文档内容
第 17 讲 直线和圆的位置关系（6 个知识点+6 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫
切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设 O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和 O相交 d＜r ⊙
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
⊙ ⇔
知识点2．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角
形解决问题．
知识点3．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
知识点4．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
知识点5．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的
两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
知识点6．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
题型强化
题型一．直线与圆的位置关系
1．（2024秋•惠山区校级月考）一圆的半径为2，圆心到直线的距离为3，则该直线与圆的位置关系是
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不对
【分析】先确定出 和 的大小，然后根据 和 的大小关系进行判断即可．
【解答】解： 由题意可知 ， ，
．
直线与圆相离．
故选： ．
【点评】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，依据 和 的数量关系判断直线和圆的位置关系是解题
的关键．
2．（2024秋•沭阳县校级月考）已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心 到直线
的距离 ，则直线 与 的位置关系是 相离 ．
【分析】解一元二次方程可得 ， ，由题意得 的半径为 ，再根据 ，可得：直线
与 的位置关系是相离．
【解答】解： ，
，， ，
的半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
，
直线 与 的位置关系是相离；
故答案为：相离．
【点评】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系等，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离
与圆半径大小关系完成判定．
3．（2023 秋•新市区校级期末）如图， 是 的直径， 与 交于 ，弦 平分 ，
，垂足为 ．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
（2）若 的半径为3，若 ，求线段 ．
【分析】（1）欲证明 是 的切线，只要证明 即可；
（2）过 作 于 ，得到 ，根据直角三角形的性质得到 ，得到 ，
推出四边形 是菱形，得到 ， ，于是得到结论．
【解答】解：（1）直线 与 相切，理由如下：
连接 ．
平分 ，
，
，
，，
，
，即 ，
，即 ，
是半径，
是 的切线；
（2）过 作 于 ，
，
， ，
，
，
，
四边形 是菱形，
， ，
，
．
【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
属于中考常考题型．
题型二．切线的性质
4．（2024秋•兴隆台区校级月考）如图， ， 分别与 相切于 ， 两点， 是优弧 上的一个动点，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】连接 ， ，根据切线的性质得 ，再利用四边形的内角和计算出
的度数，最后根据圆周角定理计算 的度数．
【解答】解：连接 ， ，
， 分别与 相切于 ， 两点，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
5．（2024 秋•香坊区校级月考）如图， 是 的切线， 为切点，连接 ，点 在 上，
，连接 并延长，交 于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
【分析】证明 ，求出 ，可得结论．
【解答】解： 是切线，
，
，，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023秋•曲周县期末）在 中，弦 与直径 相交于点 ， ．
（1）如图①，若 ，求 ；
（2）如图②，若 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，求 的大小．
【分析】（1）根据 ， 得到 ，即可得到 ，结合直径所对圆周角是直角
求解即可得到答案；
（2）根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角一半求出 ，结合切线性质得到直角求解即可得到答案．
【解答】解：（1） 是△ 的一个外角， ， ，
，
在 中， ，
，
，
为 的直径，
，
；
（2）如图，连接 ，，
，
，
在 中， ，
，
是 的切线，
，即 ，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理及切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
