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第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理
一、温故知新（导）
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案
反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案，正方形A、B、C面
积之间有什么样的数量关系？图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边之间有什么特
殊数量关系？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明
勾股定理，体会数形结合的思想.
2、会用勾股定理进行简单的计算 .
学习重难点
重点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.
难点：了解利用拼摆验证勾股定理的方法.
二、自我挑战（思）
1、观察图象：
（1）如图1-1，S = ，S = ，S = ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关
A B C
系： .
（2）如图1-2，S = ，S = ，S = ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关
A B C
系： .
2、图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：_______________________________________.1-1 1-2
3、观察图象
（1）如图1-3，S = ，S = ，S = ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关
A B C
系： S +S =S .
A B C
（2）如图1-4，S = ，S = ，S = ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关
A B C
系： .
（提示：以斜边为边长的正方形面积，等于某个正方形的面积减去 4个直角三角形的面
积.）
4、（1）1-3图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：_______________________________________.
（2）1-4图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：_______________________________________.
5、由上面的几个例子，我们猜想（图1-5）
命题 1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么
a2+b2=c2.
6、命题1的证明（勾股定理的证明）
赵爽证法（赵爽弦图）：如图1-6，由4个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
（1）大正方形的边长是 ，大正方形的面积是 ；小正方形的边长是 ，
小正方形的面积是 ；4个全等直角三角形的面积是 .
（2）用两种方法表示大正方形的面积： ； .
（3）通过计算，写出a2、b2、c2的关系： .
（4）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
三、互动质疑（议、展）
1、命题1的证明还有其它方法吗？
美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证法，被称为“总统证法”，其图形如图，
你能利用它证明勾股定理吗？
1 1
证明：∵S = （a+b）2= （a2+2ab+b2），
梯形
2 2
1 1 1
又∵S = ab+ ba+ c2，
梯形
2 2 2
1 1
∴ （a2+2ab+b2）= （2ab+c2），
2 2
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
即c2=a2+b2．
2、实例：如图1-7，在RT△ABC中，∠C=900,
（1）如果BC=3，AC=4，则AB= .
（2）如果BC=6，AB=10，则AC= .
（3）如果AB=25，AC=20，则BC= .
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、设直角三角的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
六、用
（一）必做题
1、我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边
为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（ ）
A．21 B．15 C．13 D．12
2、如图1-8，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形,可以验证的式子为()
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2
3、如图1-9，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形
A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
1-8 1-9 1-10
4、如图1-10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角三角形的两边为边向外作正方
形，其面积分别为5和9，则BC的长为 ．
5、设直角三角的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.
(1)已知a=5，c=10， 求b;
(2)已知a=8，b=15， 求c;
(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.
（二）选做题
6、如图1-11，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知
正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
7、以直角三角形的三边为边向外作正方形，如图①所示，三个正方形的面积分
别为S，S，S， 则有S+S___S(填“>”“=”“<”).
1 2 3 1 2 3
(1)分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，如图②所示，上述结论是否仍
成立?说明理由.
(2)分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，(1)中的结论仍成
立吗(直接写出结论，无需证明) ?
(3)(变式拓展)如图③,图中数字代表正方形的面积,∠ACB=120°，求正方形P的面积.
