文档内容
第 16 讲 分式（9 个知识点+9 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括
号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是 的形式，从
本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x+ +2是分式，如果形式都不是 的形式，那就不能算是分式了，如：
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式
如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝ 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．知识点2．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
知识点3．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
知识点4．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知
条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
知识点5．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母
中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值
不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符
号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
知识点6．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的
最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
知识点7．通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫
做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简
公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中
不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
知识点8．最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
知识点9．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高
次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字
系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
题型强化
题型一．分式的定义
1．（2024秋•桥西区校级月考）在 ， ， ， ， ， ，分式的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
【解答】解： 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
分母中含有字母，因此是分式．
故选： ．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握定义是关键．
2．（2023秋•德惠市期末）在代数式 ， ， ， ， 中，是分式的有 个．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：在代数式 ， ， ， ， 中，是分式的有 ， ，
故答案为：2
【点评】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式
子 叫做分式是解答此题的关键．
3．下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？
， ， ， ， ， ．
【分析】根据分式和整式的定义求解即可．
【解答】解：分式有 、 、 ，
整式有 、 、 ．
【点评】本题主要考查分式和整式的定义，解题的关键是掌握如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字
母，那么式子 叫做分式；单项式和多项式统称为整式．
题型二．分式有意义的条件
4．（2024秋•故城县月考）已知： ， ，关于下列两个说法，判断正确的是①若 有意义，则 ；
②设 ，当 为正整数时， 的值为3或5
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确
【分析】根据分式有意义的条件即可判断①；
先表示出 ，再表示成 ，根据 为正整数，即可确定 的值，进而可以判断②．
【解答】解：根据题意可知，如果 有意义，则 ，
即 ；
所以①正确；
根据题意，把 ， ，代入 ，
可得： ，且 为正整数，
是3的因数，
即 或 ，
得： 或1或5或 ；
但当 时， ，不合题意，其它三个符合题意；
故②错误．
故选： ．
【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是求解本题的关键．
5．（2024•株洲模拟）要使分式 有意义，则 的取值范围是 ．
【分析】直接利用分式的有意义的条件分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：依题意得： ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了分式的有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
6．（2023秋•淄川区期末）一个分子为 的分式，在 时有意义，请写出一个符合上述条件的分式：
．【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解： 一个分子为 的分式，在 时有意义，
分式可以为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件及分式的定义，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的
关键．
题型三．分式的值为零的条件
7．（2023秋•松北区期末）若分式 等于零，则 的值是
A． B． C． D．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解： 分式 等于零，
且 ，
解得 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了分式值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
8．（2022秋•双牌县校级期中）已知关于 的分式 ，求下列问题：
（1）当 满足什么条件，分式无意义；
（2）当 满足什么条件，分式有意义；
（3）当 满足什么条件，分式的值等于0．
【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可；
（2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可；
（3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可．
【解答】解：（1）由题可得 ，
解得： 或 ，当 或 时，分式 无意义；
（2）由题可得 ，
解得： 且 ，
当 且 时，分式 有意义；
（3）由题可得 ，
解得 ，
当 时，分式 的值等于0．
【点评】本题考查分式有意义的条件，分式的值为 0的条件，掌握分式值为0时分子为零而分母不为零的
条件是解题的关键．
9．（2023秋•监利市期末）分式 的值为0，则 的值为 ．
【分析】根据分式的值为零的条件解答即可．
【解答】解： 分式 的值为0，
且 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题
的关键．
