16.3二次根式的加减(精讲)-重要笔记八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_旧版-可参考_07专项讲练

16.3 二次根式的加减 1.同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根 式就叫做同类二次根式. 注意： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根 式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号 外的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根 式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 注意： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 1.与 不是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【分析】各项化简后，利用同类二次根式的概念进行判断． 【解答】解：A、原式＝ ＝ ，与 不是同类二次根式，故此选项符合题意； B、原式＝2 ，与 是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、原式＝3 ，与 是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、原式＝ ，与 是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】若最简二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式，则a的值是（ ） A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝2 D．a＝﹣2【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：a+1＝2a 解得：a＝1 故选：A． 【变式 1-2】若最简二次根式 和 能合并，则 a、b 的值分别是 （ ） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【分析】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即 可得到a与b的值． 【解答】解：∵最简二次根式 和 能合并， ∴ ，即 ， ①×2+②得：7a＝7， 解得：a＝1， 把a＝1代入②得：1+2b＝3， 解得：b＝1． 故选：D． 【变式1-3】当x＝ 时，最简二次根式﹣4 与3 能够合并． 【分析】根据同类二次根式能够合并得出x2﹣1＝x+1，求出方程的解，即可得出答案． 【解答】解：∵最简二次根式﹣4 与3 能够合并， ∴x2﹣1＝x+1， 解得：x ＝2，x ＝﹣1， 1 2 当x＝2或﹣1时，最简二次根式﹣4 与3 能够合并． 故答案为：2或﹣1． 二次根式的加减 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简 二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要 写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 2一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则它的周长为 ． 【分析】运用二次根式加减运算法则，化简为最简二次根式即可求解． 【解答】解：三角形的周长为： ＝2 +4 +5 ＝2 +9 ， 故答案为：2 +9 ． 【变式2-1】计算 （1） 4 ﹣ + ． （2） ． 【答案与解析】解：(1) 原式=4× ﹣3 +2 =2 ﹣3 +2 = ． （2）原式=2 +3 ﹣2 = ． 【变式2-2】计算: 【答案】 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后 算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适 用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.3.计算： （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【解析】 解：（1）原式= = ； （2）原式=1－12－(3+1－ ) =1－12－4+ =－15+ ． 【总结】二次根式仍然满足整式的运算规律,所以直接可用整式的运算规律． 【变式3-1】计算： （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【解析】 解：（1）原式= = ； （2）原式=1－12－(3+1－ ) =1－12－4+ =－15+ ． a 52 6,b 52 6 【变式3-2】计算： 已知 ，则 =_______, =________.【答案】1；10. 【解析】 【变式3-3】已知 求 的值。 【答案与解析】 所以原式= 二次根式简单的实际应用 4已知一个长方形面积是 ，宽是 ，则它的长是（ ） A．3 B． C．2 D．4 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵一个长方形面积是 ，宽是 ， ∴它的长是： ÷ ＝ ＝2 ． 故选：C． 【变式4-1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为 和 ，则这个直角三角形的面 积为（ ） A．16 B．8 C．163 D． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为： 和 ， ∴这个直角三角形的面积为： ． 故选：D． 【变式4-2】如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下 的阴影部分的面积为（ ） A．5 cm2 B．12cm2 C．8cm2 D．24cm2 【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，则可求最大的正方形的边 长为5 cm，再求面积即可． 【解答】解：∵小正方形的面积8cm2，∴小正方形的边长为2 cm， ∵大正方形的面积18cm2， ∴大正方形的边长为3 cm， ∵最外边的大正方形的边长为2 +3 ＝5 cm， ∴S＝（5 ）2＝50cm2， ∴S阴影 ＝50﹣8﹣18＝24cm2， 故选：D．