题型三．切线的判定
7．（2024•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点 ， ， 作一圆弧，点 与下列格点的连线
中，能够与该圆弧相切的是
A．点 B．点 C．点 D．点
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出， 时 点的
位置即可．
【解答】解： 过格点 ， ， 作一圆弧，
三点组成的圆的圆心为： ，
只有 时， 与圆相切，当△ 时，
，
点的坐标为： ，
点 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是： 和 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了切线的性质及坐标与图形的性质，得出 时， ，即得出
点的坐标是解决问题的关键．
8．（2024•石阡县模拟）如图，直线 ， 相交于点 ， ，半径为 的 的圆心在直
线 上，且位于点 左侧 处．若 以 的速度由 向 的方向移动，则 3 或 7 后，
与直线 相切．
【分析】当 在直线 左侧时如图，由 ，求得 ，则有 即可求得时间；当 在直
线 右侧时，同理求得 即可求得时间．
【解答】解：当 在直线 左侧时，过点 作 交 于点 ，如图，， ，
，
，
，
则 向右移动了 ，所用时间 秒；
当 在直线 右侧时，如图，
过点 作 交 于点 ，则 ， ，
，
，
，
则 向右移动了 ，所用时间 秒．
故答案为：3或7．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握含 角的直角三角形的性质，圆的切线性质是解题的关
键．
9．（2023秋•琼中县期末）如图， 为 的直径，点 在 外，连接 ， ，线段 交 于点 ，连接 ， ， ．
（1）求 的度数；
（2）求证： 是 的切线．
【分析】（1）利用圆周角定理可得 ，
（2）由（1）可得 ，由 为半径，即可得证．
【解答】（1）解： ，
，
（2）证明： ，
，
，
又 为半径，
是 的切线．
【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、三角形内角和定理等知识点，得出 是解此
题的关键．
题型四．切线的判定与性质
10．（2023秋•莫旗期末）如图，在矩形 中， ， ，以 为直径作圆 ．将矩形
绕点 旋转，使所得矩形 的边 与 相切，切点为 ，边 与 相交于点 ，则
的长为
A．2.5 B．1.5 C．1 D．0.5【分析】证出 ，则 ，需计算 ，即需计算 ．在 中， ，根据勾
股定理计算 需先计算 ．
【解答】解：连接 ，延长 交 于点 ，作 于点 ，
则 ，
矩形 绕点 旋转所得矩形为 ，
， ， ，
四边形 和四边形 都是矩形， ，
，
，
．
四边形 是矩形，
，即 ，
．
．
故选： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，切线的判定与性质，垂径定理，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．（2024秋•江北区校级月考）如图，在 △ 中， ，以 为直径的 交 于点 ，
点 是 的中点，连接 、 ， 交 于点 ， ， ， 的值是 ．
【分析】连接 ， ，利用已知条件证明 与圆 相切，再根据切线的判定证明 与圆 相切，根据切线长定理证明 ，从而求出 和 ，然后利用勾股定理求出 ，再根据切割线定理求出
，根据中位线定理证明 ，求出 ，从而证明△ △ ，最后根据相似三角形的性
质求出答案即可．
【解答】解：如图所示：连接 、 ，
，
，
为直径，
，
，
为 中点，
，
，
，
，
，
，
与圆 相切，
，
，
，
，
，
，
与圆 相切，
，
，
是 中点， 是 中点，
是△ 的中位线，， ，
△ △ ，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定与性质、三角形中位线定理等，解题关键是添加辅助线
构造相似三角形，熟练掌握圆周角定理、切线的判定与性质、三角形中位线定理．
12．（2024秋•海淀区校级月考）如图， 是 的直径， 是 的中点，弦 于点 ，过点
作 交 的延长线于点 ．
（1）连接 ，求 的度数；
（2）求证： 与 相切；
（3）点 在弧上， ， 交 于点 ．若 ，求 的长．
【分析】（1）由 和 是 的中点，得出 垂直平分 ，再利用三角函数可以得到
，进而得到△ 是等边三角形， ．
（2）利用（1）的结论和等腰三角形的三线合一的性质得到 ，利用垂径
定理和等腰三角形的判定与性质得到 ，再利用直角三角形的性质求得
，最后利用圆的切线的判定定理即可作答；
（3）先得出 ，因为 ，可以证明 ， ，由（1）可知， ，再根据特殊角的三角函数值可以得到 的数值．
【解答】（1）解：如图，连接 ， ，
是 的中点， ，
为 的垂直平分线，
，
，
，
△ 是等边三角形，
．
（2）证明：由（1）知：△ 是等边三角形，
，
，
是 的直径，弦 于点 ，
，
即 为 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
是半径，
与 相切．
（3）解：如图，是 的直径，弦 于点 ，
是 中点，
即 为 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
由（1）可知 ，
，
在 △ 中， ， ， ，
，
在 △ 中， ， ， ，
，
由（1）知 ，
，
在 △ 中， ， ， ，
．
【点评】本题考查圆的综合运用，垂径定理、切线的判定，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，需