题型四．分式的值
10．（2024•古浪县二模）若分式 的值为负数，则 的取值范围是
A． 为任意数 B． C． D．
【分析】两数相除，异号得负，而分母恒为正，只需分子是负数即可，列出不等式求解即可．【解答】解： ，分式的值为负数，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了分式的值为负数的条件，根据除法法则，列出不等式时解题的关键．
11．（2024春•景德镇期末）已知 为整数，且分式 的值为正整数，则 可取的值有 ．
【分析】先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到 的取值，进而可求解．
【解答】解：
，
为整数，且分式 即 的值为正整数，
可取的值有2，3，5，
故答案为：2，3，5．
【点评】本题考查分式的值，熟记分式的性质是解答此题的关键．
12．（2023秋•定陶区期末）阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值．
解： 知 ，所以 ，即 ．
所以 ．
故 的值为 ．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知： ，求 的值．
【分析】根据题意给出的倒数法即可求出答案．
【解答】解： ，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查分式的值，解题的关键是正确理解倒数法，本题属于基础题型．
题型五．分式的基本性质
13．（2024•九龙坡区校级开学）下列分式的变形中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质判断即可．
【解答】解： ，
，
正确，符合题意；
，
不正确，不符合题意；
当 时， ，不正确，不符合题意；
当 时， ，
当 时， ，
不正确，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
14．（2023秋•石景山区期末）在括号内填入适当的整式对分式变形： ，变形的依据是 ．
【分析】根据分式的基本性质进行解题即可．
【解答】解： ，
则 ，
变形的依据是：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变．
故答案为： ，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
15．（2023秋•沂水县期末）（1）找一组不为0的数 、 、 、 ，使得 成立．由这组数值计算
下面各组中两个分式的值，看看两个分式之间有什么关系．
① 和 ；
② 和 ．
（2）对于任意一组不为零的数 、 、 、 ，若 成立，（1）中各组两个分式的关系是否仍然成立？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）通过取 ， ， ， 进行代入计算、求解；
（2）运用分式的基本性质进行变式、证明．
【解答】解：（1） ， ， ， ，
则有 ，
即 ，则 ① ，
，
；
② ， ，
；
（2）对于任意一组不为零的数 、 、 、 ，若 成立，（1）中各组两个分式的关系仍然成立．
证明：① ，
．
；
②设 ，则 ， ，
，
，
，
对于任意一组不为零的数 、 、 、 ，若 成立，（1）中各组两个分式的关系仍然成立．
【点评】此题考查了分式基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算、证明．
题型六．约分
16．（2024秋•故城县月考）将分式 约分的结果是A． B． C． D．
【分析】依据分式的性质约分即可．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题考查了分式的约分；熟练掌握分式的性质是解题的关键．
17．（2024秋•宜章县校级月考）约分 ．
【分析】找出分子分母的公因式，约分即可得到结果．
【解答】解：原式 ，
故答案为：
【点评】此题考查了约分，约分的关键是找出公因式．
18．（2024春•北碚区校级月考）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分
式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如： ，则称分式 是
“巧分式”， 为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
（1）下列分式中是“巧分式”的有 ①③ （填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若分式 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 ，求 的值；
（3）若分式 的“巧整式”为 ．
①求整式 ．② 是“巧分式”吗？
【分析】（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于 的方程，求解即可；
（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将 代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【解答】解：（1） ， 是整式，
①是“巧分式”；
， 不是整式，
②不是“巧分式”；
， 是整式，
③是“巧分式”；
故答案为：①③；
（2） 分式 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 ，
，
，
；
（3）① 分式 的“巧整式”为 ．
，
，即 ；
② ，
又 是整式，是“巧分式”．
【点评】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定
义．
题型七．通分
19．（2022秋•澧县校级期末）分式 的分母经过通分后变成 ，那么分子应变为
A． B．
C． D．
【分析】分式 的分母 ，经过通分后变成 ，那么分母乘以了
，根据分式的基本性质，将分子 乘以 ，计算即可得解．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握．
20．（2021 秋•宣化区期中）若将分式 与分式 通分后，分式 的分母变为
，则分式 的分子应变为 ．
【分析】分式 与分式 的公分母是 ，据此作出选择．
【解答】解：因为分 与分式 的公分母是 ，所以分式 的分母变为，则分式 的分子应变为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍
数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
21．（2023秋•庆云县校级月考）（1）约分： ；
（2）通分： ．
【分析】（1）利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可；
（2）先确定两个分式的最简公分母，再通分．
【解答】解：（1）
；
（2） 与 的最简公分母是 ，
则 ，
．
【点评】本题考查的是约分、通分，掌握约分、通分的一般步骤是解题的关键．
题型八．最简分式
22．（2023秋•澄迈县期末）下列分式是最简分式的是A． B． C． D．
【分析】结合最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．求解即可．
【解答】解： 、 ，不是最简分式，本选项错误；
、 ，不是最简分式，本选项错误；
、 是最简分式，本选项正确；
、 ，不是最简分式，本选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查了最简分式，解答本题的关键在于熟练掌握最简分式的定义：一个分式的分子与分母没
有公因式时，叫最简分式．
23．（2024春•罗湖区校级期末）将分式 化为最简分式，所得结果是 ．
【分析】先把分子分母因式分解，然后约去公因式 即可．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
题型九．最简公分母
24．（2023秋•汉川市期末）分式 ， ， 最简公分母是
A． B． C． D．
【分析】要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．
【解答】解：因为各分母都是单项式，所以最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，
