文档内容
第 16 讲 分式（9 个知识点+9 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括
号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是 的形式，从
本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x+ +2是分式，如果形式都不是 的形式，那就不能算是分式了，如：
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式
如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝ 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．知识点2．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
知识点3．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
知识点4．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知
条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
知识点5．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母
中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值
不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符
号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
知识点6．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的
最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
知识点7．通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫
做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简
公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中
不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
知识点8．最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
知识点9．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高
次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字
系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
题型强化
题型一．分式的定义
1．（2024秋•桥西区校级月考）在 ， ， ， ， ， ，分式的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023秋•德惠市期末）在代数式 ， ， ， ， 中，是分式的有 个．
3．下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？
， ， ， ， ， ．
题型二．分式有意义的条件
4．（2024秋•故城县月考）已知： ， ，关于下列两个说法，判断正确的是
①若 有意义，则 ；
②设 ，当 为正整数时， 的值为3或5
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确
5．（2024•株洲模拟）要使分式 有意义，则 的取值范围是 ．
6．（2023秋•淄川区期末）一个分子为 的分式，在 时有意义，请写出一个符合上述条件的分式：
．
题型三．分式的值为零的条件
7．（2023秋•松北区期末）若分式 等于零，则 的值是
A． B． C． D．
8．（2022秋•双牌县校级期中）已知关于 的分式 ，求下列问题：
（1）当 满足什么条件，分式无意义；
（2）当 满足什么条件，分式有意义；
（3）当 满足什么条件，分式的值等于0．9．（2023秋•监利市期末）分式 的值为0，则 的值为 ．
题型四．分式的值
10．（2024•古浪县二模）若分式 的值为负数，则 的取值范围是
A． 为任意数 B． C． D．
11．（2024春•景德镇期末）已知 为整数，且分式 的值为正整数，则 可取的值有 ．
12．（2023秋•定陶区期末）阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值．
解： 知 ，所以 ，即 ．
所以 ．
故 的值为 ．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知： ，求 的值．题型五．分式的基本性质
13．（2024•九龙坡区校级开学）下列分式的变形中，正确的是
A． B． C． D．
14．（2023秋•石景山区期末）在括号内填入适当的整式对分式变形： ，变形的依据是 ．
15．（2023秋•沂水县期末）（1）找一组不为0的数 、 、 、 ，使得 成立．由这组数值计算
下面各组中两个分式的值，看看两个分式之间有什么关系．
① 和 ；
② 和 ．
（2）对于任意一组不为零的数 、 、 、 ，若 成立，（1）中各组两个分式的关系是否仍然成立？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
题型六．约分16．（2024秋•故城县月考）将分式 约分的结果是
A． B． C． D．
17．（2024秋•宜章县校级月考）约分 ．
18．（2024春•北碚区校级月考）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分
式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如： ，则称分式 是
“巧分式”， 为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
（1）下列分式中是“巧分式”的有 ①③ （填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若分式 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 ，求 的值；
（3）若分式 的“巧整式”为 ．
①求整式 ．
② 是“巧分式”吗？
题型七．通分
19．（2022秋•澧县校级期末）分式 的分母经过通分后变成 ，那么分子应变为
A． B．
C． D．20．（2021 秋•宣化区期中）若将分式 与分式 通分后，分式 的分母变为
，则分式 的分子应变为 ．
21．（2023秋•庆云县校级月考）（1）约分： ；
（2）通分： ．
题型八．最简分式
22．（2023秋•澄迈县期末）下列分式是最简分式的是
A． B． C． D．
23．（2024春•罗湖区校级期末）将分式 化为最简分式，所得结果是 ．
题型九．最简公分母
24．（2023秋•汉川市期末）分式 ， ， 最简公分母是A． B． C． D．
25．（2023秋•斗门区期末）对分式 和 进行通分，它们的最简公分母为 ．
26．（2021秋•岱岳区校级月考）已知分式 ， ， 是这两个分式中分母的公因式， 是这两个
分式的最简公分母，且 ，试求这两个分式的值．
分层练习
一、单选题
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子① ，②3；③ ；④ 中，分式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在代数式 ， ， ， ， 中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若分式 有意义，则 ， 满足的关系是（ ）A． B． C． D．
6．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
7．当x＝（ ）时，分式 的值等于0．
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
8．若分式 的值等于0，则x的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．1
9．如果把分式 中的 和 都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大3倍 D．扩大6倍
10．若分式 中的 、 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．是原来的20倍B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变
二、填空题
11．约分 ．
12．已知x－y＝4xy，则 的值为 ．
13．要使分式 有意义，x的取值应满足 ．
14．当 时，分式 的值为零．
15．若 ，则 的值是 ．
16．若分式 有意义，则 的取值范围是 ．
17．函数 中，自变量x的取值范围是 ．18．分式： ， ， 的最简公分母是 ．
三、解答题
19．已知 实数满足 ，若 ， ，请你猜想 与 的数量关系，并证
明．
20．下列各分式中，当x取何值时有意义？
(1)
(2)
(3)
21．某村种植了 玉米，总产量为 ；水稻的种植面积比玉米的种植面积多 ，水稻的总产量比
玉米总产量的2倍多 ．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位： ）的式子．22．要配制一种盐水，将 盐完全溶解于 水后仍然达不到所需的含盐量，又加入 盐完全溶解后才符
合要求，请问：要配制的盐水的含盐量是多少？
23．用水清洗蔬菜上残留的农药，设用 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗
前残留的农药量之比为 ．现有 单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后分两
次清洗．试问哪种方法清洗后，蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．
24．请在下列三个不为零的式子 ， ， 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，
并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式．25．如图1，有一个高为 的瓶子，瓶中水面的高度为 ，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为
，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当 时，求出这个比值．
26．阅读理解：对于二次三项式a2+2ab+b2，能直接用完全平方公式进行因式分解，得到结果为（a+b）2．
而对于二次三项式a2+4ab﹣5b2，就不能直接用完全平方公式了，但我们可采用下述方法：
a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣4b2﹣5b2＝（a+2b）2﹣9b2，
＝（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）＝（a﹣b）（a+5b）．
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
解决问题：
（1）请利用上述方法将二次三项式a2+6ab+8b2分解因式；
（2）如图，边长为a的正方形纸片1张，边长为b的正方形纸片8张，长为a，宽为b的长方形纸片6张，
这些纸片可以拼成一个不重叠，无空隙的长方形图案，请画出示意图；
（3）已知x＞0，且x≠2，试比较分式 与 的大小．