要学生能具有较强的推理和运算能力．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题型五．切线长定理13．（2024•城中区校级一模）如图，四边形 外切于 ，且 ， ，则四边形
的周长为
A．60 B．55 C．45 D．50
【分析】根据切线长定理得到 ， ， ， ，进而求出 ，再根据
四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解： 四边形 外切于 ，切点分别为 、 、 、 ，
， ， ， ，
，
四边形 的周长为： ，
故选： ．
【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
14．（2023秋•滨城区期中）如图， 内切于正方形 ， 为圆心，作 ，其两边分别
交 ， 于点 ， ，若 ，则 的面积为 ．
【分析】设 与正方形 的边 切于 ，与 切于 ，连接 ， ，得到四边形 是正
方形，求得 ， ，根据全等三角形的性质得到 ，得到 ，进而求出 的面积．
【解答】解：设 与正方形 的边 切于 ，与 切于 ，
连接 ， ，
则四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
的面积为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是
解题的关键．
15．（2022•惠水县模拟）如图， 为圆 直径， ， 与圆 相切于点 ，
于点 ， 交 于点 ，若 ， ．
（1）求 的长度．
（2）求 的长度．
（3）求 的长度．【分析】（1）根据切线的判定定理得到 、 都是圆 的切线，根据求写出定理分别求出 、 ，
进而求出 ；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质求出 ；
（3）证明 ，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：（1） 为圆 直径， ，
、 都是圆 的切线，
与圆 相切于点 ，
， ，
；
（2） ， ，
，
，
，即 ，
解得： ；
（3）过点 作 于 ，
则四边形 为矩形，
，
，
，
，
， ，
，，即 ，
解得： ．
【点评】本题考查的是切线长定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的应用，灵活运
用切线长定理是解题的关键．
题型六．三角形的内切圆与内心
16．（2024秋•香坊区校级月考）如图，在 △ 中， ，其内切圆分别与 、 、 相
切于点 、 、 ，若 ， ，则 的长为
A．2 B．4 C．5 D．3
【分析】根据切线长定理得： ， ， ，再利用勾股定理列方程可得 的
长．
【解答】解： △ 的内切圆分别与 、 、 相切于点 、 、 ，
， ， ，
，
，，
解得： （舍 或2，
故选： ．
【点评】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方
程解决问题，属于中考常考题型．
17．（2024•冠县一模）如图，在 中， ， 的内切圆 与 ， 分别相切于点
， ，连接 ， 的延长线交 于点 ，则 ．
【分析】由 的内切圆 与 ， 分别相切于点 ， ，得 ， ，则
，所以 ，于是得到问
题的答案．
【解答】解： 的内切圆 与 ， 分别相切于点 ， ，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理等知识，推导出是解题的关键．
18．（2024•陕西）问题提出
（1）如图①，在△ 中， ， ，垂足为 ．若 ， ，则 的长为
；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ 型板材，其中 ， ， ．为了
充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中
确定可裁出的最大圆型部件的圆心 的位置，并求出 的半径；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）先根据勾股定理求出 ，再根据三角形的面积公式可求出 的长；
（2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点 的位置，过点 作 于 ，
于 ， 于 ，连接 ， ， ，过点 作 于 ，设 ， 的半径为
，则 ，再根据勾股定理列出关于 的方程得 ，则 ，
进 而 得 ， 则 ， 然 后 根 据 ， 得
，据此可得 的半径．
【解答】解：（1）在△ 中， ， ， ，
由勾股定理得： ．
由三角形的面积得： ，
，
．故答案为： ．
（2）可以．
三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
所求圆的圆心是△ 的内心，
作 和 的平分线 ， 交于点 ，
则点 就是裁出的最大圆型部件的圆心 的位置，
过点 作 于 ， 于 ， 于 ，连接 ， ， ，过点 作 于
，如图所示：
设 ， 的半径为 ，
， ， ，
，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
，
点 为△ 的内心，
，
，，
即 ，
．
【点评】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵
活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解决问题的关键．
分层练习
一、单选题
1．已知 的半径 ，圆心O到直线l的距离 ，则直线l与 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【答案】A
