文档内容
第 15 讲 圆的有关性质（6 个知识点+6 种题型+分
层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ⊙
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意
一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣
弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
知识点2．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
知识点3．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
知识点4．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一
推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形
与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
知识点5．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成
同一条弧所对的圆周角和圆心角．知识点6．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
题型强化
题型一．圆的认识
1．（2023秋•永善县期末）已知 中最长的弦为8，则 的半径是
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2024秋•西乡塘区校级月考）一个圆内最长的弦长是 ，则此圆的半径是 ．
3．（2023秋•廉江市期末）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程
长？请通过计算说明．
题型二．垂径定理
4．（2024•瑶海区校级一模）如图， 是 的弦，半径 于点 ， 为直径， ，，则线段 的长为
A． B．8 C． D．
5．（2024秋•海淀区校级月考）如图，平面直角坐标系 中， 与 轴交于点 与 ， 的半
径是 ，则点 的坐标是 ．
6．（2024秋•海淀区校级月考）如图， ， 交 于点 ， ， 是半径，且 于点
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．题型三．垂径定理的应用
7．（2023秋•金昌期末）如图， 是 的直径， 是非直径的弦， 与 相交于点 ．从以下四
个条件中任取一个，其中不能得到 的有
A． B． C． D．
8．（2024秋•沭阳县校级月考）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利
灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面的上方，
的半径长为5米， 被水面截得的弦 长为8米，点 是运行轨道的最低点，则点 到弦 的距
离为 ．
9．（2024•莒南县模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中
用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2．已知圆
心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，
则点 到弦 所在直线的距离是 米．题型四．圆心角、弧、弦的关系
10．（2024 秋•海淀区校级月考）如图， 是 的弦， 是 的中点， 交 于点 ．若
， ，则 的半径为
A． B． C． D．
11．（2024秋•广陵区月考）如图， 是 的弦， 是 的中点， 交 于点 ．若 ，
，则 的半径为 ．
12．（2023秋•南京期末）如图， 是 的弦， 是 的中点．
（1）连接 ，求证： 垂直平分 ；（2）若 ， ，求 的半径．
题型五．圆周角定理
13．（2023秋•昭通期末）如图，点 ， ， 均在 上， ，则 的度数为
A． B． C． D．
14．（2024秋•宿豫区月考）如图，点 ， ， 在 上，若 ，则 的度数为 ．15．（2024•合肥模拟）如图， 的两条弦 ，垂足为 ，点 在 上， 平分 ，连
接 ，分别交 于 ， 于 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， 的半径为2，求 的长．
题型六．圆内接四边形的性质
16．（2024秋•上城区校级月考）如图，四边形 是 的内接四边形， 在 的延长线上，若
，则 的度数是A． B． C． D．
17．（2024秋•南关区校级月考）如图，四边形 内接于 ，过点 作 ，交 于点 ．
若 ，则 等于 度．
18．（2023秋•金昌期末）如图，四边形 内接于 ， 为 延长线上一点，连接 、 ，若
，求证： 平分 ．
分层练习
一、单选题
1．半径为5cm的圆内有两条弦AB‖CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB、CD间的距离为（ ）A．1cm B．7cm C．1cm 或7cm D．不能确定
2．如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=30°，则弦BC的长是（ ）
3
A． B．2 C．1 D．
2
3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为( )
A．28° B．42° C．56° D．62°
4．如图， 是半圆，O为AB中点，C、D两点在 上，且AD∥OC，连接BC、BD．若 ＝62°，则
的度数为何？（ ）
A．56 B．58 C．60 D．62
5．如图，A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOC＝110°，则∠ABC的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．70°
6．如图，等腰直角三角板 的斜边 与量角器的直径重合，点 是量角器上 刻度线的外端点，
连接 交 于点 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中，点 是 的中点，点 在 上，连接 、 、 、 ．若 ，
则 的大小为（ ）
A．50° B．350° C．25° D．150°
8．如图，在平面直角坐标中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切
的格点的坐标是( )
A．(0，3) B．(5，1) C．(6，1) D．(7，1)
9．如图，在正方形 中， ，点E是正方形 内部一动点，且 ，点P是 边
上一动点，连接 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．410．如图，正方形ABCD中，P为CD边上任意一点，DE⊥AP于点E，点F在AP延长线上，且EF＝AE，
连结DF、CF，∠CDF的平分线DG交AF于G，连结BG．给出以下结论：①DF＝DC；②△DEG是等腰
直角三角形；③∠AGB＝45°；④DG+BG＝ AG．所有正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝58°，∠C＝46°，则∠ADB＝ 度．
12．如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度．
13．如图，在 的内接五边形 中， ， ，则 ．
14．如图， 是 的直径， 是 的内接三角形，若 ，则 的直径．
15．如图， 是⊙O的直径，点D，C在⊙O上， ，则⊙O的半径长为
．
16．如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且
∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是 ．
17．如图在菱形 中， ， 是 、 的交点， 是线段 上的动点（不与点 、
重合），将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 恰好在 边上，若要使得 ，则 的
范围为 ．
18．如图，抛物线 与 轴交于 两点，抛物线的顶点为 ，点 为 的中点，以 为圆
心， 长为半径在 轴的上方作一个半圆，点 为半圆上一动点，连接 ，取 的中点 ，当点 沿
着半圆从点 运动至点 的过程中，线段 的最小值为 ．三、解答题
19．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为 米,宽为 米的长方形构成（π取 ）．
(1)求这个运动场的周长是多少米?
(2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为 ,每平方米塑胶的价格为 元,比
每平方米草坪的价格高 ,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元?
20．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水
平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 的圆，如图所示，若水面宽 ，求水的最大
深度．（精确到0.1）21．如图， 是半圆 的直径， 、 是半圆 上的两点，且 ， 与 交于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
22．如图，点P是 内一定点．
(1)过点P作弦 ，使点P是 的中点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若 的半径为10， ，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
23．如图①， ， 是半圆 上的两点，若直径AB上存在一点 ，满足 ，则称
是 的“纯倍角”．
(1)如图②，AB是圆 的直径，弦CE垂直于AB， 是弧 上一点，连结 交AB于点 ，连结 ，
是 的“纯倍角”吗？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，设弧CD的度数为 ，请用含 的代数式表示 和 的度数．
(3)如图③，在（1）的条件下，连结CD，直径 ， ．求弦CD的长．
24．如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽 与桥长 均为24米，桥拱顶部 离水面的距离为8
米，以桥拱顶部 为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求圆弧型桥拱所在圆的半径；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱 ， ， ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的
抛物线，其最低点到桥面的距离为1米．
①求出 轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度．
25．如图，单行隧道的截面是由拱形和矩形组成，矩形ABCD的长 为 ，宽 为 ，圆拱形的拱高
h=1m，
（1）求 所在 的半径R；
（2）现有一辆大型卡车（截面视为矩形），卡车的宽为 ，车高 ，问这辆大型卡车从单行隧道正中
间MN能否通过？通过计算说明理由．26．阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括
他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形 内接于 ，对角线 于点 ，
于点 ，延长 交 于点 ．
求证： ．
证明： ， ，
， ，
．
……
任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过
点作，分别交，于点，．若，求的长.
