高三数 学
本试卷满分 150 分, 考试时间 150 分钟
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上；写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符 合题目要求的。
1. 若 z=2i+i2 ，则 |z|=
A. 1 B. 2 C. √5 D. 3
2. 设集合 A={−2,1,a},B={−1,a2} ，若 A∪B 含有 4 个元素，则 a=
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
( 1 ) 6
3. x− 的展开式中常数项为
2x
5 3 3 5
A. − B. − C. D.
2 2 2 2
4. 已知两条直线 m,n 和平面 α ,则下列命题为真命题的是
A. 若 m//n,m//α ,则 n//α B. 若 m//α,n//α ,则 m//n
C. 若 m⊥a,m//n ,则 n⊥a D. 若 m⊥n,m//α ,则 n⊥α
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1,状态 2,状态
3,⋯⋯ ,每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状
1 1
态, 已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2,状态 2 的粒子有 的概率变为状
2 3
态 3,以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子, 则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒
子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
6. 若直线 y=x+1 上存在点 A ,圆 x2+(y−m) 2=2 上存在点 B ,使得 ⃗AB=(0,1) ,
则 m 的最大值为A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
7. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为
√3
a,b,c,A=60∘,bc=6sinBcosC,cosBsinC= ,则 △ABC 的面积为
6
A. 1
3 3√3
B. C. D. 3√3
2 2
8. 已知正数 a,b 满足 2a+3a=3b+4b ,则
A. b<a<2b B. a<b<2a C. 2b<a<3b D. 2a<b<3a
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多
项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 X∼N(1,σ2) ,则 P(X≤0)=P(X≥2)
B. 若事件 A,B 相互独立,则 P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. 若样本数据 x ,x ,⋯,x 的方差为 2,则数据 2x +1,2x +1,⋯,2x +1 的方差为
1 2 n 1 2 n
8
D. 用相关指数 R2 刻画回归效果， R2 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
( π)
10. 已知函数 f (x)=sinx−√3cosx,g(x)=2sin 2x+ ,则
3
A. 曲线 y=f (x) 与曲线 y=g(x) 存在相同的对称中心
B. 曲线 y=f (x) 与曲线 y=g(x) 存在相同的对称轴
π
C. 曲线 y=f (2x) 向左平移 个单位得到曲线 y=g(x)
3
D. 曲线 y=f (2x) 与曲线 y=g(x) 关于 y 轴对称
11. 已知四棱锥 P−ABCD 的体积为 12，四边形 ABCD 是平行四边形， Q 为
PA 的中点，经过直线 CQ 的平面与侧棱 PB,PD 分别交于点 M,N . 设
⃗PM=λ⃗PB,⃗PN=μ⃗PD ,则
A. λ=μ 时, AB// 平面 CMN
1
B. λ= 时, μ=1
2C. 四面体 PQBC 的体积为 3
D. 四棱锥 P−MCNQ 的体积的最小值为 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 a=(1,−2),a+b=(3,m) ，且 a⊥b ，则 m= _____.
13. 已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F ，直线 x−2y+4=0 与 C 有唯一
的公共点 A ，则 |AF|= _____.
14. 已知函数 f
(x)
=x(x−2) 2 ,对任意 x∈[0,m] ,都有 f (x)≤m ,则 m 的取值范围
2
为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
15. (13 分)
如图，已知 △PAB 是圆锥 PO 的轴截面， PA=3,AB=2 .
(1)求圆锥 PO 的外接球的表面积；
(2)若 C 为弧 AB 的中点,求二面角 C−PA−B 的正切值.
16.(15分)
1
已知数列 {a } 各项均不为零， a =1 ， a = ， a a =(ta −a )a .
n 1 2 3 n n+1 n n+1 n+2
(1)当 t=1 时,求 {a } 的前 50 项和;
n
(2)若 a >a ，求正整数 l 的最小值.
n n+1
17. (15分)
某次考试的多项选择题,每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个,得分规则如下:若
正确选项有 2 个,只选 1 个且为正确选项得 3 分,选 2 个且都为正确选项得 6 分,否则得 0 分; 若正确选项有 3 个,只选 1 个且为正确选项得 2 分,选 2 个且都为正确
选项得 4 分,选 3 个且都为正确选项得 6 分,否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项
选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 p(0<p<1) ,记 X 为甲随机选择
1 个选项的得分, Y 为甲随机选择 2 个选项的得分.
2
(1)若 p= ，求 P(X≥2) ；
3
(2)求 X 的概率分布列和数学期望；
1
(3)证明:当且仅当 0<p< 时， E(X)<E(Y) .
2
18.(17分)
x2 y2 √7
已知双曲线 C: − =1(a,b>0) 的离心率为 ,P(4,3) 是 C 上一点. 直线 l
a2 b2 2
的斜率为 -1, 且与 C 交于 A,B 两点.
