文档内容
第 06 讲 二次函数（1 个知识点+4 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫
做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是
常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先
将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实
际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
题型强化
题型一．二次函数的定义
1．（2023秋•城关区校级期末）在下列 关于 的函数中，一定是二次函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的定义分别判断即可．
【解答】解： 、 是二次函数，故此选项符合题意；
、 不是二次函数，故此选项不符合题意；
、 ，当 时，不是二次函数，故此选项不符合题意；、 不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如
、 、 是常数， 的函数，叫做二次函数．
2．（2023秋•丰顺县期末）若函数 为关于 的二次函数，则 的值为 2
．
【分析】首先根据二次函数的定义得 且 ，由此解出 即可．
【解答】解： 函数 为关于 的二次函数，
且 ，
由 ，解得： ，
由 ，解得： 或 ，
综上所述： 的值为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键．
3．（2023秋•岷县期中）已知函数 （其中 ．
（1）当 为何值时， 是 的二次函数？
（2）当 为何值时， 是 的一次函数？
【分析】（1）根据二次函数的定义得到得 且 ，然后解不等式和方
程即可得到满足条件的 的值；
（2）根据一次函数的定义分类讨论：当 时， 是 的一次函数；当
且 时， 是 的一次函数；当 且 时， 是 的一次
函数，然后分别解方程或不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得 且 ，解得 ，
即当 为2时， 是 的二次函数；
（2）当 时，即 时， 是 的一次函数；
当 且 时， 是 的一次函数，解得 ；
当 且 时， 是 的一次函数，解得 ；
即当 为 或 或 时， 是 的一次函数．
【点评】本考查了二次函数的定义：一般地，形如 、 、 是常数，
的函数，叫做二次函数．其中 、 是变量， 、 、 是常量， 是二次项系数，
是一次项系数， 是常数项． 、 、 是常数， 也叫做二次函数
的一般形式．也考查了一次函数的定义．
题型二、列二次函数关系式
4．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y
与x之间的关系式是 ．
【答案】 /
【分析】根据增加的面积等于新正方形的面积减去边长为1的正方形的面积，求出即可．
【详解】由题意得：
．
故答案为： ．
5．（22-23九年级上·北京平谷·期末）如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验
研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系C．一次函数关系 D．二次函数关系
【答案】D
【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得： ，
整理得： ，
∴I与v的函数关系为二次函数关系；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正
确的函数函数关系式．
6．（20-21九年级上·全国·课后作业）圆的半径为 ，若半径增加 ，则面积增加 ．求
与 的函数关系式．
【答案】 ．
【分析】根据圆的面积公式S＝πr2，进行计算求解．
【详解】由题意得： ，
即： ．
【点睛】本题考查解析式法表示变量间的关系，熟练掌握圆的面积公式是关键．
题型三、二次函数的识别
7．（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的识别，直接利用二次函数解析式的一般形式
进行分析得出答案．
【详解】解：A、 ，是一次函数，故此选项不符合题意；B、 ，是二次函数，故此选项符合题意；
C、 ，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、 ，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
8．（21-22九年级上·云南大理·期中）在二次函数 中，二次项系数、一次项系数、
常数项的和为 ．
【答案】0
【分析】分别得出二次项系数，一次项系数和常数项相加即可；
【详解】∵ ，
∴二次项系数为 ，一次项系数为0，常数项为1，
∴ ；
故答案是0．
【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的认识，准确分析判断是解题的关键．
9．（20-21九年级下·全国·课后作业）下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？
．
【答案】 和 是二次函数
【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解： 是 关于 的二次函数；
不是二次函数；
是一次函数，不是二次函数；
是 关于 的二次函数，
故 和 是二次函数．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握其定义：一般地，形如、 、 是常数， 的函数，叫做二次函数．其中 、 是变量， 、
、 是常量， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 、 、
是常数， 也叫做二次函数的一般形式．
题型四、根据二次函数的定义求参数
10．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线 经过原点，那么
a的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．35
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把 代入函数解析式，求解关于a的
一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 经过原点，
∴ ，解得： ，
故选C．
11．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知函数 是二次函数，则常数
a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义：一般地，形如 （a、b、c是常数， ）的函数，叫
做二次函数，可得 ，进一步求解即可．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．12．（19-20九年级上·全国·单元测试）若函数 是二次函数．
(1)求 的值．
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据二次函数的定义解答即可求解；
（ ）把 代入（ ）中所得的函数解析式计算即可求解；
本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得， ，且 ，
解得 ；
（2）解：把 代入 得， ，
∴当 时， ．
分层练习
一、单选题
1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的一般形式：形如 （a，
b，c为常数且 ），逐一判断即可解答．
【详解】解：A、 ，是二次函数，故A不符合题意；
B、 ，不是二次函数，故B不符合题意；
C、 ，是一次函数，故C不符合题意；D、 ，是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
2．如图，一个正方体的边长为 ，它的表面积为 ，则y与x的函数关系式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是
该正方体的表面积．
【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，
∴表面积 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．
3．下列是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键；
根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数
叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因
