文档内容
第 12 讲 图形的旋转（4 个知识点+4 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做
旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够
重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
知识点2．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
知识点3．旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋
转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．知识点4．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形⇒的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊
角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
题型强化
题型一．生活中的旋转现象
1．（2024•南皮县校级二模）下列四个图形中，最贴近“将线段 绕其端点 顺时针旋转”这个描述的
是
A． B．
C． D．
2．（2024•桐柏县二模）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧
围成的“叶片状”阴影图案的面积为 ．
3．如图，钟摆的摆动是旋转，图中的旋转中心是哪一点？试用量角器测量旋转角度的大小．（精确到题型二．旋转的性质
4．（2024•江北区校级开学）如图，在矩形 中， ，将矩形 绕点 逆时针旋转，得到
矩形 ，点 的对应点 落在 上，且 ，则四边形 的面积为 ．
5．（2024•天长市二模）已知一副三角板如图所示放置， 的三角板的直角顶点 在 三角板斜边
的中点，点 、 分别是直角边 、 边上的两点，且 ，连接 、 ，其所在的两条
直线相交于点 ，连接 ，当三角板 在绕 旋转时，若 ，则 的长度的最小值为
A． B． C． D．
6．（2023秋•信丰县期末）如图， 由 绕点 按逆时针方向旋转 得到，且点 的对应点
恰好落在 的延长线上， ， 相交于点 ．
（1）求 的度数；
（2） 是 延长线上的点，且 ．判断 和 的数量关系，并证明．题型三．旋转对称图形
7．（2024•郑州模拟）如果一个四边形绕对角线交点旋转 ，所得图形与原来的图形重合，那么这个四
边形是
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．（2024•前郭县二模）将如图所示的图案围绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转
角可能是 度．（写出一个即可）
9．（2022秋•赣州期末）（1）解方程： ．
（2）如图，将其绕着某点旋转 ，能与自身重合，求 的最小值．题型四．坐标与图形变化-旋转
10．（2024•牡丹江一模）如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， ， ，
将 绕点 旋转，使点 落在 轴上，则此时点 的坐标为 ．
11．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系 中，点 在第二象限，点 在 轴正半轴上，
， ．将 绕点 顺时针旋转 得到△ ，则点 的对应点 的坐标是
A． B． C． D．
12．（2023秋•涧西区校级月考）如图，在正方形网格中， 的顶点均在格点上．（1）请在正方形网格中建立平面直角坐标系，使点 ， ，并求点 的坐标；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，△ 是由 绕点 旋转得到，求点 的坐标．
分层练习
一、单选题
1．已知直线 ： 与直线 关于点 对称，则直线 的表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将 绕点O顺时针方向旋转 至 ，已知 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若 绕点 按逆时针方向旋转到 的位置，
则旋转的角度为（ ）A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 后，得到线 ，则点 的坐标
为( )
A． B． C． D．
5．如图，正方形 的对角线 交于点O，点M在 内，将点M绕点O逆时针旋转 ，
则M的对应点 在（ ）
A． 内 B． 内 C． 内 D． 内
6．如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，点 、 的坐标分别为 连接AB得到 ．现将
绕原点 顺时针旋转 得到 ，则 对应点 的坐标为（ ）A．(4, 0) B．(0, 4)
C．(-4, 0) D．(0, -4)
7．如图，将 绕直角顶点顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，若 ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’ C，点A的对
应点A'落在AB边上，则∠BCA'的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．如图，平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，连接 BD，将 BCD 绕点 B 旋
转，当 BD（即 BD′）与 AD 交于一点 E，BC（即 BC′）同时与 CD 交于一点 F 时，下列△结论正确的是
（ ）
①AE=DF；②∠BEF=60°；③∠DEB=∠DFB；④△DEF 的周长的最小值是4+2A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
10．如图，扇形 中， ，将扇形 绕点B逆时针旋转，得到扇形 ，若点O刚好落
在弧 上的点D处，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图， 绕点 旋转 得到 ，则 与 的位置关系是 ，数量关系是
．
12．如图，将 绕点B顺时针旋转到 位置，使得 ，若 ，则旋转角度为
．
13．如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ．若点A，D，E在同一条直线上， ，