所有不同字母都写在积里，
因此，所求分式的最简公分母为 ．
故选： ．【点评】此题考查了最简公分母，掌握最简公分母的求法是解题的关键，如果各分母都是单项式，那么最
简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；如果各分母都是
多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整
式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
25．（2023秋•斗门区期末）对分式 和 进行通分，它们的最简公分母为 ．
【分析】根据确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可得出答案．
【解答】解：对分式 和 进行通分，
则它们的最简公分母为： ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了最简公分母，正确掌握最简公分母的定义是解题关键．
26．（2021秋•岱岳区校级月考）已知分式 ， ， 是这两个分式中分母的公因式， 是这两个
分式的最简公分母，且 ，试求这两个分式的值．
【分析】找出两分式中分母的公因式确定出 ，找出最简公分母确定出 ．
【解答】解：两分式分母的公因式为 ，最简公分母为 ，
，即
则 ．
．
【点评】此题考查了分式的混合运算、最简公分母、公因式等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分层练习
一、单选题
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式
【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、 = ，所以A选项不符合题意；
B、 ，所以B选项不符合题意；
C、 是最简分式，所以C选项符合题意；
D、 = ，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．熟记定义是解本题的
关键．
2．使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】要使分式有意义，则要求分母不为0，据此可求出x的取值范围．
【详解】∵要使式子 有意义，则
∴x的取值范围是
故选：B
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟悉分式有意义的条件是解题的关键．
3．下列式子① ，②3；③ ；④ 中，分式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【知识点】分式的判断
【分析】形如 （A、B均为整式，B中有字母，），这样的式子是分式，根据分式的定义解答即可．
【详解】解：式子① ，②3；③ ；④ 中，分式有 ， ，共2个，
故选B
【点睛】本题考查的是分式的定义，熟记分式的定义是解本题的关键．
4．在代数式 ， ， ， ， 中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且 ，那么式子 叫做分式，据此判
定各式子即可求．
【详解】解：根据分式定义，在在代数式 ， ， ， ， 中，分式有 ， ， ，共
3个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不
含字母．
5．若分式 有意义，则 ， 满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义的条件列出关于a，b的不等式，求出a，b的关系即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴3a+2b≠0，解得 ．
故选：D．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
6．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式
【分析】根据分式的基本性质进行约分，化出最简分式即可进行判断．本题主要考查了最简分式，分式的
基本性质，掌握最简分式，分式的基本性质是解题的关键．
【详解】A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 是最简分式，故该选项符合题意；
故选：D．
7．当x＝（ ）时，分式 的值等于0．
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【答案】C
【知识点】分式值为零的条件
【分析】根据分式的值为零的条件可直接进行求解．
【详解】解：由分式 的值等于0可得：
，解得： ；
故选C．
【点睛】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
8．若分式 的值等于0，则x的取值可以是（ ）A．0 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】分式值为零的条件
【分析】根据题意求出 的值即可．
【详解】 分式 的值等于 ，
且 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题关
键．
9．如果把分式 中的 和 都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大3倍 D．扩大6倍
【答案】C
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的性质和分式的运算，根据题意列出算式，再进行化简即可．熟练掌握分式的性
质是解此题的关键．
【详解】解：把分式 中的 和 都扩大为原来的3倍，
即 ，
即分式的值扩大3倍，
故选：C．
10．若分式 中的 、 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．是原来的20倍B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变
【答案】D
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】a，b的值同时扩大到原来的10倍可得（ ）×10，再与 进行比较即可．【详解】 中的 、 的值同时扩大到原来的10倍，变为 ，分式的值不变．
故选：D
【点睛】本题考查了分式的变化问题，掌握分式的性质是解题的关键．
二、填空题
11．约分 ．
【答案】 /0.5
【知识点】约分
【分析】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．直接利用分式的基本性质化简得出答案．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．已知x－y＝4xy，则 的值为 ．
【答案】 ．
【知识点】约分
【分析】先将 变形为 ，再将x－y＝4xy代入即可求解．
【详解】解：∵x－y＝4xy，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
13．要使分式 有意义，x的取值应满足 ．
【答案】x≠8
【知识点】分式有意义的条件
【分析】根据分式的分母不能为零求解即可．【详解】解：∵分式 有意义，
∴x－8≠0，
∴x≠8，
故答案为：x≠8
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
14．当 时，分式 的值为零．
【答案】1
【知识点】分式值为零的条件
【分析】先根据分式的值为0的条件求出x的值即可．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴x-1=0，x2+1≠0，
∴x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式的值为0的条件是分子等于零且分母不等于零是解
答此题的关键．
15．若 ，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】分式的求值
【分析】将分式的分子分母都除以 ，然后将 ，代入即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
