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第十九章 一次函数
第3课时19.2.2 一次函数
一、温故知新（导）
1、练习：
（1） 一般地，形如 y=kx+b( k ， b 是常数， k ≠ 0 ) 的函数，叫做一次函数.
（2）已知一次函数y=2x-4的图像过点（m，8），则m＝ 6 .
（3）若一次函数y=kx+4与y=-3x-2的图象互相平行，则k= - 3 .
（4）已知一次函数解析式为 y= -2x-3，若函数图象向上平移4个单位长度，得到直线 y=-2x+ 1
.
2、如何画出一次函数y=-2x+3的图象？
两点法----两点确定一条直线
反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？这是今天我们要
学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1．学会用待定系数法求一次函数解析式；
2．了解分段函数的表示及其图象；能初步应用一次函数模型解决现实生活中的问题，体会一次函数
的应用价值．
学习重难点
重点：用待定系数法求一次函数解析式，初步了解分段函数；
难点：能用待定系数法解决简单的实际问题.
二、自我挑战（思）
1、如图，已知一次函数的图象经过A（0，-2），B（1，2）
两点. 怎样确定这个一次函数的解析式呢？
（1）分析：求一次函数y=kx+b的解析式,关键是求出k和b的值.从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组，并求出k、b.
（2）一次函数的图象过点A（0，-2）与B（1，2），因此这两点的坐标满足一次函数y=kx+b.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
∵A（0，-2）、B（1，2）都在该函数图象上，
{k·0 + b = −2
∴
k + b = 2
{ k=4
解这个方程组，得
b=−2
∴这个一次函数的解析式为y = 4x- 2.
2、用待定系数法求一次函数的解析式
像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求
出函数解析式的方法称为待定系数法.
三、互动质疑（议、展）
1、实例：
例4 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）.
因为y=kx+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以
{ 3k+b=5
−4k+b=−9
{ k=2
解方程组，得
b=−1
这个一次函数的解析式为y = 2x- 1.
2、求一次函数解析式的步骤：
（1）设：设一次函数的一般形式 y=kx+b( k ≠ 0 ) ；
（2）列：把图象上的点（x,y），（x,y） 代入一次函数的解析式，组成 二元一次 方程组；
1 1 2 2
（3）解：解二元一次方程组得k，b；
（4）还原：把k，b的值代入一次函数的解析式.
3、归纳总结：通过前面的学习，我们知道了函数解析式和图象可以相互转化.
4、例5 “黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买2 kg以上的种子，超过2 kg部分的
种子的价格打8折．
(1)填写下表：
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 …(2)写出购买种子数量（单位：kg）与付款金额（单位：元）
之间的函数解析式，并画出函数图象．
解：（1）
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 …
（2）设购买量为xkg，付款金额为y元.
当0≤x≤2时，y=5x；
当x＞2时，y=2×5+(x2)×5×0.8=4x+2.
函数图像如图19.2-5，
图12.9-5
①y与x的函数解析式也可合起来表示为
y=
{ 5x (0≤x≤2)
4x+2 (x＞2)
②思考：你能从上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？
(1)一次购买1.5kg种子，需付款多少元？(2)一次购买3kg种子，需付款多少元？
解：由函数图象也能解决这些问题.
分别过x轴上表示数1.5和3的点作x轴的垂线，与函数图象交于两点，这两点的纵坐标就是需付款
的钱数.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、一个正比例函数的图象过点（-2，3），它的表达式为（ ）
3 2 3 2
A．y＝− x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝− x
2 3 2 3
1、解：设函数的解析式是y=kx.