变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项解答即可
【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意；
B． ，不符合二次函数的定义，故该选项不符
合题意；
C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；
D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；
故选：A．
4．若 是二次函数，则 （ ）
A．7 B．
C． 或7 D．以上都不对
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，求参数，根据二次函数的定义得出关于m的不等式和
方程，求出m的值即可．
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ 且 ，
解得 ．
故选：D．
5．当函数 是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义进行解答即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故选：C．
6．已知 是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出 且 ，再求
出答案即可．
【详解】解： ，是关于x的二次函数，
且 ，
，
故选：B．
7．正方形的边长为3，若边长增加 ，则面积增加 ， 与 的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先表示出原边长为3的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再
根据面积随之增加y列出方程即可．
【详解】解：原边长为3的正方形面积为： ，
边长增加 后边长变为： ，
则面积为： ，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出正方
形的面积．
8．下列函数关系式中：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
；（5） ；（6） ；二次函数的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 为常数， 的
函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关
系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成 为常数， 的形
式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：（1） 是二次函数，故符合题意；
（2） ，不是二次函数，故不符合题意；
（3） 是二次函数，故符合题意；
（4） 不是二次函数，故不符合题意；
（5） 不是二次函数，故不符合题意；
（6） ，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
9．如图，在 中， ．动点M，N分别从A，点M从点A开
始沿边 向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿 向点B以每秒2
个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y， 的面积为S，则
y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D【分析】本题考查了一次函数，二次函数．熟练掌握一次函数、二次函数的定义是解题的
关键．
根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ， ，
∴y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
10．如图， 是等腰直角三角形， ， ，点 为边 上一点，
过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，点 从点 出发沿 运动至点 ．
设 ， ，四边形 的面积为 ，在运动过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
【答案】A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的
定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得 ，再由 ，
，推出 和 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，进而可得y与
x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值．
【详解】解： 是等腰直角三角形， ，
，
， ，
和 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，， ，
，
即 ，
y与x满足一次函数关系，
，最大值为1，
S与x满足二次函数关系，且S存在最大值．
故选：A．
二、填空题
11．抛物线 是二次函数，则m= ．
【答案】3
【分析】本题考查二次函数的定义，形如“ (a、b、c是常数，且 )”的函
数就是二次函数，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值．
【详解】解：∵抛物线 是二次函数，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
12．把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为
，常数项为 ．
【答案】 －16 12
【解析】略
13．已知函数 ，当 时，它是二次函数．
【答案】1
【分析】根据形如 的函数是二次函数，以此计算即可．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的
关键．【详解】解：∵ 是关于x的二次函数，
∴ ，且 ，
解得 或 ，且 ，
∴ ．
故答案为：1．
14．正方形边长 ，若边长增加 ，增加后正方形的面积为 ， 与 的函数关系式为
．
【答案】 /
【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
故答案为： ．
15．长方形的周长为 ，其中一边 ，面积为 ，那么 与 的关系
是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次函数解析式，解题关键是利用长方形的面积公式求得答案．
根据长方形的面积公式即可获得y与x的关系式．
【详解】解： 长方形的周长为 ，其中一边 ，
另一边长为 ，
，
故答案为： ．
16．在函数① ，② ，③ ，④ 中，y关
于x的二次函数是 ．（填写序号）
【答案】④
【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如 是二次函数，可得答案．
【详解】解：① 时 是一次函数，
② 是一次函数；
③ 不是整式，不是二次函数；
④ 是二次函数，
故答案为：④．
17．某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的
产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本
题的关键．两年后的产值=本年度的产值 增长率 ，把相关数值代入即可．
【详解】解：第一年度的产值为 ，
∴第二年度的产值为 ，
∴ ．
故答案为：
18．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第 个图形
中点的个数 与 的关系式是 ，它是 函数．【答案】 二次
【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发
现规律是解题的关键．
先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可．
【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点
数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是 ，因此
，它是二次函数．
故答案为： ，二次．
三、解答题
19．若关于 的函数 是二次函数，其图象开口向下，求 的值．
【答案】
【分析】
本题考查了二次函数的定义以及图象性质、因式分解法解一元二次方程，根据二次函数的
定义，得 ，以及开口向下得 ，进行计算即可作答．
【详解】
解： 函数 是二次函数，其图象开口向下，
， ，
，
解得 ， ，
∵ ，
．
20．已知函数 ．
(1)若是一次函数，求 的值；