【知识点】判断直线和圆的位置关系
【分析】利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决．
【详解】解：∵ 的半径 ，圆心O到直线l的距离 ，
∴ ，
∴直线l与 相交，
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
2．已知某直线到圆心的距离为 ，圆的周长为 ，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】B
【知识点】判断直线和圆的位置关系
【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆
有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，
则直线和圆相离，即可得到问题选项．
【详解】解：∵圆的周长为10πcm，
∴圆的半径为5cm，∵圆心到直线l的距离为5cm，
∴d=r，
∴直线与圆相切，
∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．
3．已知两圆半径r、r 分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
1 2
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、圆和圆的位置关系
【分析】首先解方程x2-7x+10=0，求得两圆半径r、r 的值，又由两圆的圆心距为7，根据两圆位置关系与
1 2
圆心距d，两圆半径r、r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系
1 2
【详解】∵ ，
解得： ，
∴两圆半径r、r 分别是2，5．
1 2
∵2＋5=7，两圆的圆心距为7，
∴两圆的位置关系是外切．
故选C．
4．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，若 的半径为r， ，则
的值和 的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
【答案】D
【知识点】三角形内心有关应用、应用切线长定理求解、圆周角定理
【分析】如图，连接 ．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．【详解】解：如图，连接 ．
∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性
质，属于中考常考题型．
5．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段
BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（ ）
A． B． C． D．﹣2
【答案】A
【知识点】求反比例函数解析式、圆与函数的综合(圆的综合问题)
【分析】作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质得PM＝PN＝r，再利用
面积法求出r＝ ，接着证明 OBC为等腰直角三角形得到NC＝NB＝ ，于是得到P点坐标为（ ，
△），然后把P（ ， ）代入y＝ 可求出k的值．
【详解】解：作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，
∵⊙P与边AB，AO都相切，
∴PM＝PN＝r，
∵OA＝4，OB＝3，AC＝1，
∴AB＝5，
∵S PAB+S PAC＝S ABC，
△ △ △
∴ •5r+ •r•1＝ •3•1，解得r＝ ，
∴BN＝ ，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴NC＝NB＝ ，
∴ON＝3﹣ ＝ ，
∴P点坐标为（ ，﹣ ），
把P（ ，﹣ ）代入y＝ 得k＝ ×（﹣ ）＝﹣ ．
故选A．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了反比例函数图象上点的坐标特
征．
6．如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点A（8，4）是圆外一点，直
线AC与⊙O切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ）A．（ ， ） B．（ ， ）
C．（ ， ） D．（ ，-2）
【答案】C
【知识点】切线的性质定理
【详解】解：作 AE⊥x 轴于 E，CH⊥x 轴于 H，连接 OC，如图，
∵B（0，4），A（8，4），
∴AB＝8，AE＝OB＝4，AB⊥y 轴，
∴AB 为⊙O 的切线，
∵直线 AC 与⊙O 切于点 C，
∴OC⊥AC，AC＝AB＝8，
在△OCD 和△AED 中
，
∴△OCD≌△AED，
∴OD＝AD，
设 OD＝x，则 AD＝x，DE＝8﹣x，
在 Rt△ADE 中，（8﹣x）2+42＝x2，解得 x＝5，
∴OD＝5，DE＝CD＝3，∵ CH•OD＝ OC•CD，
∴CH＝ ＝ ，
在 Rt△OCH 中，OH＝ = ，
∴C 点坐标为（ ， ）．
故选C．
【点睛】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系．也考查了坐标与图形性质．
7．如图 是 的内切圆， ， ， 分别为切点， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理
【分析】连接 、 ，根据切线的性质求出 ，求出 ，根据圆周角定理得
出 ，代入求出即可．
