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第 25 章 概率初步 章节整合练习（9 个知识点+40
题练习）
章节知识清单练习
知识点1．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然
事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
知识点2．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进
行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，
如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的
估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
知识点3．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就
叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理
解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合
具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
知识点4．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝ ．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
知识点5．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域 G，又区
域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点
M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体
积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何
概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度
量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
知识点6．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
知识点7．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公
平．
（2）概率＝ ．
知识点8．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个
频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般
通过统计频率来估计概率．
知识点9．模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省
时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课
标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
章节题型整合练习
一．随机事件
1．（2024秋•江北区校级月考）下列事件中，属于必然事件的是
A．下个月，重庆将下一场雨
B．同位角相等
C．圆的直径平分任意一条弦
D．三角形任意两边之和大于第三边
2．（2024春•句容市期中）一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇数属于 事件．
3．（2024•福田区校级二模）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五
晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 （填写“必然事件”或“不可能事件”或
“不确定事件” ．
4．（2023秋•花溪区校级月考）在一个不透明的袋子里，装有 9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，
3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出 个球，红球、白
球、黑球至少各有一个．
（1）当 为何值时，这个事件必然发生？
（2）当 为何值时，这个事件不可能发生？
（3）当 为何值时，这个事件可能发生？
5．（2021•内乡县二模）为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件
发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的3000例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据
绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为 ．
（4）估计所有3000例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？二．可能性的大小
6．（2024秋•杭州月考）一个不透明的盒子中装有1个黄球，2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色
外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是
A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色
7．（2024秋•东阳市月考）“明天下雨的可能性为 ”这句话指的是
A．明天一定下雨
B． 的地区下雨， 的地区不下雨
C．明天不一定下雨
D．明天 的时间下雨， 的时间不下雨
8．（2024•湖南模拟）成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“水中捞月”描述的事件是
事件．（填“随机”“不可能”或“必然”
9．（2024秋•东阳市月考）比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排列．
（1）从写有 数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数；
（2）铁块丢入水中后，浮在水面；
（3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上．10．（2022秋•宜阳县期末）甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着100个红球、40个黑球和5个
白球．三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取1个球，如果你想取
出一个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？请说明理由．
三．概率的意义
11．（2023秋•单县期末）下列说法正确的是
A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
12．（2024•阿荣旗一模）如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为 ”，对这条
信息的下列说法中，正确的是
扬州市邗江区天气
日出 日落
体感温度降水概率降水量空气质量
优
A．邗江区明天将有 的时间下雨
B．邗江区明天将有 的地区下雨C．邗江区明天下雨的可能性较大
D．邗江区明天下雨的可能性较小
13．（2024春•汝州市期末）“明天的降水概率为 ”的含义有以下三种不同的解释：①明天 的地
区会下雨； ② 的人认为明天会下雨；③明天下雨的可能性比较大；你认为其中合理的解释是 ．
（写出序号即可）
14．（2023秋•焦作期末）写一个概率为0.5的事件： ．
15．（2021•仓山区校级三模）甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪 70
元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元．
（1）求甲、乙快递公司的“快递小哥”一日工资 （单位：元）与送货单数 的函数关系式；
（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并
记录其100天的送货单数，得到如下条形图：
若将频率视为概率，回答下列问题：
小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计
学知识为他作出选择，并说明理由．四．概率公式
16．（2024秋•甘州区期中）掷一个骰子时，点数小于2的概率是
A． B． C． D．0
17．（2024秋•罗湖区校级月考）初三（1）班周同学拿了 ， ， ， 四把钥匙去开教室门，只有
能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是
A． B． C．1 D．
18．（2024春•鄄城县期末）如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是6，表明数字6
