文档内容
第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：等差数列的有关概念.........................................................................................................4
知识点2：等差数列的有关公式.........................................................................................................4
知识点3：等差数列的常用性质.........................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：等差数列的基本量运算........................................................................................................6
题型二：等差数列的判定与证明........................................................................................................7
题型三：等差数列的性质....................................................................................................................9
题型四：等差数列前n项和的性质..................................................................................................10
题型五：等差数列前n项和的最值..................................................................................................11
题型六：等差数列的实际应用..........................................................................................................12
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论......................................................................................13
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题..................................................................................15
题型九：利用等差数列的单调性求解..............................................................................................17
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题......................................................................................18
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................20
05课本典例·高考素材........................................................................................................................20
06易错分析·答题模板........................................................................................................................22
易错点：忽视数列的首项..................................................................................................................22考点要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷（文）第5题，5
分
2024年II卷第12题，5分
（1）等差数列的概念 （1）选择题、填空题多单独考查基本量
2023年甲卷（文）第5题，5
（2）等差数列的通项 的计算．
分
公式与求和 （2）解答题多与等比数列结合考查，或
2023年I卷第7题，5分
（3）等差数列的性质 结合实际问题或其他知识考查．
2022年上海卷第10题，5分
2022年乙卷（文）第13题，5
分
复习目标：
（1）理解等差数列的概念．
（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点1：等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为 （常数）
．
（2）等差中项
若三个数 ， ， 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 ．
【诊断自测】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．证明：数列
是等差数列；
知识点2：等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ．
（2）等差数列的前 项和公式
设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ．
【诊断自测】（2024·四川凉山·二模）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
．知识点3：等差数列的常用性质
已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和．
（1）通项公式的推广： ．
（2）在等差数列 中，当 时， ．
特别地，若 ，则 ．
（3） ，…仍是等差数列，公差为 ．
（4） ，…也成等差数列，公差为 ．
（5）若 ， 是等差数列，则 也是等差数列．
（6）若 是等差数列，则 也成等差数列，其首项与 首项相同，公差是 公差的 ．
（7）若项数为偶数 ，则 ； ； ．
（8）若项数为奇数 ，则 ； ； ．
（9）在等差数列 中，若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值 ；若
，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
（10） ．数列 是等差数列⇔ （ 为常数）．
（11）等差数列的前n项和的最值
公差 为递增等差数列， 有最小值；
公差 为递减等差数列， 有最大值；
公差 为常数列．
特别地
若 ，则 有最大值（所有正项或非负项之和）；
若 ，则 有最小值（所有负项或非正项之和）．
（12）若已知等差数列 ，公差为 ，前 项和为 ，则：
①等间距抽取 为等差数列，公差为 ．②等长度截取 为等差数列，公差为 ．
③算术平均值 为等差数列，公差为 ．
【诊断自测】已知数列 为等差数列， ，则 ．
解题方法总结
（1）等差数列 中，若 ，则 ．
（2）等差数列 中，若 ，则 ．
（3）等差数列 中，若 ，则 ．
（4）若 与 为等差数列，且前 项和为 与 ，则 ．
题型一：等差数列的基本量运算
【典例1-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
【典例1-2】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若
，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【方法技巧】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差 或项数 ．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项． 和 是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前 项和．利用等差数列的前 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式1-1】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【变式1-2】（2024·天津滨海新·三模）已知数列 为各项不为零的等差数列， 为数列 的前 项和，
，则 的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式1-3】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则
（ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
【变式1-4】（2024·北京·模拟预测）记等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，且
，则该数列的公差 为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型二：等差数列的判定与证明
【典例2-1】已知数列 的前n项和为 ，若 ， .记 判断
是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由.
【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）数列 的前 项和 满足 ．证明：
是等差数列；【方法技巧】
判断数列 是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意 是周一常数．
（2）等差中项法：对任意 ，湍足 ．
（3）通项公式法：对任意 ，都满足 为常数）．
（4）前 项和公式法：对任意 ，都湍足 为常数）．
【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列 满足 .
证明：数列 是等差数列；
【变式2-2】已知数列 有 ， （常数 ），对任意的正整数n， ，并
有 满足 ．
(1)求a的值；
(2)试确定数列 是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由．
【变式2-3】已知数列 满足 ，且
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求 的前 项和 .【变式2-4】（2024·重庆·三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若数列 的公差不为0，数列 中的部分项组成数列 ， ， ，…， 恰为等比数列，其中
， ， ，求数列 的通项公式.
题型三：等差数列的性质
【典例3-1】（2024·高三·上海·期中）已知等差数列 的前 项的和为 ，且 ， ，
则正整数 的值为 .
【典例3-2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列 的前 项和为 ， ，则 .
【方法技巧】
如果 为等差数列，当 时， ．因此，出现
等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 （或其他项）有关的条件；若求 项，可
由 转化为求 的值．
【变式3-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
.
【变式3-2】已知数列 是等差数列， 是其前n项和．若 ，则 ．题型四：等差数列前n项和的性质
【典例4-1】（2024·高三·天津宁河·期末）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且
，则 ．
【典例4-2】在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 .
【方法技巧】
在等差数列中， ，…仍成等差数列； 也成等差数列．
【变式4-1】等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意的正整数 都有 ，
则 .
【变式4-2】已知两个等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的
正整数n的集合是 .
【变式4-3】已知等差数列 的前 项和分别为 和 ，若 ，且 是整数，则 的值
为 .
【变式4-4】已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 .
【变式4-5】（2024·江西上饶·一模）已知数列 、 均为正项等比数列， 、 分别为数列 、
的前 项积，且 ，则 的值为 .
