文档内容
第 17 讲 直线和圆的位置关系（6 个知识点+6 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫
切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设 O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和 O相交 d＜r ⊙
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
⊙ ⇔
知识点2．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角
形解决问题．
知识点3．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
知识点4．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
知识点5．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的
两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
知识点6．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
题型强化
题型一．直线与圆的位置关系
1．（2024秋•惠山区校级月考）一圆的半径为2，圆心到直线的距离为3，则该直线与圆的位置关系是
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不对
2．（2024秋•沭阳县校级月考）已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心 到直线
的距离 ，则直线 与 的位置关系是 ．
3．（2023 秋•新市区校级期末）如图， 是 的直径， 与 交于 ，弦 平分 ，
，垂足为 ．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
（2）若 的半径为3，若 ，求线段 ．题型二．切线的性质
4．（2024秋•兴隆台区校级月考）如图， ， 分别与 相切于 ， 两点， 是优弧 上的一个
动点，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
5．（2024 秋•香坊区校级月考）如图， 是 的切线， 为切点，连接 ，点 在 上，
，连接 并延长，交 于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
6．（2023秋•曲周县期末）在 中，弦 与直径 相交于点 ， ．
（1）如图①，若 ，求 ；
（2）如图②，若 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，求 的大小．题型三．切线的判定
7．（2024•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点 ， ， 作一圆弧，点 与下列格点的连线
中，能够与该圆弧相切的是
A．点 B．点 C．点 D．点
8．（2024•石阡县模拟）如图，直线 ， 相交于点 ， ，半径为 的 的圆心在直
线 上，且位于点 左侧 处．若 以 的速度由 向 的方向移动，则 后， 与直
线 相切．
9．（2023秋•琼中县期末）如图， 为 的直径，点 在 外，连接 ， ，线段 交 于
点 ，连接 ， ， ．
（1）求 的度数；
（2）求证： 是 的切线．题型四．切线的判定与性质
10．（2023秋•莫旗期末）如图，在矩形 中， ， ，以 为直径作圆 ．将矩形
绕点 旋转，使所得矩形 的边 与 相切，切点为 ，边 与 相交于点 ，则
的长为
A．2.5 B．1.5 C．1 D．0.5
11．（2024秋•江北区校级月考）如图，在 △ 中， ，以 为直径的 交 于点 ，
点 是 的中点，连接 、 ， 交 于点 ， ， ， 的值是 ．12．（2024秋•海淀区校级月考）如图， 是 的直径， 是 的中点，弦 于点 ，过点
作 交 的延长线于点 ．
（1）连接 ，求 的度数；
（2）求证： 与 相切；
（3）点 在弧上， ， 交 于点 ．若 ，求 的长．
题型五．切线长定理
13．（2024•城中区校级一模）如图，四边形 外切于 ，且 ， ，则四边形
的周长为
A．60 B．55 C．45 D．50
14．（2023秋•滨城区期中）如图， 内切于正方形 ， 为圆心，作 ，其两边分别
交 ， 于点 ， ，若 ，则 的面积为 ．15．（2022•惠水县模拟）如图， 为圆 直径， ， 与圆 相切于点 ，
于点 ， 交 于点 ，若 ， ．
（1）求 的长度．
（2）求 的长度．
（3）求 的长度．
题型六．三角形的内切圆与内心
16．（2024秋•香坊区校级月考）如图，在 △ 中， ，其内切圆分别与 、 、 相
切于点 、 、 ，若 ， ，则 的长为
A．2 B．4 C．5 D．3
17．（2024•冠县一模）如图，在 中， ， 的内切圆 与 ， 分别相切于点， ，连接 ， 的延长线交 于点 ，则 ．
18．（2024•陕西）问题提出
（1）如图①，在△ 中， ， ，垂足为 ．若 ， ，则 的长为
；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ 型板材，其中 ， ， ．为了
充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中
确定可裁出的最大圆型部件的圆心 的位置，并求出 的半径；若不可以，请说明理由．
分层练习
一、单选题
1．已知 的半径 ，圆心O到直线l的距离 ，则直线l与 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
2．已知某直线到圆心的距离为 ，圆的周长为 ，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
3．已知两圆半径r、r 分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
1 2
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离4．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，若 的半径为r， ，则
的值和 的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
5．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段
BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（ ）
A． B． C． D．﹣2