(1)求 C 的方程；
(2)若 ⃗PA⋅⃗PB=36 ，求 l 的方程；
(3)证明: △PAB 的外接圆的圆心 Q 在定直线上.
19.(17 分)
ex−a
已知函数 f (x)= .
x
(1)对任意 0<s<t,f (x)≥f (s) 是 f (x)≥f (t) 的必要条件,求 a 的最小值；
(2)对任意 b>0 ，函数 g(x)=f (x)−b 存在两个零点 x ,x .
1 2
(i) 求 a 的取值范围;
(ii) 对于 (i) 中给定的 a ,证明: 当 |x −x | 取得最小值时, b=a .
1 2
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 若 z=2i+i2 ，则 |z|=
A. 1 B. 2 C. √5 D. 3
【答案】C
因为 z=2i+i2=−1+2i ,所以 |z|=√(−1) 2+22=√5 . 故选 C.
2. 设集合 A={−2,1,a},B={−1,a2} ，若 A∪B 含有4个元素，则 a=A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
由题意, a≠1 且 a≠−2 ,当 a=−1 时, A∪B={−2,1,−1} 含有 3 个元素,不符合;
当 a=2 时， A∪B={−2,1,−1,2,4} 含有 5 个元素，不符合. 故选 B.
( 1 ) 6
3. x− 的展开式中常数项为
2x
5 3 3 5
A. − B. − C. D.
2 2 2 2
【答案】A
(
x−
1 ) 6
的展开式中常数项为
(
x−
1 ) 6 =C3(
−
1) 3
=−
20
=−
5
. 故选 C.
2x 2x 6 2 8 2
4. 已知两条直线 m,n 和平面 α ，则下列命题为真命题的是
A. 若 m//n,m//α ,则 n//α
B. 若 m//α,n//α ,则 m//n
C. 若 m⊥α,m//n ,则 n⊥α
D. 若 m⊥n,m//α ,则 n⊥α
【答案】C
对于 A,n⊂α 或 n//α ,故 A 错误;
对于 B,m,n 的关系不确定,故 B 错误;
对于 D,m 可绕 n 任意旋转,故 n 与 α 关系不确定,故 D 错误. 故选 C .
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1，状态 2，状态
3，……，每种状态
的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状态,已知状态 1 的粒
1 1
子有 概率变为状态 2，状态 2 的粒子有 概率变为状态 3，以此类推. 现有
2 3
若干状态 1 的该粒子，则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
【答案】C
由题意, 经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占1 1 1 1 2 1 2 2 23
× + × × + × × = ≈0.64 . 故选 C.
2 2 2 2 3 2 3 3 36
6. 若直线 y=x+1 上存在点 A ,圆 x2+(y−m) 2=2 上存在点 B ,使得 ⃗AB=(0,1) ,
则 m 的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
不妨设 A(x,y) ,因为 ⃗AB=(0,1) ,所以 B=(x,x+2) ,故 B 在直线 y=x+2 上运
动,故直线 y=x+2 与圆 x2+(y−m) 2=2 有交点,
|−m+2|
所以 d= ≤√2 ,解得 0≤m≤4 ,故 m 的最大值为 4 . 故选 D.
√2
7. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为
√3
a,b,c,A=60∘,bc=6sinBcosC,cosBsinC= , 则 △ABC 的面积为
6
A. 1
3 3√3
B. C. D. 3√3
2 2
【答案】B
bc
因为 sinBcosC= ,
6
bc √3 √3
所以 sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin(π−A)=sin A= + = ,所以
6 6 2
bc=2√3 ,
1 1 √3 3
故 △ABC 的面积为 S = bcsin A= ×2√3× = . 故选 C.
△ABC 2 2 2 2
8. 已知正数 a,b 满足 2a+3a=3b+4b ,则
A. b<a<2b B. a<b<2a
C. 2b<a<3b D. 2a<b<3a
【答案】A
解法一 因为 a,b 为正数,所以 2a,3a,3b,2b>1 ,
故由 2a+3a=3b+22b 得 3b+2b<2a+3a=3b+22b<32b+22b ,
令 f (x)=2x+3x ,易见 f (x) 单调递增,则 f (b)<f (a)<f (2b) ,所以 b<a<2b . 故选
A.解法二 因为 a,b 为正数,所以 2a,3a,3b,2b>1 ,
令 f (a)=2a+3a−3b−4b ,易见 f (a) 单调递增,
f (b)=2b+3b−3b−22b=2b(1−2b)<0,f (2b)=22b+32b−3b−22b=3b(3b−1)>0,
所以 f (a) 在 (b,2b) 上有零点. 故选 A.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多
项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 X∼N(1,σ2) ,则 P(X≤0)=P(X≥2)
B. 若事件 A,B 相互独立,则 P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. 若样本数据 x ,x ,…,x 的方差为 2,则数据 2x +1,2x +1,…,2x +1 的方差为
1 2 n 1 2 n
8
D. 用相关指数 R2 刻画回归效果， R2 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
【答案】ACD
对于 A ,由正态分布的对称性, A 正确;
对于 B ,由题意 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=P(A)+P(B)−P(A)P(B) ,
又 P(A)P(B)≥0 ，故 B 错误；
对于 C ,若样本数据 x ,x ,…,x 的方差为 S ,则数据 ax +b,ax +b,…,ax +b
1 2 n 1 2 n
的方差为 a2S ; 对于 D ,由相关指数(决定系数)的概念,故 D 正确. 故选 ACD.
