文档内容
第 14 讲 乘法公式（5 个知识点+5 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项
分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全
平方公式．
知识点2．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式
做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b
的长方形的面积和作为相等关系）
知识点3．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则
称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，
就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的 2倍中间放，符号随
中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以 2，然后把这个数放在两数的乘方的
中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，
后边的符号都用+）”
知识点4．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
知识点5．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出
几何解释．
题型强化
题型一．完全平方公式
1．（2024秋•朝阳区校级月考）已知 ，则代数式 的值是
A．16 B．20 C．25 D．30
2．（2024秋•沈丘县校级月考）若 与 互为倒数，则 的值为 ．
3．（2024•和平区校级开学）（1）已知 ， ，则 的值为 ．
（2）已知 ， ，则 ．
（3）已知 满足 ，则 的值为 ．
题型二．完全平方公式的几何背景
4．（2023秋•凉州区期末）如图，两个正方形的边长分别为 和 ，如果 ， ，那么阴影部分的面积是
A．5 B．10 C．20 D．30
5．（2024•沙坪坝区校级开学）如图，分别以长方形 的 ， 为边向外作正方形 和正方
形 ，延长 ， 交于点 ，若正方形 和正方形 的面积和为27，长方形 的
面积为11，则正方形 的周长为 ．
6．（2024春•东平县期末）图1在一个长为 ，宽为 的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长
方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 ；
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示；
（3）如图3，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，
面积分别是 和 ，设 ，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分面积．题型三．完全平方式
7．（2024秋•绿园区校级月考）如果 是关于 ， 的完全平方式，则 的值是
A． B． C．20 D．无法确定
8．（2024春•龙岗区校级期中）关于 的二次三项式 是一个完全平方式，则 ．
9．（2024•三元区一模）综合与实践
如图1，有 型， 型正方形卡片和 型长方形卡片各若干张．
（1）用1张 型卡片，2张 型卡片，3张 型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方
形面积，可以得到一个等式，请你写出该等式： ；
（2）选取1张 型卡片，8张 型卡片， 张 型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含
， 的式子表示为 ；
（3）如图3，正方形边长分别为 ， ，已知 ， ，求阴影部分的面积．题型四．平方差公式
10．（2024春•紫金县期末）下列各式中，可以用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
11．（2024秋•德惠市校级月考）下列多项式中① ，② ，③ ，
④ 能用平方差公式计算的： （填写正确结论的序号）．
12．（2024秋•内乡县校级月考）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．题型五．平方差公式的几何背景
13．（2023秋•西山区校级期末）如图的面积关系，可以得到的恒等式是
A． B．
C． D．
14．（2023秋•文峰区期末）如图，从边长为 的正方形中去掉一个边长为 的小正方形，然后将剩余部
分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 ．
15．（2023秋•临颍县期末）实践与探索
如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所
示）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
．
．
．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 ．
②计算： ．
分层练习
一、单选题
1．已知 ， ，则 的值是（ ）
A．1 B．6 C．10 D．11
2．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）A．（2a+b）（a﹣2b） B．（a﹣2b）（2b﹣a）
C．（2a﹣b）（﹣2a+b） D．（b﹣2a）（﹣2a﹣b）
3．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．2
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．16 C．20 D．以上答案均不对
6．下列计算中，正确的是（ ）
A．﹣a（3a2﹣1）＝﹣3a3﹣a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣2a﹣3）（2a﹣3）＝9﹣4a2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣2ab+b2
7．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．计算 的值是（）
A． B． C． D．
9．已知实数m，n满足m﹣n2=2，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（ ）
A．-14 B．11 C．8 D．-6
10．如图，在边长为x的正方形纸片中间剪去一个边长为（a+2）的小正方形，将剩余部分剪开拼成一个不
重叠，且无缝隙的平行四边形．若平行四边形的面积为 ，则原正方形纸片的边长x为（ ）
A． B．
C． D．二、填空题
11． ＝ ．
12．已知 ， ，则 ．
13．边长为 和 的长方形，周长为14，面积为10，则 .
14．若二次三项式 是一个关于 的完全平方式，则 .
15．已知x2＋3x＋1＝0，则x2＋ ＝ ．
16．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为 ．
17．已知关于x，y的方程组 ，其中a是实数．
（1）若x＝y，则a＝ ．
（2）若代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，则k＝ ．
18．如图，由一个边长为 的小正方形与两个长、宽分别为 、 的小矩形拼接成矩形 ，则整个图
形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出图中能表达的任意三个等式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
三、解答题
19．先化简，再求值： ，其中 ．
20．植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验．其中长方形花坛每排种植 株，种植了 排，正方形花坛每排种植 株，种植了 排 ．
(1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？
(2)当 时，这两块花坛一共种植了多少株？
21．小玲是某校七年级的学生，她家有一块正方形的菜地，因为修高铁，把这块菜地的东边缩短了 ．
老村长建议在这块菜地（缩短后）的南边加长 ，小玲的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，
而小玲却提出了反对意见，认为这样她家这块菜地的面积减少了 ．你认为小玲的说法正确吗？为什
么？22．一天，王明和李玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某
些等式．比如图②可以解释为：
（1）图③可以解释的等式为： ．
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图①所示的 _____块， _____块，
_____块．
（3）请写出图④解释的一个等式，并说明等式成立的理由．
23．如图，将一张大长方形纸板按图所示裁剪成9块，其中有2块是边长为a的大正方形，5块长为a，宽
为b的相同的小长方形
(1)观察图形，可以根据图形的面积因式分解： ；(2)若 ， ，求图中空白部分的面积．
24．综合实践：如图1，长方形的两边长分别为 ， ；如图2，长方形的两边长分别为 ，
．（其中m为正整数）
(1)图1中长方形的面积 ______；图2中长方形的面积 ______．
(2)现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．
①正方形的边长为_____；（用含m的代数式表示．）
②探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积 的差（即 ）是个常数，并求出这个常数．
（提示： ）
25．（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．
① ；② ；③ ；④ ．
（2）请在图④画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达： ．
（3）利用（2）的结论计算4.232+8.46×5.77+5.772的值．
26．二次根式对于数学学习具有重要的意义，跟着小华的脚步，完成二次根式之美——最值导学案．
【极值定律之美】小华发现，平方数具有非负性可以推出许多有用的结论，例如： ，
．
(1)证明：对于任意正实数 ， ，都有 ．
(2)求 的最大值，并标明等号成立的条件．
【数形结合之美】小华在研究二次根式最值问题时，发现运用图像能够更加方便的解决．如图1直观的证
明了 ．
(3)如图2，在 轴及 轴的负半轴上给定两点A(a,0)， 点 是第一象限上的一个动点 ，过
点向坐标轴作垂线，分别交 轴和 轴于 ， 两点， 是直线 上一点，满足 （ 是给定
的）．求 的最小值及条件，并给出证明．
(4)如图3，四边形 的对角线 ， 相交于点 ， ， 的面积分别是 和 ，求
的最小值．
【抽象代数之美】小华发现：对多个元的代数问题，需要一些游刃有余的处理．
(5)设 ， ， ， 都是正数
证明：．