的度数为 ．14．如图，把 放在量角器上，读得射线 、 分别经过刻度117和153，把 绕点 逆时针
方向旋转到 ，当 时，射线 经过刻度 ．
15．直线 与 轴， 轴分别交于 、 两点，把 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
则点 的坐标是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点
B、C的对应点分别为点B'、C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，则CD＝ ．
17．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,E为斜边AB的中点,点P是射线BC的一个动点,连接
AP、PE,将△AEP沿着边PE叠,折叠后得到△EPA,当折叠后△EPA与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP
面积的四分之一,则BP的长18．如图 ，在 ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝16，点 O 是 ABC 的重心，将线段 AO 绕点 A 逆时针旋
转至 O′，点 D△ 为线段 CO′的中点，连接 BD，则 BD 的最△大值为 ．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ，按要求完成下列问题．
(1)将 向左平移2个单位长度得到 ，直接写出点 的坐标；
(2)将 绕点A顺时针旋转 得到 ，画出 ，并写出 的坐标；
(3)点C的坐标为 ，用作图的方法在x轴上确定一点M，使 最小，并写出点M的坐标．20．在长方形 中， ， ，点P在线段 上运动，将线段 绕点B顺时针旋转 至
，连接 ， ．
(1)如图1，当E点落在 边上时，求 的长度；
(2)如图2，在运动过程中，当线段 最短时，求 的度数；
(3)连接 ，当 为等腰三角形时，直按写出 的长度．
21．（1）观察推理：如图1，ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，
BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E．求证： ；
（2）类比探究：如图2， 中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转 90°至 ，连接
，求 的面积；
（3）拓展提升：如图3，等边 中，EC=BC=3cm，点O在BC上且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以
1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，设点P运动的时间为t秒，当
秒时， ，请说明理由．22．已知，在四边形 中， ，连接 ．
(1)如图1，若 ， ， ，求 的面积；
(2)如图2，若 ， 平分 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，若点P是射线 上一动点，连接 ．将线段 绕着点D顺时针旋转 ，
点P的对应点为 ，若 ，请直接写出 的最小值．
23．如图，抛物线 与x轴交于点A(−2,0)和 ，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；
(2)作射线 ，将射线 绕点A顺时针旋转 交抛物线于另一点D，在射线 上是否存在一点H，使
的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线 与P点，点Q从A点出发，P
点随之运动，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标．
24．如图1，点 为线段 上一点，一副直角三角板的直角顶点与点 重合，直角边 、 在线段
上， ．
（1）将图1中的三角板 绕着点 沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若 ，则
________；猜想 与 的数量关系为________；
（2）将图1中的三角板 绕着点 沿逆时针方向按每秒 的速度旋转一周，三角板 不动，请问
几秒时 所在的直线平分 ？
（3）将图1中的三角板 绕着点 沿逆时针方向按每秒 的速度旋转一周，同时三角板 绕着点
沿顺时针方向按每秒 的速度旋转（随三角板 停止而停止），请计算几秒时 与 的角
分线共线．25．某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，
在四边形 中， ， ，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补
四边形”的面积呢？
探究一：
（1）如图2，已知“等补四边形” ，若 ，将“等补四边形” 绕点 顺时针旋转 ，
可以形成一个直角梯形（如图3）．若 ， ，则“等补四边形”的面积为______
探究二：
（2）如图4，已知“等补四边形” ，若 ，将“等补四边形”绕点 顺时针旋转 ，再
将得到的四边形按上述方式旋转 ，可以形成一个等边三角形（如图5）．若 ， ，求
“等补四边形” 的面积．
探究三：
（3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道 ， 的长度，就可以求它的面积．
那么如图6，已知“等补四边形” ，连接 ，若 ， ， ，试求出“等补四
边形” 的面积（用含 ， 的代数式表示）．26．实践与探究
【问题提出】已知三条射线 、 、 ，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中
），我们称 、 、 组成的图形为“角分图形”．
【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含 角的直角三角板做分角实验.如图1，在
直线 上取一点 ，过点 作射线 ，使 ．将一直角三角板的直角顶点放在点 处，一边
在射线 上，另一边 在直线 的下方．
小明同学将图1中的三角板绕点 逆时针旋转 ，使一边 在 的内部，如图2．小明发现此时
、 、 组成的图形为“角分图形”，请说明理由．
【类比探究】
小亮同学将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，
发现射线 、 、 恰好构成“角分图形”，请求出 的值．
【问题拓展】
小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围.