( π)
10. 已知函数 f (x)=sinx−√3cosx,g(x)=2sin 2x+ ,则
3
A. 曲线 y=f (x) 与曲线 y=g(x) 存在相同的对称中心
B. 曲线 y=f (x) 与曲线 y=g(x) 存在相同的对称轴
π
C. 曲线 y=f (2x) 向左平移 个单位得到曲线 y=g(x)
3
D. 曲线 y=f (2x) 与曲线 y=g(x) 关于 y 轴对称
【答案】AC
( π)
因为 f (x)=sinx−√3cosx=2sin x− ,
3π ( π )
对于 f (x) ,令 x− =kπ ,得对称中心 kπ+ ,0 ,k∈Z ,同理,对称轴为
3 3
5π
x=kπ+ ,k∈Z .
6
π (kπ π )
对于 g(x) ,令 2x+ =kπ ,得对称中心 − ,0 ,k∈Z ,同理,对称轴为
3 2 6
kπ π
x= + ,k∈Z .
2 12
(π )
故有相同的零点 ,0 ,所以 A 正确, B 错误;
3
( π) π
对于 C,f (2x)=2sin 2x− 向左平移 个单位得到
3 3
[( π) π] ( π)
y=2sin2 x+ − =2sin 2x+ ,故 C 正确;
3 3 3
( π)
对于 D,f (2x)=2sin 2x− 与 y=g(x) 显然不关于 y 轴对称(可由特殊值判断).
3
故选 AC.
11. 已知四棱锥 P−ABCD 的体积为 12，四边形 ABCD 是平行四边形， Q 为
PA 的中点，经过直线 CQ 的平面与侧棱 PB,PD 分别交于点 M,N ,设
⃗PM=λ⃗PB,⃗PN=μ⃗PD ,则
A. λ=μ 时, AB// 平面 CMN
1
B. λ= 时, μ=1
2
C. 四面体 PQBC 的体积为 3
D. 四棱锥 P−MCNQ 的体积的最小值为 4
【答案】BCD
因为 ⃗PA+⃗PC=⃗PB+⃗PD ,所以 ⃗PC=⃗PB+⃗PD−⃗PA ,
1 1
因为 ⃗PM=λ⃗PB,⃗PN=μ⃗PD,⃗PA=2⃗PQ ,所以 ⃗PC= ⃗PM+ ⃗PN−2⃗PQ ,
λ μ
1 1 1 1
因为 C,M,N,A 四点共面，故 ⃗PC= ⃗PM+ ⃗PN−2⃗PQ ，所以 + −2=1 ，
λ μ λ μ
1 1
即 + =3 .
λ μ2
对于 A ,当 λ=μ 时,得 λ=μ= ,若 AB// 平面 CMN ,由 AB⊂ 平面 PAB ,
3
平面 PAB∩ 平面 CMQN=QM ,所以 AB//QM ,故 M 为 PB 的中点
2
显然不满足 ⃗PM= ⃗PB ,故 A 错误;
3
1 1 1
对于 B ,代入 λ= 到 + =3 中,得 μ=1 ;
2 λ μ
1 1 1 1
对于 C ,因为 V = V = V = V = ×12=3 ,故 C 正确;
P−QBC 2 A−PBC 2 P−ABC 4 P−ABCD 4
1 1
对于 D ,因为 V =V +V = μV + λV
P−MCNQ C−PQN C−PQM 2 C−PAD 2 C−PAB
1 1 1
= λV + μV = (λ+μ)V =3(λ+μ) ,
2 P−ABC 2 P−ACD 4 P−ABCD
(1 1) μ λ 2
因为 3(λ+μ)=(λ+μ) + =2+ + ≥2 (当且仅当 λ=μ= 时取等号),
λ μ λ μ 3
故 D 正确. 故选 BCD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知向量 a=(1,−2),a+b=(3,m) ，且 a⊥b ，则 m= _____.
