数，
则乙获胜．
(1)请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果 ；
(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
22．某单位食堂为全体900名职工提供了A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，
单位随机抽取了240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，结果绘制了条形
统计图和扇形统计图，部分信息如下：(1)补全条形统计图；扇形统计图中“C”对应的圆心角的度数为__________ ；
(2)依据本次调查的结果，估计全体900名职工中最喜欢D套餐的人数；
(3)现从四名职工（两男两女）中任选两人担任“食品安全监督员”，求选中两人为一男一女的概率；
23．新角度·概率、几何结合 如图（1），线段 和 相交于点C，连接 ．四张纸牌除正面分别
写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明
成立的概率是_________；
(2)若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明 成立的概率，先补全图（3）
中的树状图，再计算．
24．某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀
奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．
（1）求三个年级获奖总人数；
（2）请补全扇形统计图的数据；
（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占 ，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学
中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概
率．
25．电子政务、数字经济、智慧社会…一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开
之际，大湾区学校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，赛后对全体参赛学生成绩按 ，
， ， 四个等级进行整理，得到如图所示的不完整的统计图表．
组别 频数 频率
5 0.1
0.4
15
10 0.2
（1）参加此次比赛的学生共有______人， ______， ______；
（2）请计算扇形统计图中 等级对应的扇形的圆心角的度数；
（3）已知 等级五名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这五名同学中随机选出两名
参加市级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．26．2016年3月，我校举办了以“读城记”为主题的校读书节暨文化艺术节，为了解初中学生更喜欢下列
A、B、C、D哪个比赛，从初中学生随机抽取了部分学生进行调查，每个参与调查的学生只选择最喜欢的
一个项目，并把调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
A．“寻找星主播”校园主持人大赛
B．“育才音超”校园歌手大赛
C．阅读之星评选
D．“超级演说家”演讲比赛
（1）这次被调查的学生共有 人．请你将统计图补充完整．
（2）在此调查汇总，抽到了七年级（1）班3人．其中2人喜欢“育才音超”校园歌手大赛、1人喜欢阅
读之星评选．抽到八年级（5）班2人，其中1人喜欢“超级演说家”演讲比赛、1人喜欢阅读之星评选．
从这5人中随机选两人．用列表或用树状图求出两人都喜欢阅读之星评选的概率．