16．若分式 有意义，则 的取值范围是 ．【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义的条件可得答案．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，解题关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
17．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x>-4
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件解答
【详解】解：由题意得，
函数 中， ，
故答案为：
【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
18．分式： ， ， 的最简公分母是 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公
倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一
个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【详解】解： ， ， 的最简公分母是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最简公分母，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题的关键．
三、解答题
19．已知 实数满足 ，若 ， ，请你猜想 与 的数量关系，并证明．
【答案】M=N，证明见解析
【知识点】约分
【分析】将 代入M中，然后化简即可得出结论．
【详解】解：M=N，证明如下
将 代入M中，得
∵
∴M=N
【点睛】此题考查的是分式的运算，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
20．下列各分式中，当x取何值时有意义？
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，判断一个分式是否有意义，应考虑分母上字母的取值，字母的
取值不能使分母为零．
要使分式有意义，分母不能为0，根据此条件求得x的取值范围．
【详解】（1）解：要使分式 有意义，
∴
∴ ；（2）要使分式 有意义，
∴
∴ ；
（3）要使分式 有意义，
∴
∴ ．
21．某村种植了 玉米，总产量为 ；水稻的种植面积比玉米的种植面积多 ，水稻的总产量比
玉米总产量的2倍多 ．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位： ）的式子．
【答案】 ，
【知识点】按要求构造分式
【分析】利用总产量除以总面积得单位面积产量可分别用分式表示出玉米和水稻的单位面积产量．
【详解】解：由题意得，玉米和水稻的单位面积产量分别为： ，水稻： ．
【点睛】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式
子表示出来，就是列代数式．
22．要配制一种盐水，将 盐完全溶解于 水后仍然达不到所需的含盐量，又加入 盐完全溶解后才符
合要求，请问：要配制的盐水的含盐量是多少？
【答案】
【知识点】按要求构造分式
【分析】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出代数式．
根据有m克盐完全溶解于n克水后，又加入5克盐，得出总盐有 克，盐水有 克，即可得
出答案．
【详解】解：∵将 盐完全溶解于 水后仍然达不到所需的含盐量，又加入 盐完全溶解后才符合要求∴要配制的盐水的含盐量是 ．
23．用水清洗蔬菜上残留的农药，设用 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗
前残留的农药量之比为 ．现有 单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后分两
次清洗．试问哪种方法清洗后，蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．
【答案】第二种
【知识点】按要求构造分式
【分析】本题主要考查了分式的应用，解题的关键是根据题意列出算式．先根据题意列出两种情况下农药
残留量，然后比较大小即可．
【详解】解：设最先的农药量为1，第一种方案残留的农药量为 ，
第二种方案残留的农药量为 ，
∵ ，
∴ ，
第二种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少．
24．请在下列三个不为零的式子 ， ， 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，
并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【知识点】约分、最简分式
【分析】根据题意选取两个整式分别作为分子和分母，然后根据分式的基本性质进行化简即可．
【详解】解： 不是最简分式，化简如下： ；
不是最简分式，化简如下： ；不是最简分式，化简如下： ；
不是最简分式，化简如下： ；
不是最简分式，化简如下： ；
不是最简分式，化简如下： ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟知方式的基本性质是解题的关键．
25．如图1，有一个高为 的瓶子，瓶中水面的高度为 ，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为
，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当 时，求出这个比值．
【答案】 ，
【知识点】面积及等积变换、约分、已知字母的值 ，求代数式的值、用代数式表示式
【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用．
根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式；
瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积 底面积 ，也就是底面积 ；
水的体积为底面积 ，即可得到答案．
【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，
设瓶子的底面积为S，即 ；水的体积为 ，瓶中水的体积与瓶子容积之比为 ，
∵瓶子的容积 底面积 底面积 底面积 ，水的体积 底面积 ，
∴瓶中水的体积：瓶子容积 （底面积 ）：（底面积 ） ，
答：这个比值是 ．
26．阅读理解：对于二次三项式a2+2ab+b2，能直接用完全平方公式进行因式分解，得到结果为（a+b）2．
而对于二次三项式a2+4ab﹣5b2，就不能直接用完全平方公式了，但我们可采用下述方法：
a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣4b2﹣5b2＝（a+2b）2﹣9b2，
＝（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）＝（a﹣b）（a+5b）．
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
解决问题：
（1）请利用上述方法将二次三项式a2+6ab+8b2分解因式；
（2）如图，边长为a的正方形纸片1张，边长为b的正方形纸片8张，长为a，宽为b的长方形纸片6张，
这些纸片可以拼成一个不重叠，无空隙的长方形图案，请画出示意图；
（3）已知x＞0，且x≠2，试比较分式 与 的大小．
【答案】（1）（a+2b）（a+4b）；（2）见解析；（3）
【知识点】因式分解的应用、最简分式
【分析】（1）根据题目的引导，先分组，后运用公式法对原式进行因式分解；
（2）根据第一问的因式分解结果，对图形进行排列即可；
（3）对两个分式的分子和分母分别进行因式分解，然后对分式进行化简并比较大小.
【详解】解：（1）原式＝a2+6ab+9a2﹣b2＝（a+3b）2﹣b2＝（a+3b﹣b）（a+3b+b）＝（a+2b）
（a+4b）；（2）如图：
（3） ； ；
∵x＞0，
∴x+4＜x+6，
∴ .
【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解化简分式，根据分母大，分数值反而小来比较大小是
解题的关键.