周围的8个位置有6颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为 ．
19．（2024秋•高邮市校级月考）不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从
盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是 ．
20．（2024春•济宁期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其
中红球6个，白球10个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 ．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出 个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的
概率为 ，请求出 的值．五．几何概率
21．（2024•徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相
等，则飞镖落在阴影区域的概率为
A． B． C． D．
22．（2024秋•成都月考）如图，在 △ 中， ， ， ，将△ 绕点 按
逆时针方向旋转 后得到△ ，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ．
23．（2024春•河源期末）小球在如图所示的地板上自由滚动最终停在黑色区域的可能性是 ．
24．（2023秋•淮南月考）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块
地板大小、质地完全相同，求该小球停留在黑色区域的概率．25．（2022春•郓城县期末）（1）如图所示是一条线段， 的长为10厘米， 的长为2厘米，假设可
以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段 上的概率．
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为 ，小圆的直径为 ，一只小鸟自由
自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是 ．
六．列表法与树状图法
26．（2024•武汉模拟）《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，
是中国古代数学文化的瑰宝．小华要从这四部著作中随机抽取两本学习，则抽取的两本恰好是《周髀算
经》和《九章算术》的概率是
A． B． C． D．
27．（2024秋•莲池区校级月考）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，
另一个转出蓝色即可配成紫色），其中 转盘被分成相等的两个扇形， 转盘被分成相等的三个扇形．如
果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是A． B． C． D．
28．（2024秋•金山区校级月考）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可
能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是 ．
29．（2024秋•浙江期中）如图，有甲、乙两个完全相同的转盘均被分成 ， 两个区域，甲转盘中 区
域的圆心角是 ，乙转盘中 区域的圆心角是 ，自由转动转盘（如果指针指向区域分界线则重新转
动）．
（1）转动甲转盘一次，求指针指向 区域的概率．
（2）自由转动两个转盘各一次，利用树状图或列表法，求两个转盘指针同时指向 区域的概率．
七．游戏公平性
30．（2024•菏泽二模）某口袋中有20个球，其中白球 个，绿球 个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出
一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、
乙双方公平，则 应该是A．6 B．8 C．2 D．4
31．（2024•宝安区校级三模）在科学技术日新月异的推动下，某地积极筹划并成功建立了两个水果种植
基地 和 ，为了助力当地农民迅速走上致富之路，特地邀请了农科院的四位权威专家王专家、李专家、
刘专家和杨专家，他们每两人一组分别去 和 基地现场指导，该地为了公平、公正、采用抽签的方式随
机让两位专家去对应的水果种植基地，由此可知，王专家和刘专家分成一组去 基地的概率是 ．
32．（2024•青岛）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明
和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为 1，2，
3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，
记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于
4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
33．（2024秋•宿迁月考）如图，转盘 中的4个扇形面积相等，转盘 中的6个扇形的面积相等，有人
设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘 、 一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中
的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率；
（2）当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，
则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由．
八．利用频率估计概率
34．（2024秋•渭南期中）在一个不透明的盒子中装有30颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，
搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋
子的频率稳定在0.6，则盒子中黑色棋子可能有A．5颗 B．10颗 C．18颗 D．26颗
35．（2024秋•义乌市期中）在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相
同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 ．
36．（2023秋•雷州市期末）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，
“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到
37．（2024秋•义乌市校级月考）数学老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若
干生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的 23 31 60 130 203 250
次数
摸到黑球的 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 0.25
频率
（1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（精确到
（2）估算袋中白球的个数．
九．模拟试验
38．（2024•微山县二模）为验证“掷一枚质地均匀的骰子，标有数字 1的面朝上的概率是 ．”某同学
做了下面两个模拟实验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，计算标有数字1的面朝上次数与总掷投次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字 1，2，3，4，5，6，转动转盘，计算指针落
在标有数字1区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线不计）．你认为下面说法正确的是
A．实验①科学 B．实验②科学
C．两个实验都不科学 D．两个实验都科学
39．（2022秋•太原期末）农科所通过大量重复实验，发现某农作物种子发芽的频率在 0.85附近波动，则
该种子发芽的大约有 ．
40．（2022•陕西模拟）一个不透明的袋子中装有1个黄球和若干个蓝球，这些球除颜色外重量、大小、表
面光滑度等都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回；搅
匀后再摸一个球，记下颜色后放回；不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 100 200 300 400 500
摸到黄球的频 26 51 75 98 126
数
摸到黄球的频 0.260 0.255 0.250 0.245 0.252
率
（1）该学习小组发现，摸到黄球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 （精确到 ，由此估出
蓝球有 个；
（2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个黄
球，1个蓝球的概率．