【详解】解：连接 、 ，是 的内切圆， ， ， 分别为切点，
， ，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，多边形的内角和定理，圆周角定理的应用，关
键是求出 的度数和求出 ．
8．如图， 是 的切线，切点为点H，连接 、 分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且
，若 的半径长为2，且 ，则 的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】连接 、 ，根据切线的性质，得到 ，再根据30度角所对的直角边等于斜
边一半和三角形内角和定理，得到 ， ，利用勾股定理求出 ，然后利用圆
周角定理得到 ，从而得到 ，推出 ，即可求出 的长．
【详解】解：连接 、 ，
是 的切线，切点为点H，，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题是圆和三角形的综合题，考查了切线的性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内
角和定理，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题
关键．
9．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于
（ ）
A．65° B．50° C．45° D．40°
【答案】B【知识点】切线的性质定理
【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．
【详解】连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝130°，
∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．
10．如图，矩形 的长为 ，宽为 ，点 为矩形的中心， 的半径为 ， 于点 ，
．若 绕点 按顺时针方向旋转 ，在旋转过程中， 与矩形的边所在的直线相切的位
置一共出现（ ）
A． 次 B． 次 C． 次 D． 次
【答案】C
【分析】根据题意作出图形，根据图形直接写出答案即可．
【详解】解：如图， 与矩形的边所在的直线相切的位置一共出现 次．故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆
的半径．
二、填空题
11．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R—r = ．
【答案】1.5
【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、三角形内切圆与外接圆综合
【分析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和
与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．
【详解】∵直角三角形的斜边= ，
∴三角形的外接圆半径R=2.5，内切圆半径r=(3＋4−5)÷2＝1，
∴R−r＝1.5，
故填1.5．
【点睛】本题主要考查勾股定理，三角形的外接圆和内切圆半径，掌握直角三角形外接圆半径等于其斜边
的一半，其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，是解题的关键．
12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所
在直线向下平移 cm时与⊙O相切．【答案】2
【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
【详解】∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2 =4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5-3=2cm．
故答案是：2．
【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足d=R．
13．如图，AB是 的直径，CD切 于点 ，若 ，则 °.
【答案】40.
【分析】连接OD，由等腰三角形的性质可得∠ADO=∠A=25°，由外角的性质可求出∠COD=50°，根据切线
的性质可知∠CDO=90°，进而可求出∠C的度数.
【详解】连接OD.
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=25°，
∴∠COD=25°+25°=50°.
∵CD切 于点 ，
∴∠CDO=90°，
∴∠C=90°-50°=40°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及切线的性质.①圆的切线垂直于经过切点的
半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线性
质的运用：由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见
切点，连半径，见垂直．
14．如图， 是 的两条切线， 是切点，若 ， ，则 的半径等于
．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得 ，
平分 ，再由直角三角形的性质得 ，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：∵ 是 的两条切线，
∴ ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，即 的半径等于 ，
