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第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理
一、温故知新（导）
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案
反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案，正方形A、B、C面
积之间有什么样的数量关系？图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边之间有什么特
殊数量关系？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明
勾股定理，体会数形结合的思想.
2、会用勾股定理进行简单的计算 .
学习重难点
重点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.
难点：了解利用拼摆验证勾股定理的方法.
二、自我挑战（思）
1、观察图象：
（1）如图1-1，S = 9 ，S = 9 ，S = 1 8 ；小正方形A、B、C的面积之间有什
A B C
么关系： S +S =S .
A B C
（2）如图1-2，S = 4 ，S = 4 ，S = 8 ；小正方形A、B、C的面积之间有什
A B C
么关系： S +S =S .
A B C
2、图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：两条直角边的平方和等于斜边的平方.1-1 1-2
3、观察图象
（1）如图1-3，S = 4 ，S = 9 ，S = 1 3 ；小正方形A、B、C的面积之间有什么
A B C
关系： S +S =S .
A B C
（2）如图1-4，S = 9 ，S = 2 5 ，S = 3 4 ；小正方形A、B、C的面积之间有什
A B C
么关系： S +S =S .
A B C
（提示：以斜边为边长的正方形面积，等于某个正方形的面积减去 4个直角三角形的面
积.）
4、（1）1-3图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想： 两条直角边的平方和等于斜边的平方 .
（2）1-4图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想： 两条直角边的平方和等于斜边的平方 .
5、由上面的几个例子，我们猜想（图1-5）
命题 1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么
a2+b2=c2.
6、命题1的证明（勾股定理的证明）
赵爽证法（赵爽弦图）：如图1-6，由4个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
（1）大正方形的边长是 c ，大正方形的面积是 C 2 ；小正方形的边长是 b- a ，
小正方形的面积是 （ b- a ） 2 ；4个全等直角三角形的面积和是 2ab .
（2）用两种方法表示大正方形的面积： C 2 ； （ b- a ） 2 +2ab .
（3）通过计算，写出a2、b2、c2的关系： a 2 + b 2 = c 2 .
（4）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
三、互动质疑（议、展）
1、命题1的证明还有其它方法吗？
美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证法，被称为“总统证法”，其图形如图，
你能利用它证明勾股定理吗？
1 1
证明：∵S = （a+b）2= （a2+2ab+b2），
梯形
2 2
1 1 1
又∵S = ab+ ba+ c2，
梯形
2 2 2
1 1
∴ （a2+2ab+b2）= （2ab+c2），
2 2
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
即c2=a2+b2．
2、实例：如图1-7，在RT△ABC中，∠C=900,
（1）如果BC=3，AC=4，则AB= 5 .
（2）如果BC=6，AB=10，则AC= 8 .
（3）如果AB=25，AC=20，则BC= 1 5 .
2、解：（1）AB= =5；
√BC2+AC2=√32+42
（2）AC= =8；
√AB2−BC2=√102−62
（3）BC= =15.
√AB2−AC2=√252−202
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、设直角三角的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
1、解：（1）∵直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b,斜边长为 c,其中a=6，c=10，
∴b= =8；
√c2−a2=√102−62
（2）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中a=5，b=12，
∴c= =13；
√a2+b2=√52+122
（3）∵直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b,斜边长为 c,其中 c=25，
b=15，
∴a= =20．
√c2−b2=√252−152
六、用
（一）必做题
1、我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边
为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（ ）
A．21 B．15 C．13 D．12
解：弦为： ＝15，
√92+122
故选：B．
2、如图1-8，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形,可以验证的式子为(
)
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2
解：∵大正方形的面积表示为：c2
1
又可以表示为： ab×4+（b-a）2，
2
1
∴c2= ab×4+（b-a）2，
2
c2=2ab+b2-2ab+a2，
∴c2=a2+b2．
故选：C．
3、如图1-9，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形
A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．101-8 1-9 1-10
解：设正方形D的面积为x,
∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴根据图形得：2+4=x-3，
解得：x=9，
故选：C．
4、如图1-10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角三角形的两边为边向外作正方
形，其面积分别为5和9，则BC的长为 ．
解：由题意可知AB2=5，AC2=9，
又∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴根据勾股定理得：BC2=AC2-AB2=9-5=4，
∵BC为正数，
∴BC=2，
故答案为：2．
5、设直角三角的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.
(1)已知a=5，c=10， 求b;
(2)已知a=8，b=15， 求c;
(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.
解：（1）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中a=5，c=10，
∴b= = ；
√c2−a2=√102−52 5√3
（2）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中a=8，b=15，
∴c= =17；
√a2+b2=√82+152
（3）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中c=2.5，b=1.5，
∴a= =2．
√c2−b2=√2.52−1.52
（二）选做题
6、如图1-11，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，
B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
解：根据勾股定理的几何意义，可知S =S +S
E 1 2
=S +S +S +S
A B C D
=122+162+92+122
=625．
7、数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学
知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都
可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
1-12
（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c,以 Rt△ABC 的三边
长向外作正方形的面积分别为 S ，S ，S ，试猜想 S ，S ，S 之间存在的等量关系，
1 2 3 1 2 3
直接写出结论．
（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆，那么第（2）问的
结论是否成立？请说明理由．（4）如图 4，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，三边分别为 5，12，13，分别以它的三
边为直径向上作半圆，求图 4中阴影部分的面积．
解：（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）S +S =S ；
1 2 3
（3）成立，设直角三角形两条直角边分别为 a,b,斜边为c.
1 b πb2 1 a πa2 1 c πc2
∴S = π( )2= ，S = π（ ）2= ，S = π( )2= ，
2 2 2 8 3 2 2 8 1 2 2 8
πa2 πb2 π(a2+b2 ) πc2
∵ + = = ，
8 8 8 8
∴S +S =S ；
1 2 3
（4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面
积．
∴阴影部分的面积=直角三角形面积
∴阴影部分的面积=5×12÷2=30．