题型五：等差数列前n项和的最值
【典例5-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 中， ， ，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【典例5-2】（2024·山东泰安·三模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求等差数列前 项和 最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前 项和的函数表达式 ，通过配方或借助图象求二次函数最
值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值 ；
②若 ，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，
则当 取最小值时， （ ）
A．9 B．10 C．10或11 D．11
【变式5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 是等差数列， 是其前 项的和，则下列结论错误
的是（ ）
A．若 ，则 取最小值时 的值为12
B．若 ，则 的最大值为108
C．若 ，则必有
D．若首项 ， ，则 取最小值时 的值为9
【变式5-3】（2024·山东·二模）已知数列 ．求：
(1)数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和 的最大值．题型六：等差数列的实际应用
【典例6-1】（2024·云南曲靖·二模）小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等
差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（ ）
A．25元 B．18元 C．20元 D．16元
【典例6-2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行
任务．运送“神十八”的长征二号 运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 ，以后每秒钟通过的路
程都增加 ，在达到离地面 的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需
要的时间是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【方法技巧】
利用等差数列的通项公式与求和公式求解.
【变式6-1】（2024·高三·浙江嘉兴·期末）卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，
有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫
生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已
经使用了（ ）
A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m
【变式6-2】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动
（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若
某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开
始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【变式6-3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学
软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 ，作一个等边三角形 ，然后以
点B为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点E，再以点A为圆心， 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2024·河北唐山·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次
在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球
赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，
派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合
①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空
缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102 B．103 C．104 D．105
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论
【典例7-1】已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前n项和，
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【典例7-2】已知数列 满足 ， ，
(1)求 ；
(2)当 为奇数时，求数列 的前 项和【方法技巧】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从 为奇数、偶数进行分类．
【变式7-1】已知数列 的通项公式为
(1)求数列 的前 项和 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列 中， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【变式7-3】（2024·高三·湖北·期中）已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且
.
(1)求 ， ；
(2)设 ，求数列 的前8项和 .
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题
【典例8-1】（2024·四川成都·二模）已知数列 的前n项和 ，且 的最大值为 ．
(1)确定常数 ，并求 ；
(2)求数列 的前15项和 ．【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知数列 的前n项和为 .若 为等差数列，且满足
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
【方法技巧】
由正项开始的递减等差数列 的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对 进行讨论，当 时， ，当 时，
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列 满足 是 与 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
【变式8-2】（2024·高三·上海·期中）在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成
等比数列．
(1)求 ， ；
(2)若 ， ，求 ．【变式8-3】（2024·高三·河南·期中）已知等差数列 的公差为整数， ，设其前n项和为 ，且
是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【变式8-4】（2024·安徽宣城·二模）已知数列 是首项为1的等差数列，公差 ，设数列 的前
项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【变式8-5】（2024·重庆万州·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，设 ，求 的最小值.
题型九：利用等差数列的单调性求解
【典例9-1】（2024·北京海淀·三模）已知等差数列 的公差为 ，数列 满足 ，则“
”是“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【典例9-2】（2024·贵州铜仁·二模）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 ，若
，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【方法技巧】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列 是递增数列 ，
恒成立”．
（2）数列 的单调性与 ， 的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数
是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性 连续函数由单调性；
连续函数有单调性 离散函数有单调性”．
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 .若
，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【变式9-2】已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 单调递增，若 ，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列 的前 项和为 ，则“ 为
递减数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式9-4】设 为等差数列 的前n项和，则对 ， ，是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式9-5】已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．当 取得最大值时， D．
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题
【典例10-1】（多选题）（2024·高三·山东临沂·期中）公差为 的等差数列 的前 项和为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． 中 最大 D．
【典例10-2】（多选题）公差为d的等差数列 ，其前n项和为 ， ， ，下列说法正确的
有（ ）
A． B． C． 中 最大 D．
【方法技巧】
等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前n
项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的
通项或前n项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒
成立。
【变式10-1】（多选题）（2024·海南·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，等
差数列 的前n项和为 ，且 ， ，若 恒成立，则实数λ的值可以为（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
【变式10-2】（多选题）已知等差数列 的前n项和为 ，当且仅当 时 取得最大值，则满足
的最大的正整数k可能为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25【变式10-3】（多选题）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则（ ）
A． B． 的前 项和中 最小
C．使 时 的最大值为9 D． 的最大值为0
【变式10-4】（多选题）设 是等差数列， 是其前n项和，且 ， ，则下列结论正
确的是（ ）.
A． B．
C． D． 与 均为 的最大值
【变式10-5】（多选题）（2024·山东德州·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ，
， ，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 时， 的最大值为
C．数列 为等差数列，且和数列 的首项、公差均相同
D．数列 前 项和为 ， 最大
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，
则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若
，则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
1． 在等差数列 中， ， ，且 ，求 ．
2．已知数列 ， 都是等差数列，公差分别为 ， ，数列 满足 ．
（1）数列 是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若 ， 的公差都等于2， ，求数列 的通项公式．
3．已知一个无穷等差数列 的首项为 ，公差为d．
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首
项和公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公
差分别是多少？（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作
出一个猜想吗？
4．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间
一项的值以及项数．
5．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”
的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列 ．
（1）写出数列 的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列 的一个通项公式．
6．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大
的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．易错点：忽视数列的首项
易错分析：由 求通项公式 ，可用 求解．当 时，如果不适合
，则应写成分段形式．
【易错题1】已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 通项公式 ．
【易错题2】数列 的前 项和 ，则该数列的通项 .