故答案为： ．
15．如图，直线 与 相切于点 ， 且 ，则 ．【答案】
【知识点】切线的性质定理、垂径定理的推论、等边三角形的性质
【详解】解∶连接 、 ， 的反向延长线交 与 ，如图，
∵直线 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
16．如图，已知⊙ 的半径为1，圆心 在抛物线 上运动，当⊙ 与 轴相切时，圆心 的坐标是
．【答案】 或 或 或
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
【分析】根据圆与直线的位置关系可知，当⊙ 与 轴相切时，P点的纵坐标为1或-1，把1或-1代入到抛
物线的解析式中求出横坐标即可．
【详解】∵⊙ 的半径为1，
∴当⊙ 与 轴相切时，P点的纵坐标为1或-1．
当 时， ，
解得 ，
∴此时P的坐标为 或 ；
当 时， ，
解得 ，
∴此时P的坐标为 或 ；
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和已知函数值求自变量，根据圆与x轴相切找到点P的纵坐标
的值是解题的关键．
17．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于
点D，若∠BCD=120°，则∠APD的大小为 ．【答案】30°
【知识点】切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】如图，连接OD，由圆内接四边形的性质易得∠DAB，可得 ADO为等边三角形，由切线的性质可
得∠PDO=90°，最后，在Rt PDO中，依据直角三角形两锐角互余求△解即可．
【详解】如图，连接DO，△
∵∠BCD=120°，
∴∠DAB=180°﹣120°=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠DOA=60°，
∵PD与⊙O相切，
∴∠PDO=90°，
∴∠APD=90°﹣∠DOP=90°﹣60°=30°，
故答案为30°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、切线的性质，正确添加辅助线（见切点，连圆心）是解题的关
键．
18．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点
O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝ 度．【答案】87
【知识点】角度问题(旋转综合题)、切线的性质定理、等边三角形的判定和性质
【分析】连接OO'，根据切线的性质得到AB⊥OB，根据旋转变换的性质得到OB＝OO'，根据等边三角形
的性质得到∠OBO'＝60°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：连接OO'，
∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴AB⊥OB，
由旋转的性质可知，∠O'BA'＝∠OBA＝90°，BO＝BO'，
∵OB＝OO'，
∴OB＝O'B＝OO'，
∴△OBO'为等边三角形，
∴∠OBO'＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝27°+60°＝87°，
故答案为：87．
【点睛】本题考查了切线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点
的半径是解题关键
三、解答题19．如图，点O处有一灯塔，警示 内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向
航行才能尽快离开危险区？试说明理由．
【答案】渔船沿射线 方向航行才能尽快离开危险区．理由见解析
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点与圆的关系，设射线 交 与点A，过点P任意作一条弦 ，连接 ，在
中可得 ，根据 得 ，即可得；掌握点与圆的关系是解题的关键．
【详解】渔船应沿着灯塔O过点P的射线 方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：
解：设射线 交 与点A，过点P任意作一条弦 ，连接 ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即渔船沿射线 方向航行才能尽快离开危险区．
20．梯形ABCD中， ， ， ,且AD、BC为半径 的 中的两弦．
（1）画出符合条件的大致图形，判断梯形ABCD形状为______．
（2）求出该梯形的面积．
【答案】（1）等腰梯形；（2）119，289
【知识点】其他问题(圆的综合问题)
【分析】（1）根据题意画出分情况，即分为AD、BC在圆的同侧与两侧画图即可；
（2）根据（1）中的两种情况分别求解即可.【详解】解：（1）根据题意分在AD、BC在圆的同侧与两侧画图如下：
根据图形可知梯形ABCD形状为等腰梯形；
（2）①当AD、BC在圆的同侧时，作OM AD交BC于点N
⊥
∵OM BC
∴AM=⊥5，BN=12
∴OB=OA=13
∵OM=12，ON=5
∴MN=7
∴
= ；
梯形ABCD
∴S
②当AD、BC在圆的不同侧时，作OM AD交BC于点N
⊥
∵
∴OM⊥BC
∴AM=5，BN=12∵OB=OA=13
∴OM=12，ON=5
∴MN=17
∴S =
梯形ABCD
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质与梯形面积计算，根据题意画出图形是正确解题的关键.
