文档内容
第 18 讲 正多边形和圆 （1 个知识点+5 种题型+分
层练习）
知识导图
知识清单
知识点．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，
这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
题型强化
题型一．正多边形和圆
1．（2024•甘孜州）如图，正六边形 内接于 ， ，则 的长为A．2 B． C．1 D．
2．（2024春•龙华区校级月考）一个正多边形的中心角是 ，则这个正多边形的边数为 ．
3．（2024秋•宿迁月考）如图，正六边形 的半径为5．
（1）求对角线 的长；
（2）求这个正六边形的周长与面积．
题型二、求正多边形的中心角
4．（23-24九年级上·上海·期中）如果正多边形的边数是 （ ），它的中心角是 ，那么 关于 的
函数解析式及其定义域为 ．
5．（21-22九年级上·全国·单元测试）正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（
）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形 的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．题型三、已知正多边形的中心角求边数
7．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）正多边形的中心角为 ，则正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于 ，那么这个正多边形的边数是
．
9．（20-21九年级上·广西南宁·期末）【阅读理解】如图1， 为等边 的中心角，将 绕
点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与三角形的边 分别交于点 ．设等
边 的面积为S，通过证明可得 ，则
．
【类比探究】如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 分别交于点 ．若正方形 的面积为S，请
用含S的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与正六边形的边 分别交于点 ．若四边形 面积为 ，请
直接写出正六边形 的面积．题型四、正多边形和圆的综合
10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正 n 边形 的两条对角线 的延长线交于
点 P，若 ，则n的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形 、等边三角形 内接于同一个圆，则 的
度数为 ．
12．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形 内接于 是 的中点，连接
．求证： ；题型五、尺规作图——正多边形
13．（20-21九年级上·山东潍坊·期中）如图， 、 、 是 上顺次三点，若 、 、 分别是
内接正三角形、正方形、正 边形的一边，则 ．
14．（2022·陕西·模拟预测）如图，已知AC为 的直径．请用尺规作图法，作出 的内接正方形
ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）分层练习
一、单选题
1．正十边形的中心角的度数为（ ）
A．30 B． C．45 D．60
2．半径为3的正六边形的周长为（ ）
A．18 B． C． D．
3．有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（ ）
A． B．4 C． D．2
4．圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（ ）
A．a=2rsin36° B．a=2rcos36° C．a=rsin36° D．a=2rsin72°
5．如图，正六边形 中， 的面积为4，则正六边形 的面积是（ ）
A．8 B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点O重台， 轴，交y轴
于点P．将 绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（ ）A． B． C． D．
7．下列说法中,正确的是（ ）
A．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 B．三点确定一个圆
C．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线D．任何三角形有且只有一个内切圆
8．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．20 C．18 D．
9．如图,水平地面上有一面积为30π cm2的扇形AOB,半径OA=6 cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,
将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为( )
A．π cm B．2π cm C．5π cm D．10π cm
10．如图，边长为 的正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点 ， 的延长
线与 的延长线交于点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．二、填空题
11．边长为2的正六边形的边心距是 .
12．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧AC上一点，若点E在直径AB另一侧的半圆上，
且∠AED=27°，则∠BCD的度数为 ．
13．从一张半径为 的圆形纸片中剪出一个面积最大的正方形，则这个正方形的边长是 （精确
到
14．如图，正方形ABCD内接于半径为4的⊙O，则图中阴影部分的面积为 .
15．小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概
率为 ．
16．在 中， 为直角顶点， ， 为斜边 的中点，将 绕着点 逆时针旋转
到 ．当 为等腰三角形时， 的度数为 ．17．如图所示，已知正八边形 内接于 ，连接 ，相交于点 ．若 的半径为1，
以下结论正确的是 ．（填序号）
① ；② ；③ 的面积为 ；④ ．
18．编程兴趣小组为半径为0.2米的圆形扫地机器人编制了如图所示的程序，若扫地机器人在无障碍的实
验室平地上按照编制的程序扫地，则这个扫地机器人扫过的实验室平地的面积是 米 ．
三、解答题
19．如图，正六边形 内接于 ，边长为2．
(1)求 的直径 的长；
(2)求 的度数．20．如图， 内接于 是 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
21．如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．22．（1）计算：-（ ）-1 +3tan30°-20190+|1-❑√3|
（2）如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB=1，求BF．
23．仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图， 为 的弦，画一条与 长度相等的弦；
(2)如图，正五边形 内接于圆，请作出一条直径；24．如图，正方形EFGH的外接圆⊙O是正方形ABCD的内切圆，试求AB：EF的值．
25．已知：如图，点E是正方形ABCD中AD边上的一动点，连结BE，作∠BEG=∠BEA交CD于G，再以B
为圆心作 ，连结BG．
（1）求证：EG与 相切．
（2）求∠EBG的度数．26．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图1，若四边形 是美好四边形，且 ， ， ， ，求四边形
的面积；
【问题解决】
（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在 ， ， ， 四处，现要求信号塔 建在公园内一个
湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为 的圆，记为 ．已知点 到该湖泊的最近距离为 ，
是否存在这样的点 ，满足 ，使得四边形 的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，
请说明理由．