【答案】 -1
因为 a+b=(3,m),a=(1,−2) ,所以 b=a+b−a=(2,m+2) ,
因为 a⊥b ,所以 a⋅b=2−2(m+2)=−2m−2=0 ,故 m=−1 . 故填 -1 .
13. 已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F ，直线 x−2y+4=0 与 C 有唯一
的公共点 A ，则 |AF|= _____.
【答案】 5
{ y2=2px
联立 ,得 y2−4 py+8p=0 ,
x−2y+4=0
所以 Δ=(−4 p) 2−4×8p=16p(p−2)=0 ,故 p=2 ,
此时 y2−16 y+16=(y−4) 2=0 ,所以 A(4,4) ,所以 |AF|=4+1=5 . 故填 5 .
14. 已知函数 f (x)=x(x−2) 2 ，对任意 x∈[0,m] ，都有 f (x)≤m ，则 m 的取值
范围为_____.[32 ]
【答案】 ,3
27
解法一 由题意 f (m)=m(m−2) 2≤m ,因为 m>0 ,所以 (m−2) 2≤1 ,故 1≤m≤3 .
又 f′(x)=(x−2) 2+2x(x−2)=(x−2)(3x−2) ,
( 2) (2 )
故 f (x) 在 0, 和 (2,+∞) 上单调递增,在 ,2 上单调递减,
3 3
(2) 2 (2 ) 2 32
又 f = × −2 = ,而 f (1)=1,f (3)=3 .
3 3 3 27
32 [ 32]
若 1≤m< 时,此时 f (x)∈ 0, ,故 f (x)≤m 不恒成立,不满足题意; 若
27 27
32 [ 32]
≤m≤2 ,此时 f (x)∈ 0, ,故 f (x)≤m 恒成立,符合;
27 27
[ 32]
若 2<m≤3 ，此时 f (x)∈ 0, 或 f (x)∈[0,f (m)] ，必满足 f (x)≤m 恒成
27
[32 ] [32 ]
立，符合； 综上所述: 实数 m 的取值范围是 ,3 . 故填 ,3 .
27 27
解法二 由题意 f (m)=m(m−2) 2≤m ,因为 m>0 ,所以 (m−2) 2≤1 ,故 1≤m≤3 .
又 f′(x)=(x−2) 2+2x(x−2)=(x−2)(3x−2) ,
( 2) (2 )
故 f (x) 在 0, 和 (2,+∞) 上单调递增,在 ,2 上单调递减,
3 3
(2) 2 (2 ) 2 32
又 f = × −2 = ,而 f (1)=1,f (3)=3 .
3 3 3 27
32
此时 1∈[0,m] ,故 m≥ .
27
32 [ 32]
若 ≤m≤2 ,此时 f (x)∈ 0, ,故 f (x)≤m 恒成立,符合;
27 27
[ 32]
若 2<m≤3 ，此时 f (x)∈ 0, 或 f (x)∈[0,f (m)] ，必满足 f (x)≤m 恒成
27
[32 ] [32 ]
立，符合； 综上所述: 实数 m 的取值范围是 ,3 . 故填 ,3 .
27 27
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
15. (13 分)如图,已知 △PAB 是圆锥 PO 的轴截面, PA=3,AB=2 .
(1)求圆锥 PO 的外接球的表面积；
(2)若 C 为弧 AB 的中点，求二面角 C−PA−B 的正切值.
【解】(1)方法一 圆锥外接球半径即为 △PAB
的外接圆半径,记为 R .
在 △PAB 中,由余弦定理得
PA2+PB2−AB2 9+9−4 7
cos∠APB= = = ,
2PA⋅PB 2×3×3 9
4√2
所以 sin∠APB= ， 2 分
9
AB 2×9 9√2
故 2R= = = ,
sin∠APB 4√2 4
81π
所以外接球 O 的表面积为 4πR2= . .5 分
1 8
方法二 设 OO =h ,
1
因为 PO=√32−12=2√2 ,所以 O P=2√2−h ,
1
因为 O A=√h2+1 ,且 O A=O P , 2 分
1 1 17√2
所以 2√2−h=√h2+1 ,解得 h= ,
8
9√2
故 R=2√2−h= ,
8
81π
所以外接球 O 的表面积为 4πR2= . 5 分
1 8
(2)方法一 因为 C 是弧 AB 的中点，
所以 OC⊥AB .
