文档内容
第 11 讲 实际问题与二次函数（3 个知识点+3 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为
图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝ ．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝ ．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从
而获得最值．
知识点2．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．知识点3．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
题型强化
题型一．二次函数的最值
1．（2024•中江县一模）函数 的最小值是 ．
2．（2023秋•榆林期末）二次函数 在 的范围内有最小值为 ，则 的值为
A．3或 B． C． 或1 D．3
3．（2024•惠州校级开学）配方：
（1）若 ，则 ， ．
（2）如图，在△ 中， ， ， ，动点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动，动点 从点 开始沿边 以 的速度移动．如果 、 两点分别从 、 两点同时出
发，同时停止运动．设动点运动时间为 ，当 为何值时，△ 的面积最大？求该最大值．题型二．根据实际问题列二次函数关系式
4．（2023秋•江州区期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均 1人会传染 个人，若最初2个人感
染该病毒，经过两轮传染，共有 人感染，则 与 的函数关系式为
A． B． C． D．
5．（2024•衡阳模拟）衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟
品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以 30元 箱的价格购
进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元 箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，
决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润 （元 与每箱降价 （元 之间
的函数表达式为 ．
6．（2022秋•济南期末）如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面 的宽度为 ．这时．
拱高（点 到 的距离）为 ．
（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？
（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？题型三．二次函数的应用
7．（2024•岳麓区校级开学）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度 （米 与水平距
离 （米 之间的关系大致满足二次函数 ，则小朱本次投掷实心球的成绩为
8．（2023秋•和平区校级月考）如图，用总长度为 的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，
所有横档和竖档分别与 ， 平行，则矩形框架 的最大面积为
A． B． C． D．9．（2023秋•黔东南州月考）神舟十三号的3名航天员在轨时间长达六个月，备受世人关注．某商场销售
神舟十三号飞船模型，进价为每个80元，在市场销售中发现，此模型日销售量 （个 与销售单价 （元
满足一次函数关系，其部分对应关系如下表所示：
销售单 90 95 100 105 110
（元
价
销售量 50 45 40 35 30
（个
（1）请求出日销售量 关于销售单价 的函数关系式；
（2）若物价部门规定销售利润不高于进价的 ，当销售单价定为多少时，该商场每天销售神舟十三号
飞船模型的利润最大，最大利润是多少？
分层练习
一、单选题
1．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是 ，汽车
刹车后行驶的最远距离为 ，则a的值为（ ）
A． B． C． D．6
2．将一张边长为 的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为 的小正方形，然后折叠成一个无盖
的长方体．当 取下面哪个数值时，长方体的侧面积最大（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线是由 平移得到，它经过原点 ，且交x轴正半轴于点 ， 为 上一点， 为抛物线上一点，以 ， 为边构造 ，点 恰好落在抛物线上，连接 交 于点 ，若
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为 的商品，售价为 ，每星期可卖出 件，若每件商
品的售价每上涨 元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨 元（ 为正整数），每星期销
售该商品的利润为 元，则 与 的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处
达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心 ，水管的长为（ ）
A． B． C． D．
6．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火
箭”的升空高度 与飞行时间 满足函数表达式 ．已知“水火箭”飞行 和飞行 时
的升空高度相同，飞行 时的升空高度为 ，则“水火箭”升空的最大高度为（ ）A． B． C． D．
7．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数
量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．1.2 B． C． D．
8．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关
于 轴对称， 轴， ，最低点 在 轴上，高 ， ，则右轮廓 所在
抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ，当水面宽增加 时，则水面应
下降的高度是（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 和 都是边长为 的等边三角形，它们的边 ， 在同一条直线 上，点 ，
重合．现将 沿着直线 向右移动，当点 与 重合时停止移动．在此过程中，设点 移动的距离为
，两个三角形重叠部分的面积为 ，则 随 变化的函数图象大致为（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
11．汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是 ，汽
车刹车后到停下来前进的距离是 m．
12．某商店 月份的利润是 万元， ， 月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为 ， 月份
的利润为 ，则 关于 的函数关系式是 ．
13．某广告公司设计一块周长为 米的矩形广告牌，设矩形的一边长为 米，广告牌的面积为 平方米，
则广告牌的面积 与 的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ．
14．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑 ，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．
如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，
水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 ．则 的长为 ．
15．某商店以40元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售时，一周内可销售 件；当售价每提高
元时，其周售量就会减少 件．若设每件售价为 元，总利润是 元，则 关于 的函数解析式为 ．
16．已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为 ，当水面宽度 为
时，水面与桥拱顶的高度 等于 ．17．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度 与水平距离 之间的关系是 ，则此运动员
将铅球推出的距离是 ．
18．如图，在菱形 中， ， ，点 同时从点 出发，点 以 的速度沿
的方向运动，点 以 的速度沿 的方向运动，当其中一点到达点 时，
两点停止运动．设运动时间为 ， 的面积为 ，则 关于 的函数关系的是 ．
三、解答题
19．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率
为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式．20．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的
销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系： ．设这种双肩包每
天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数解析式；
(2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销
售利润，销售单价应定为多少元？
21．足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为
6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以 为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高 为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）22．如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽 ，水位上升 ，就达到警戒水
位CD，这时水面宽 ，求CD到桥拱顶的距离．
23．如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 ，这个矩形的长、宽各为多少
时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
24．某中学建有一处劳动实践基地，今年计划将其中 的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/ ）与其种植面积x（单位： ）的函数关系如图所示，其中
；乙种蔬菜的种植成本为50元/ ．
(1)设今年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，则如何分配两种蔬菜的种植面积才能使W的值最小？
(2)学校计划今后每年在这 土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下
降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 ，乙种蔬菜种植成本平均每年下降 ，当a为何值时后年的
总种植成本为28 920元？
25．配方
(1)若 ，则 ________， ________；
(2)如图，在 中， ， ， ，动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度
移动，动点 从点 开始沿边 以 的速度移动．如果 、 两点分别从 、 两点同时出发，同时
停止运动．设动点运动时间为 ，当 为何值时， 的面积最大？求该最大值．26．某游乐园有一个直径为 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距
水池中心 米处达到最高，高度为 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所
示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式．
(2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，
各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的
最大高度？