21．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已
知点 ， 是 的边 上的两个定点， 是 边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与 边
相切于点 时， 最大．人们称这一命题为米勒定理．
(1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 进攻，当甲带球冲到
点时，乙已跟随冲到 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射
门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证： ．
(2)【问题解决】如图3，已知点 ， 的坐标分别是 ， ， 是 轴正半轴上的一动点，当
的外接圆⊙ 与 轴相切于点 时， 最大．当 最大时，求点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】切线的性质定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理、利用垂径定理求解其他问题
【分析】（1）根据三角形的外角和，同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可；
（2）当 的外接圆⊙ 与 轴相切于点 时， 最大，连接 ， ，过点 作 于
点 ，根据垂径定理，勾股定理，即可求出 ．
【详解】（1）证明：由图 可知：∵ ， 是 所对的圆周角，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）当 的外接圆⊙ 与 轴相切于点 时， 最大，
∴连接 ， ，过点 作 于点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵点 ， 的坐标分别是 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ．
【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系，垂径定
理，圆的切线定理．
22．如图， 是 的直径， ， 分别切 于点 ， ， 交 ， 于点 ， ， 平
分 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】应用切线长定理求解、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过 点作 于点 ，根据切线的性质由 切 于点 可得 ，再根据角
平分线定理得到 ，然后根据切线的判定定理得到 是 的切线；
（2）过 作 于 ，根据切线的性质得到 ，则得到四边形 为矩形，
得到 ，所以 ，再利用切线长定理得 ， ，所以
，在 中，利用勾股定理计算出 ，则 ，所以 ，然后
中，利用勾股定理可计算出 ．
【详解】（1）证明：如图，过 点作 于点 ，
， 切 于点 ，
，
平分 ，
，
为 的半径，
是 的半径，
是 的切线；（2）解：如图，过 作 于 ，
， 是 的直径， ， 分别切 于点 ， ，
， ，
四边形 为矩形，
，
，
， ， 为 的切线，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查
了切线的性质、切线长定理、勾股定理．
23．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地 进行绿化和硬化．
(1)设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形 面积的 ，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
(2)某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为 和 ，且 到 的距
离与 到 的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求
出圆的半径；若不成立，说明理由．
【答案】(1)10米
(2)设想成立，10米
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、圆和圆的位置关
系
【分析】本题考查一元二次方程实际应用，二元一次方程组的实际应用．正确的识图，列出方程和方程组，
是解题的关键．
（1）设 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 米，根据“两块绿地面积的和为矩形 面积的 ”
列出方程求解即可；
（2）设圆的半径为 米， 到 的距离为 米， 根据题意分别列出圆半径与长方形的长和宽的方程，
组成方程组，求解即可．
【详解】（1）解：设 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 米，根据题意，得：
解之，得：
经检验， 不符合题意，舍去．
所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．
（2）设想成立．
设圆的半径为 米， 到 的距离为 米，根据题意，得：
，解得： ．符合实际．
所以，设想成立，此时，圆的半径是10米．
24．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个
实数根．
（1）求弦AB的长度；
（2）计算 ；
（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当 时，求P点所经过的弧长（不
考虑点P与点B重合的情形）．
【答案】（1）2（2） （3） 、 、
【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【详解】试题分析：（1）OA和AB的长度是一元二次方程的根，所以利用韦达定理即可求出AB的长度．
（2）作出△AOB的高OC，然后求出OC的长度即可．
（3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等．
试题解析：（1）由题意知：OA和AB的长度是x2﹣4x+a=0的两个实数根，
∴OA+AB=﹣ =4，
∵OA=2，
∴AB=2；
（2）过点C作OC⊥AB于点C，
∵OA=AB=OB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴AC= AB=1
在Rt△ACO中，由勾股定理可得：OC=
∴S = ABOC= ×2× =
AOB
△
（3）延长AO交⊙O于点D，
由于△AOB与△POA有公共边OA，
当S =S 时，
POA AOB