因为 PO⊥ 平面 ABC ,且 OC,AB⊂ 平面 ABC ,
所以 PO⊥OC,PO⊥AB ,
所以 OB,OC,OP 两两垂直. 7 分
建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ,
则 C(1,0,0),P(0,0,2√2),A(0,−1,0) ,
所以 ⃗AC=(1,1,0),⃗AP=(0,1,2√2) ,
设平面 PAC 的法向量为 n=(x,y,z) ,
{ n⋅⃗AC=x+ y=0,
则
n⋅⃗AP= y+2√2z=0,
取 n=(2√2,−2√2,1) , 9 分
因为平面 PAB 的一个法向量为 ⃗OC=(1,0,0) ,
n⋅⃗OC 2√2
所以 cos⟨n,⃗OC⟩= = . 11 分
|n|⋅|⃗OC| √17设二面角 C−PA−B 为 θ ,
由图可知 θ 为锐角,
2√2 3
所以 cosθ= ,sinθ= ,
√17 √17
3√2 3√2
所以 tanθ= ,即二面角 C−PA−B 的正切值为 . 13 分
4 4
方法二 在平面 PAC 内过 C 作 CH⊥PA ,垂足为 H ,连接 OH ,
因为 OC⊥OB,OC⊥OP,OP∩OB=O ,
且 OB,OP⊂ 平面 PAB ,
所以 OC⊥ 平面 PAB , 7 分
因为 PA⊂ 平面 PAB ,
所以 OC⊥PA .
因为 PA⊥CH,CH∩OC=C ,
且 CH,OC⊂ 平面 CHO ,
所以 PA⊥ 平面 CHO ,
所以 OH⊥PA ,
所以 ∠CHO 为二面角 C−PA−B 的平面角. 11 分
2√2
因为 OC=1,OH= ,
3
OC 3√2 3√2
所以 tan∠CHO= = ,即二面角 C−PA−B 的正切值为 . .13 分
OH 4 4
16. (15 分)
1
已知数列 {a } 各项均不为零, a =1,a = ,a a =(ta −a )a .
n 1 2 3 n n+1 n n+1 n+2(1)当 t=1 时，求 {a } 的前 50 项和；
n
(2)若 a >a ，求正整数 t 的最小值.
n n+1
【解】(1)当 t=1 时, a a =(a −a )a ,
n n+1 n n+1 n+2
1 a −a 1 1
故 = n n+1= − , .2 分
a a a a a
n+2 n n+1 n+1 n
1 1 1 1 1 1 1
所以 = − = − − =− ,
a a a a a a a
n+3 n+2 n+1 n+1 n n+1 n
即 a =−a ,故 a =−a =a ,
n+3 n n+6 n+3 n
所以数列 {a } 是周期为 6 的数列, 4 分
n
又 a +a +a +a +a +a =0 , .5 分
n+5 n+4 n+3 n+2 n+1 n
故 {a } 的前 50 项和为:
n
4
a +a +⋯+a =a +a = . .7 分
1 2 50 1 2 3
a a
(2)方法一 由题意 a ≠0 ，故 a = n n+1 ， .9 分
n n+2 ta −a
n n+1
1
因为 a =1,a = ,a >a ,
1 2 3 2 3
1 1 4
所以 a = < ,即 t> , 11 分
3 3t−1 3 3
故正整数 t 满足 t≥2 .
1 ta −a t 1 2 1
当 t≥2 时, = n n+1= − ≥ − ,
a a a a a a a
n+2 n n+1 n+1 n n+1 n
1 1 1 1
所以 − ≥ − ,
a a a a
n+2 n+1 n+1 n
1 1 1 1 1 1
从而 − ≥ − ≥⋯≥ − =2 , 13 分
a a a a a a
n+2 n+1 n+1 n 2 1
1 1
即 − >0 ,得 a <a ,所以 a >a ,
a a n+2 n+1 n n+1
n+2 n+1
故最小正整数 t 的值为 2 . 15 分
方法二 由 (1) 知, t=1 时, a =a ,故 t=1 不合; .9 分
6 1当 t=2 时,因为 a ≠0 ,在 a a =(2a −a )a 两边同除以 a a a 得,
n n n+1 n n+1 n+2 n n+1 n+2
1 2 1 2 1 1
= − ,即 = + ,
a a a a a a
n+2 n+1 n n+1 n n+2
{1 }
所以 是等差数列, 11 分
a
n
1 {1 }
因为 a =1,a = ,所以 的公差为 2,
1 2 3 a
n
1 1
所以 =2n−1 ,即 a = , 13 分
a n 2n−1
n
1 1
所以 a = > =a ,
n 2n−1 2n+1 n+1
故最小正整数 t 的值为 2 . 15 分
17. (15 分)
某次考试的多项选择题，每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个，得分规则如
下:若正确选项有 2 个, 只选 1 个且为正确选项得 3 分, 选 2 个且都为正确选项得
6 分, 否则得 0 分; 若正确选项有 3 个, 只选 1 个且为正确选项得 2 分, 选 2 个且
都为正确选项得 4 分, 选 3 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分. 学生甲对其中
的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 p(0<p<1) ,记 X 为
甲随机选择 1 个选项的得分, Y 为甲随机选择 2 个选项的得分.