根据题意得：-2k=3．
3 3
解得：k=- ．故函数的解析式是：y=- x.故选：A．
2 2
2、已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值：
x … -2 1 3 …
-
y … 7 -8 …
2
则y与x的函数表达式为（ ）
A．y=-2x+1 B．y=2x-3 C．y=3x-1 D．y=-3x+1
2、解：设y与x的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
{−2k+b＝7
将（-2，7），（1，-2）代入y=kx+b得： ，
k+b＝−2
{k＝−3
解得： ，
b＝1
∴y与x的函数表达式为y=-3x+1．
故选：D．
3、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．k=2 B．b=1
C．y随x的增大而减小 D．函数的图象不经过第三象限
{b＝−2
3、解：将（0，-2），（1，0）代入y=kx+b得： ，
k+b＝0
{ k=2
解得： ，
b=−2∴选项A符合题意，选项B不符合题意；
C．观察函数图象，可知y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D．观察函数图象，可知函数的图象不经过第二象限，选项 D不符合题意．
故选：A．
4、根据图象，求此直线解析式是 ．
4、解：设直线解析式为y=kx+b,
{k+b＝2
把（1，2）、（3，0）代入y=kx+b得 ，
3k+b＝0
{k＝−1
解得 ，
b＝3
∴直线解析式为y=-x+3；
故答案为：y=-x+3．
5、已知一次函数y=kx-11k,当-4≤x≤6时，3≤y≤9，则k的值为 ．
5、解：当k＞0时，y随x的增大而增大，
∴x=-4，y=3，
∴-4k-11k=3，
1
解得k=- （不合题意，舍去），
5
当k＜0时，y随x的增大而减小，
∴x=-4时，y=9；x=6时，x=3；
∴-4k-11k=9，
3 3
∴k=- ，故答案为：- ．
5 5
6、一次函数经过点（1，2）、点（-1，6），
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求这个一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．
6、解：（1）设这个一次函数的解析式为 y=kx+b,
将点（1，2），（-1，6）代入，
{ k+b＝2
得 ，
−k+b＝6
{k＝−2
解得 ，
b＝4
∴这个一次函数的解析式为：y=-2x+4；
（2）假设这个一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，得y=4，
令y=0，得x=2，
∴A（2，0），B（0，4），
∴S =2×4÷2=4，
△AOB
∴这个一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积是 4．六、用
（一）必做题
1、已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（ ）
x
A．y=x B．y=-x C．y=-3x D．y=-
3
1、解：设函数解析式为y=kx（k≠0），
∵图象经过（3，-3），
∴-3=k×3，
解得k=-1，
∴这个函数的关系式为y=-x,
故选：B．
2、如图，长方形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA=1，OC=2，点D的坐标为
（0，4）．则直线BD的函数表达式为（ ）
A．y=-x+2 B．y=-2x+4 C．y=-x+3 D．y=2x+4
2、解：∵长方形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA=1，OC=2，
∴BC=OA=1，AB=OC=2，即B（1，2），
设直线BD解析式为y=kx+b,
{k+b＝2
把B（1，2）与D（0，4）代入得： ，
b＝4
{k＝−2
解得： ，
b＝4
则直线BD解析式为y=-2x+4．
故选：B．
3、已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，
则一次函数的解析式为（ ）
A．y=x+2 B．y=-x+2 C．y=x+2或y=-x+2 D．y=-x+2或y=x-2
3、解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），
∴b=2，
2
令y=0，则x=- ，
k∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为 2，
1 2 2
∴ ×2×|- |=2，即| |=2，
2 k k
解得：k=±1，
则函数的解析式是y=x+2或y=-x+2．
故选：C．
4、一次函数y=kx+b的图象经过A（1，1），B（2，-1）两点，则这个函数的表达式为
.
4、解：∵一次函数y=kx+b的图象经过A（1，1），B（2，-1）两点，
{ k+b＝1
∴ ，
2k+b＝−1
{ b＝3
解得： ，
k＝−2
∴该一次函数的解析式为：y=-2x+3．
5、在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 A（-2，1），B（0，
5）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若这个一次函数的图象与 x轴的交点为C，求△AOC的面积．
5、解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（-2，1），B（0，5）．
{−2k+b＝1
∴ ，
b＝5
{k=2
解得： ，
b=5
∴这个一次函数的解析式为：y=2x+5．
5
（2）令y=0，则2x+5=0，解得x＝− ，
2
5
∴C(− ，0)，
2
∵A（-2，1）．
1 5 5
∴S ＝ × ×1＝ ．
△AOC
2 2 4
（二）选做题
6、如图，已知直线 l：y=kx+b 与 x 轴、轴分别交于 A，B 两点，且 OA=2OB=8，x 轴上一点
C的坐标为（6，0），P是直线l上一点．
（1）求直线l的函数表达式；（2）连接OP和CP，当点P的横坐标为2时，求△COP的面积．
6、解：（1）∵OA=2OB=8，
∴A（8，0），B（0，4），
∵y=kx+b的图象过点A、B，
{0＝8k+b
∴ ，
4＝b
{ 1
k=−
解得： 2，
b=4
1
∴直线l的函数表达式为y＝− x+4；
2
（2）∵P是直线l上一点，点P的横坐标为2，
1
∴点P的纵坐标为− ×2+4=3，
2
∵C（6，0），
∴OC=6，
1 1
∴S ＝ OC•|y |= ×6×3=9．
△COP
2
P
2
7、在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过 A（-2，0），B（1，
3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式：
（2）画出一次函数y=kx+b的图象；
（3）若点C是x轴上一点，△ABC的面积是6，求点C的坐标．
{−2k+b＝0
7、解：（1）把A（-2，0），B（1，3）两点代入y=kx+b得 ，
k+b＝3
{k=1
解得 ，
b=2
则一次函数解析式为y=x+2；
（2）画出函数y=x+2的图象如图：（3）设C（x,0），则有AC=|x+2|，
1
∵S =
△ABC 2
1
AC•OB=6，即 |x+2|×3=6，
2
∴|x+2|=4，
解得：x=2或x=-6，
则C的坐标为（2，0）或（-6，0）．