△ △
∴△AOB与△POA高相等，
由（2）可知：等边△AOB的高为 ，
∴点P到直线OA的距离为 ，这样点共有3个
①过点B作BP ∥OA交⊙O于点P ，
1 1
∴∠BOP =60°，
1
∴此时点P经过的弧长为： ，
②作点P ，使得P 与P 关于直线OA对称，
2 1 2
∴∠P OD=60°，
2
∴此时点P经过的弧长为： ，
③作点P ，使得B与P 关于直线OA对称，
3 3
∴∠P OP =60°，
3 2
∴此时P经过的弧长为： ，
综上所述：当S =S 时，P点所经过的弧长分别是 、 、 ．
POA AOB
△ △考点：一元二次方程与圆的综合知识
25．已知，正方形 ，边长为4，点 是边 、 上一动点，以 为直径作 ，
(1)点 在边 上时（如图1）
①求证：点 在边 的垂直平分线上；
②如图2，若 与边 相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出
长；
③如图3，点 从 运动到点 的过程中，若 始终是 的中点，写出 点运动的轨迹并求出路径长：(2)当点 在边 上时（如图4），若 始终是 的中点，连接 ， ，连接 ，求：
的面积．
【答案】(1)①证明见解析；②见解析， ；③ 点运动的轨迹为线段 ，线段
(2)
【知识点】切线的性质定理、确定圆心(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】此题考查了切线的性质，线段垂直平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定
与性质、垂径定理、圆周角定理等．此题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
（1）①证明 即可证明点 在边 的垂直平分线上；②作 的垂直平分线，作切点与A所连线
段的垂直平分线，即可找到圆心；③由由 是等腰直角三角形，证明 ，进而即可求
解；
（2）先证明 ，设 ，则 ， ， ，进而即可求解．
【详解】（1）解：① 为直径， ；
点 在圆上，
连接 ，，
点 在 的垂直平分线上；
②设 与边 相切于点E，则 ， 如图所示：
设 ，则 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ 是 的中位线，
∴ ；
③连接 ， ；始终是 的中点，
是等腰直角三角形，
∴ ，
连接 、 交于点 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
；
当点 与 点重合， 点与 点重合，当点 与 点重合， 点与 点重合，
点运动的轨迹为线段 ， ．
（2）解：连接 , ，过点H作 ，
由（1）③可得： ，
， ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ， ， ，
解得： ， ，∴ ．
26．【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线 接近球门 ，他在哪里射门时
射门角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门 的张角 时，在 上取一点Q，过A、B、Q三点
作圆，发现直线 与该圆相交或相切．如果直线 与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动
过程中， 的大小______：（填序号）
①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大
【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线 与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时
最大，如图2，试证明他们的发现．
【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于 方向的路线 带球，请用尺规作图在 上找出球员P的位
置，使 最大．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】操作感知：③；猜想验证：见解析；实际应用：见解析
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、作垂线(尺规作图)、三角形的
外角的定义及性质
【分析】操作感知：如图所示，设直线 与 的外接圆的另一个交点为D，分别在射线 ，射线
上取一点F，E，连接 交 的外接圆于H，连接 交 的外接圆于G，连接 ，利
用圆周角定理和三角形外角的性质证明 即可得到结论；
猜想验证：如图所示，在 上任取一点G（不与Q重合），连接 交 的外接圆于H，连接
，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明 即可；
实际应用：如图所示，作线段 的垂直平分线 交 于E，延长 交 于F，以点A为圆心，
的长为半径画弧交直线 于O，以O为圆心，以 的长为半径画弧交直线 于P，点P即为所求．
【详解】解：操作感知：如图所示，设直线 与 的外接圆的另一个交点为D，分别在射线 ，
射线 上取一点F，E，连接 交 的外接圆于H，连接 交 的外接圆于G，连接 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
在 上取一点T，连接 并延长交 的外接圆于S，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴球员P由M向N的运动过程中， 的大小是先变大后变小，
故答案为：③；
猜想验证：如图所示，在 上任取一点G（不与Q重合），连接 交 的外接圆于H，连接
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 上异于点Q的其他所有点对 的张角 都小于 ，
∴球员P运动到切点Q时 最大；实际应用：如图所示，作线段 的垂直平分线 交 于E，延长 交 于F，以点A为圆心，
的长为半径画弧交直线 于O，以O为圆心，以 的长为半径画弧交直线 于P，点P即为所求；
理由如下：∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，即 是两条平行线间的距离，
∴ 也是这两条平行线间的距离，
∴ ，
∴ 直线 与 相切，
∴由“猜想验证”可知，当直线 与 相切于点P时， 最大．
【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，三角形外角的性质，圆周角定理，确定圆心，线段垂直平分
线的尺规 作图，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键.