2
(1) 若 p= ，求 P(X≥2) ；
3
(2)求 X 的概率分布列和数学期望；
1
(3) 证明: 当且仅当 0<p< 时, E(X)<E(Y) .
2
【解】(1)记事件 A 为“该题恰有 2 个正确选项”，事件 B 为“该题恰有 3 个
正确选项”，
2 1
事件 C 为“甲随机选择 1 个选项为正确选项”，则 P(A)= ,P(B)= ， 1 分
3 3
所以 P(X≥2)=P(C)=P(A)⋅P(C∣A)+P(B)⋅P(C∣B) .3 分
2
C1
1
C1
7
= × 2+ × 3= . .5 分
3 C1 3 C1 12
4 4
(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,2,3,C1 C1
1+p
C1
3−3p
P(X=0)=p× 2+(1−p)× 1= ,P(X=2)=(1−p)× 3= ,
C1 C1 4 C1 4
4 4 4
C1
p
P(X=3)=p× 2= ,
C1 2
4
8 分
所以随机变量 X 的概率分布列如下:
Y 0 2 3
P 1+p 3−3p p
4 4 2
3−3p p 3
所以 E(X)=2× +3× = . 10 分
4 2 2
(3)证明:随机变量 Y 的所有可能取值为 0,4,6,
C1C1+C2 C1C1
5p 3−3p 2p+3
P(Y =0)=p× 2 2 2+(1−p)× 1 3= + = ,
C2 C2 6 6 6
4 4
C2
1−p
C2
p
P(Y =4)=(1−p)× 3= ,P(Y =6)=p× 2= ,
C2 2 C2 6
4 4
1−p p
所以 E(Y)=4× +6× =2−p , 13 分
2 6
3 1
所以 E(X)<E(Y) 当且仅当 2−p> ,当且仅当 0<p< . 得证. 15 分
2 2
18. (17 分)
x2 y2 √7
已知双曲线 C: − =1(a,b>0) 的离心率为 ,P(4,3) 是 C 上一点. 直线 l
a2 b2 2
的斜率为 -1, 且与 C 交于 A,B 两点.
(1)求 C 的方程；
(2)若 ⃗PA⋅⃗PB=36 ，求 l 的方程；
(3) 证明: △PAB 的外接圆的圆心 Q 在定直线上.
c √7
【解】(1)记 c2=a2+b2 ,则 = , 1 分
a 2
x2 y2
设 c=√7k,a=2k,(k>0) 则 b2=3k2,C 的方程为: − =k2 ,
4 3因为点 P(4,3) 在 C 上,所以 k2=1 , .2 分
即 a2=4,b2=3 ,
x2 y2
所以双曲线 C 的方程为 − =1 . .4 分
4 3
(2)不妨设直线 l 的方程为 y=−x+t,A(x ,y ),B(x ,y ) ，
1 1 2 2
{ y=−x+t
所以 ,故 x2−8tx+4t2+12=0 ,
3x2−4 y2=12
所以 Δ=(−8t) 2−4(4t2+12)=48(t2−1)>0 ,即 t<−1 ,或 t>1 ,
x +x =8t,x x =4t2+12, 6 分
1 2 1 2
=2x x +(−t−1)(x +x )+16+(t−3) 2
⃗PA⋅⃗PB=(x −4,y −3)⋅(x −4,y −3)=(x −4)(x −4)+(−x +t−3)⋅(−x +t−3) 1 2 1 2 =2(4t2+12)+(−t−1)(8t)+16+(t−3) 2=t2−14t+49
1 1 2 2 1 2 1 2 =2(4t2+16)+16+(t−3) 2
. 8 分
所以 t2−14t+49=36 ,解得 t=1 (舍),或 t=13 ,
故所求直线 l 的方程为 x+ y−13=0 . 10 分
y +3 x −4( x +4)
(3)方法一由题意 AP 的中垂线为: y− 1 =− 1 x− 1 ，
2 y −3 2
1
4
(y2−9)
x −4 x −4 x +4 y +3 x −4 x2−16 y +3 x −4 3 1 y +3 x −4 7 7
y=− 1 x+ 1 × 1 + 1 =− 1 x+ 1 + 1 =− 1 x+ + 1 =− 1 x+ y + ,
y −3 y −3 2 2 y −3 2(y −3) 2 y −3 2(y −3) 2 y −3 6 1 2
1 1 1 1 1 1 1
x −4 7 7
同理 BP 的中垂线 y=− 2 x+ y + , 12 分
y −3 6 2 2
2
{ y=− x 1 −4 x+ 7 y + 7 ,
y −3 6 1 2 ( x −4 x −4 ) 7
联立 1 ,消 y 得 2 − 1 x= (y −y ) ,
x −4 7 7 y −3 y −3 6 2 1
y=− 2 x+ y + , 2 1
y −3 6 2 2
2
( x −4 x −4 ) 7
得 2 − 1 x= (−x +x ) ,
−x +t−3 −x +t−3 6 2 1
2 1
(7−t)(x −x ) 7
即 2 1 x= (x −x ) ,