6．如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点A（8，4）是圆外一点，直
线AC与⊙O切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（ ， ）
C．（ ， ） D．（ ，-2）
7．如图 是 的内切圆， ， ， 分别为切点， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
8．如图， 是 的切线，切点为点H，连接 、 分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且
，若 的半径长为2，且 ，则 的长为（ ）
A．6 B． C． D．
9．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于
（ ）
A．65° B．50° C．45° D．40°
10．如图，矩形 的长为 ，宽为 ，点 为矩形的中心， 的半径为 ， 于点 ，
．若 绕点 按顺时针方向旋转 ，在旋转过程中， 与矩形的边所在的直线相切的位
置一共出现（ ）A． 次 B． 次 C． 次 D． 次
二、填空题
11．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R—r = ．
12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所
在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
13．如图，AB是 的直径，CD切 于点 ，若 ，则 °.
14．如图， 是 的两条切线， 是切点，若 ， ，则 的半径等于
．
15．如图，直线 与 相切于点 ， 且 ，则 ．16．如图，已知⊙ 的半径为1，圆心 在抛物线 上运动，当⊙ 与 轴相切时，圆心 的坐标是
．
17．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于
点D，若∠BCD=120°，则∠APD的大小为 ．
18．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点
O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝ 度．
三、解答题
19．如图，点O处有一灯塔，警示 内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向
航行才能尽快离开危险区？试说明理由．20．梯形ABCD中， ， ， ,且AD、BC为半径 的 中的两弦．
（1）画出符合条件的大致图形，判断梯形ABCD形状为______．
（2）求出该梯形的面积．
21．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已
知点 ， 是 的边 上的两个定点， 是 边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与 边
相切于点 时， 最大．人们称这一命题为米勒定理．
(1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 进攻，当甲带球冲到
点时，乙已跟随冲到 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射
门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证： ．(2)【问题解决】如图3，已知点 ， 的坐标分别是 ， ， 是 轴正半轴上的一动点，当
的外接圆⊙ 与 轴相切于点 时， 最大．当 最大时，求点 的坐标．
22．如图， 是 的直径， ， 分别切 于点 ， ， 交 ， 于点 ， ， 平
分 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
23．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地 进行绿化和硬化．(1)设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相
等，并使两块绿地面积的和为矩形 面积的 ，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
(2)某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为 和 ，且 到 的距
离与 到 的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求
出圆的半径；若不成立，说明理由．
24．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个
实数根．
（1）求弦AB的长度；
（2）计算 ；
（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当 时，求P点所经过的弧长（不
考虑点P与点B重合的情形）．
25．已知，正方形 ，边长为4，点 是边 、 上一动点，以 为直径作 ，
(1)点 在边 上时（如图1）①求证：点 在边 的垂直平分线上；
②如图2，若 与边 相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出
长；
③如图3，点 从 运动到点 的过程中，若 始终是 的中点，写出 点运动的轨迹并求出路径长：
(2)当点 在边 上时（如图4），若 始终是 的中点，连接 ， ，连接 ，求：
的面积．26．【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线 接近球门 ，他在哪里射门时
射门角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门 的张角 时，在 上取一点Q，过A、B、Q三点
作圆，发现直线 与该圆相交或相切．如果直线 与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动
过程中， 的大小______：（填序号）
①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大
【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线 与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时
最大，如图2，试证明他们的发现．
【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于 方向的路线 带球，请用尺规作图在 上找出球员P的位
置，使 最大．（不写作法，保留作图痕迹）