(2)若是二次函数，求 的值满足什么条件．
【答案】(1)(2) 且
【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；
（2）由二次函数的定义求解可得．
【详解】（1）若这个函数是一次函数，
则 且 ，
解得 ；
（2）若这个函数是二次函数，
则 ，
解得 且 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．
21．已知函数 ，
(1)当 为何值时，此函数是一次函数？
(2)当 为何值时，此函数是二次函数？
【答案】(1)
(2) 且
【分析】（1）一般地，形如 （ ， 为常数）的函数，叫做一次函数，根
据一次函数的定义进行作答即可．
（2）形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫二次函数．根据二次函
数的定义进行作答即可．
【详解】（1）解：若函数 为一次函数，
则有 ，
解得 ，
所以，当 时，此函数是一次函数；
（2）解：若函数 为二次函数，
则有 ，解得 且 ，
所以，当 且 时，此函数是二次函数．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义、解一元二次方程及解不等式等知识，
理解并掌握一次函数和二次函数的定义是解题关键．
22．已知方程 （m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2) ， 是原方程的两根，且 ，求m的值．
(3)若函数 （m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一
个定点，求定点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) 的值为1
(3)该函数图像始终过定点
【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关
系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是
解答本题的关键．
（1）用根的判别式即可解答．
（2）根据根与系数关系得到 ，整体代入解方程求出即可；
（3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点．
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解： ， 是原方程的两根，
，，
，
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
的值为1；
（3）解： ．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以 ，
解得 ，
当 时， ，
所以该函数图像始终过定点 ．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC= ．动点P从点A出发，沿AB以
每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），
作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1） ；（2） ；（3）当0＜t≤1时， ，当1＜t＜2时，
.【分析】（1）先证明 ，再由勾股定理，即可求解；
（2）由点Q与点C重合，可得2AD=AC，从而 ，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当0＜t≤1时；当1＜t＜2时，即可求解．
【详解】解：（1）∵PD⊥AC，
∴ ，
∵∠A=45°，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∵点P的运动时间为t秒，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B
运动，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∵AC= ，
∴ ；
（2）∵PD⊥AC，∠A=∠DPQ=45°，
∴∠A=∠PQD=45°，
∴PA=PQ，
∴AD=DQ ，
∵点Q与点C重合，
∴AD+DQ=AC，
∴2AD=AC，
即 ，
解得 ；
（3）①当0＜t≤1时，
，②当1＜t＜2时，如图，设PQ交BC于点E，则 ，
，
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，动点问题，理解题意，利用方程思想
解答问题是解题的关键．
24．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长
，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为 ，且在 边上开一扇长为 的
门 ，在 边上开一扇长为 的门 ，若设鸡场的 长为 ．
(1) 的长为_____________（用含 的代数式表示）
(2)若两个鸡场的总面积为 ，求S与 的函数关系式
(3)能否围成总面积为 的两个长方形养鸡场？若能，求出 的长；若不能，请说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能； 的长为【分析】（1）根据长方形的周长公式，表示出 的长即可；
（2）根据长方形面积公式求出S与 的函数关系式即可；
（3）根据“鸡场的总面积为 ”，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：∵篱笆总长为 ，鸡场的 长为 ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解： ，
答：S与 的函数关系式为 ．
（3）解：能围成总面积为 的两个长方形养鸡场；
根据题意得： ，
解得： ， ，
∵墙的长度 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 不符合题意舍去，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程和不等式组的应用，列代数式，求二次函数解析式，解
题的关键是理解题意，设出宽表示出长，根据数量关系，列出方程．
25．如图，在 中， ， ， ，现有一个动点P从点A
出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿
CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当 时，求线段PQ的长；
（3）当t为何值时， ？
【答案】（1） ；（2） ；（3）当t为2或3时， ．
【分析】（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用
含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可；
（2）当 时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ；
（3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由条件可得： ， ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）当 时， ， ，
∴ ；
（3）由题意可得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∴当t为2或3时， ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键．26．作图并完成解答：
(1)在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：
①连接AM，作线段M的垂直平分线 ，（要求尺规作图，保留作图痕迹）过M作x轴的
垂线 ，记 ， 的交点为P．②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点
P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
(2)对于曲线上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是 ，求y与x
的函数关系式．
【答案】(1)见解析；
(2)PA=PM， ．
【分析】（1）根据题意，多取几个M点画出图形即可；
（2）连接AP，过点A作AN⊥PM，根据线段垂直平分线的性质得出AP=PM=y，再由勾股
定理即可得出．
【详解】（1）解：如图所示：（2） ；
∵P在AM的垂直平分线上
∴ ，
∵P点坐标为 ， 轴
∴ ，
由勾股定理知： 或
∴ 或
∴关系式： ．
【点睛】此题考出来复杂作图，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形
是解题的关键．