x x −(t−3)(x +x )+(t−3) 2 6 2 1
1 2 1 2
因为 x ≠x ,所以
2 17 x x −(t−3)(x +x )+(t−3) 2
x= × 1 2 1 2
6 7−t
7
(4t2+12)−(t−3)(8t)+(t−3) 2
= ×
6 7−t
7 t2−6t−7 7 (t−7)(t+1) 7
= × = × = (t+1) , 14 分
2 t−7 2 t−7 2
又设圆心为 Q(x ,y ) ,则 QA2=QB2 ,
0 0
故 (x −x ) 2+(y −y ) 2=(x −x ) 2+(y −y ) 2 ,
1 0 1 0 2 0 2 0
所以 x2+ y2−x2−y2=2x (x −x )+2y (y −y )=2(x −y )(x −x ) ,
1 1 2 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2
3 3 7
所以 (2x −2y )(x −x )=x2+ x2−3−x2− x2+3= (x −x )(x +x ) ,
0 0 1 2 1 4 1 2 4 2 4 1 2 1 2
7 7 7
故 x −y = (x +x )=7t ,又 x = (t+1) ,所以 y =− (t−1) ,从而 x + y =7 ,
0 0 8 1 2 0 2 0 2 0 0
故圆心 Q(x ,y ) 在直线 x+ y−7=0 上. 17 分
0 0
方法二 设圆心为 Q(x ,y ) ,由题意 AP 的中垂线为:
0 0
y +3 x −4( x +4)
y− 1 =− 1 x− 1 ,
2 y −3 2
1
−x +t+3 x −4 ( x +4)
故 y − 1 =− 1 x − 1 , 12 分
0 2 −x +t−3 0 2
1
即 2y (x −t+3)+(x −t−3)(x −t+3)=(x −4)(2x −x −4) ,
0 1 1 1 1 0 1
所以 x2−2tx +t2−9+2y x +2y (−t+3)=−x2+2x x −4(2x −4) ,
1 1 0 1 0 1 0 1 0
整理得 2x2−(2t+2x −2y )x +8x +(6−2t)y +t2−25=0 ,
1 0 0 1 0 0
同理 2x2−(2t+2x −2y )x +8x +(6−2t)y +t2−25=0 ,
2 0 0 2 0 0
即 x ,x 是方程 2x2−(2t+2x −2y )x+8x +(6−2t)y +t2−25=0 的两根,
1 2 0 0 0 0
{ x +x =8t=t+x −y ,
1 2 0 0
从而 8x +(6−2t)y +t2−25 14 分
x x =4t2+12= 0 0 ,
1 2 2
{ 7t=x −y ,
所以 0 0 故 (14−2t)y =7t2−56t+49=7(t−1)(t−7) ，
7t2+49=8x +(6−2t)y , 0
0 0若 t=7 ,则此时直线 l 为 y=−x+7 ,过点 A ,故舍;
7 7
若 t≠7 ,则 y =− (t−1) ,从而 x =7t+ y = (t+1) ,从而 x + y =7 ,
0 2 0 0 2 0 0
故圆心 Q(x ,y ) 在直线 x+ y−7=0 上. 17 分
0 0
方法三 不妨设圆 Q 的方程为: x2+ y2−2x x−2y y+F=0 ,则 Q(x ,y ) , 又
0 0 0 0
{ y=−x+t
,
x2+ y2−2x x−2y y+F=0
0 0
所以 2x2−(2t+2x −2y )x+t2−2y t+F=0 ,
0 0 0
即该方程的两个根为 x ,x ,又 x ,x 为方程 x2−8tx+4t2+12=0 的两根,
1 2 1 2
{ x +x =8t=t+x −y ,
1 2 0 0
故 t2−2y t+F , .12 分
x x =4t2+12= 0
1 2 2
由点 P(4,3) 在圆上,故 25−8x −6 y +F=0 ,
0 0
t2−2y t−25+8x +6 y
故 4t2+12= 0 0 0 ,即 7t2+49=8x +(6−2t)y , .14 分所以
2 0 0
{ 7t=x −y ,
0 0 ,故 (14−2t)y =7t2−56t+49=7(t−1)(t−7) , 若 t=7 ,则
7t2+49=8x +(6−2t)y , 0
0 0
此时直线 l 为 y=−x+7 ,过点 A ,故舍;
7 7
若 t≠7 ,则 y =− (t−1) ,从而 x =7t+ y = (t+1) ,从而 x + y =7 ,
0 2 0 0 2 0 0
故圆心 Q(x ,y ) 在直线 x+ y−7=0 上. 17 分
0 0
19. (17 分)
ex−a
已知函数 f (x)= .
x
(1)对任意 0<s<t ， f (x)≥f (s) 是 f (x)≥f (t) 的必要条件，求 a 的最小值；
(2)对任意 b>0 ，函数 g(x)=f (x)−b 存在两个零点 x ,x .
1 2
(i) 求 a 的取值范围;
(ii) 对于(i) 中给定的 a ,证明: 当 |x −x | 取得最小值时, b=a .
1 2
【解】(1)对任意 0<s<t ， f (x)≥f (s) 是 f (x)≥f (t) 的必要条件，
即由 f (x)≥f (t) 可以推出 f (x)≥f (s) ,所以 f (t)≥f (s) ,结合 f (x) 的解析式可知， f (x) 在 (0,+∞) 上是增函数， 2 分
(x−1)ex+a
因为 f′(x)= ,对 x∈(0,+∞) ,所以 f′(x)≥0 ,即 a≥(1−x)ex ,
x2
设 φ(x)=(1−x)ex,x∈(0,+∞) ,则 φ′(x)=−xex<0 ,
所以 φ(x) 在 (0,+∞) 上是减函数,
所以 a≥ϕ(0)=1 ,即 a 的最小值是 1 . 5 分
(2)由 g(x)=0 得 ex−bx−a=0 ，设 F(x)=ex−bx−a ，则 F′(x)=ex−b ，
(i) 若 a≤1 ,取 b=1,F′(x)=ex−1 ,
所以 x∈(−∞,0) 时, F′(x)<0,F(x) 递减; x∈(0,+∞) 时, F′(x)>0,F(x) 递增.
F(x)=ex−x−a≥1−a≥0 ,故 F(x) 至多一个零点,
即 g(x) 至多一个零点,不合; .7 分
若 a>1 ,因为 b>0 ,所以 x∈(−∞,lnb) 时, F′(x)<0,F(x) 递减;
x∈(lnb,+∞) 时, F′(x)>0,F(x) 递增. 8 分
所以 F(x) =F(lnb)=b−blnb−a ,设 h(b)=b−blnb−a ,
min
则 h′(b)=−lnb ,所以 b∈(0,1) 时, h′(b)>0,h(b) 递增;
b∈(1,+∞) 时, h′(b)<0,h(b) 递减.
所以 h(b)≤h(1)=1−a<0 ,即 F(lnb)<0 , .9 分
1 1
因为 x>lnx ,所以 >ln =−lnx ,
x x
故 − a <− 1 <lnb,a+b>b>lnb 且 F ( − a) =e − b a >0 ,
b b b
因为 ex>x2(x>0) ,
所以 F(a+b)=ea+b−a(a+b)−a>(a+b) 2−ab−a2−a=a2+ab−a>0 ,
所以 a>1 时,存在两个零点.
故 a 的取值范围是 (1,+∞) . 10 分
(ii) 因为 F(0)=1−a<0 ,由 (i) 知 g(x) 的两个零点异号,不妨设 x <0<x , 设
1 2
ex 1−a ex 2−a
m=|x −x |=x −x ,因为 b= = ,
2 1 2 1 x x
1 2ex 2−ex
1
ex 1(em−1)
所以 b= = ,
x −x m
2 1
因为
ex 1(em−1)
=
ex 1−a
,所以
em−1
=
ex 1−a
, 12 分
m x m x ex 1
1 1
em−1
由 (1) 知, y= 在上 (0,+∞) 递增,
m
所以 m 存在最小值当且仅当 y 存在最小值,
ex−a
即函数 G(x)= 在 (−∞,0) 上存在最小值, 13 分
xex
a(x+1)−ex
因为 G′(x)= ,设 H(x)=a(x+1)−ex,x∈(−∞,0) ,
x2ex
则 H′(x)=a−ex>1−ex>0 ,所以 H(x) 在 (−∞,0) 上递增,
1
因为 H(−1)=− <0,H(0)=a−1>0 ,
e
所以存在 x ∈(−∞,0),H(x )=a(x +1)−ex 0=0 ,
0 0 0
当 x∈(−∞,x ) 时, G′(x)<0,G(x) 递减;
0
x∈(x ,0) 时, G′(x)>0,G(x) 递增.
0
所以 G(x) 在 x=x 时取得最小值, 15 分
0
em−1
即 x =x 时, y= 取得最小值, m 取得最小值.
1 0 m
此时 b=
ex 0−a
=
a(x
0
+1)−a
=a ,
x x
0 0
所以 |x −x | 取得最小值时 a=b . 17 分
2 1
