文档内容
第 14 讲 乘法公式（5 个知识点+5 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项
分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全
平方公式．
知识点2．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式
做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b
的长方形的面积和作为相等关系）
知识点3．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则
称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，
就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的 2倍中间放，符号随
中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以 2，然后把这个数放在两数的乘方的
中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，
后边的符号都用+）”
知识点4．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
知识点5．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出
几何解释．
题型强化
题型一．完全平方公式
1．（2024秋•朝阳区校级月考）已知 ，则代数式 的值是
A．16 B．20 C．25 D．30
【分析】先将原式根据完全平方公式变形，再整体代入即可得出答案．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键．
2．（2024秋•沈丘县校级月考）若 与 互为倒数，则 的值为 ．
【分析】由题意可得 ，再把所求的式子整理，从而可求解．
【解答】解： 与 互为倒数，
，
．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式的形式．
3．（2024•和平区校级开学）（1）已知 ， ，则 的值为 ．
（2）已知 ， ，则 ．
（3）已知 满足 ，则 的值为 ．【分析】（1）利用完全平方公式和整体代入的方法解答即可；
（2）利用完全平方公式和整体代入的方法解答即可；
（3）利用完全平方公式和整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1） ， ， ，
；
故答案为：26；
（2） ， ，
，
．
故答案为： ；
（3） ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
题型二．完全平方公式的几何背景
4．（2023秋•凉州区期末）如图，两个正方形的边长分别为 和 ，如果 ， ，那么阴影
部分的面积是A．5 B．10 C．20 D．30
【分析】分析图形可得阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，据此计算可得关系式；代入
， ，计算可得答案．
【解答】解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，
即 ；
代入 ， 可得：
．
故选： ．
【点评】此题考查整式的混合运算，解答本题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积，但在计
算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．
5．（2024•沙坪坝区校级开学）如图，分别以长方形 的 ， 为边向外作正方形 和正方
形 ，延长 ， 交于点 ，若正方形 和正方形 的面积和为27，长方形 的
面积为11，则正方形 的周长为 ．
【分析】设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，利用完全平方公式计算出 值，再计
算正方形 的周长即可．
【解答】解：设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
正方形 和正方形 的面积和为27，长方形 的面积为11，
， ，又 ，
或 （舍去），
，
即正方形 的周长为28．
故答案为：28．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
6．（2024春•东平县期末）图1在一个长为 ，宽为 的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长
方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 ；
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示；
（3）如图3，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，
面积分别是 和 ，设 ，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）根据大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得答案；
（2）用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即可得出等式；
（3）设两个正方形的边长为 、 ，可得 ， 出 即可．
【解答】解：（1）由大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得，
阴影部分是边长为 的正方形，
故答案为： ；
（2）方法一：阴影部分是边长为 的正方形，因此面积为 ，
方法2：从边长为 的正方形面积减去4个长为 ，宽为 长方形的面积可得，，
于是有： ；
（3）设大正方形的边长为 、小正方形的边长 ，
则 ， ，
由 得，
，
即 ，
因此阴影部分的面积为 ．
答：阴影部分的面积为9．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键．
题型三．完全平方式
7．（2024秋•绿园区校级月考）如果 是关于 ， 的完全平方式，则 的值是
A． B． C．20 D．无法确定
【分析】根据完全平方式公式推算即可．
【解答】解： 是个完全平方式，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了完全平方式，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
8．（2024春•龙岗区校级期中）关于 的二次三项式 是一个完全平方式，则 ．
【分析】根据完全平方式 解答即可．【解答】解：若关于 的二次三项式 是一个完全平方式，
则 ，
故答案为：16．
【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．
9．（2024•三元区一模）综合与实践
如图1，有 型， 型正方形卡片和 型长方形卡片各若干张．
（1）用1张 型卡片，2张 型卡片，3张 型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方
形面积，可以得到一个等式，请你写出该等式： ；
（2）选取1张 型卡片，8张 型卡片， 张 型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含
， 的式子表示为 ；
（3）如图3，正方形边长分别为 ， ，已知 ， ，求阴影部分的面积．
【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出等式；
（2）由拼图可得 是完全平方式，则 ，即 ，从而得出答案；
（3）表示阴影部分的面积，化成 ，再整体代入求值即可．
【解答】解：（1）方法1，长方形的面积为 ，
方法2，图2中六部分的面积和为： ，
因此有 ，
故答案为： ；
（2）由面积拼图可知，
，要16张 型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长为 ，
故答案为：16； ；
（3）由图形面积之间的关系可得，
．
， ，
原式
．
【点评】本题考查完全平方公式的几何意义，掌握用不同方法表示同一个图形的面积是关键．
题型四．平方差公式
10．（2024春•紫金县期末）下列各式中，可以用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解： 、原式 ，不符合题意；
、原式 ，符合题意；
、原式 ，不符合题意；、原式 ，不符合题意．
故选： ．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．（2024秋•德惠市校级月考）下列多项式中① ，② ，③ ，
④ 能用平方差公式计算的： （填写正确结论的序号）．
【分析】对多项式逐项运算，再根据平方差公式和完全平方公式进行判断即可．
【解答】解：① ， 能用平方差公式计算，故①符合题意；
② ， 能用平方差公式计算，故②符合题意；
③ ， 不能用平方差公式计算，故③不合题意；
④ ， 不能用平方差公式计算，故④不合题意；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关
键．
12．（2024秋•内乡县校级月考）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【分析】（1）根据实数的运算法则，先计算乘除，再计算加减．
（2）根据实数的运算法则，先计算乘法，再计算减法．
（3）根据实数的运算法则，先计算算术平方根、立方根、乘方、绝对值，再计算加法．
（4）根据实数的运算法则，先计算乘法，再计算减法．【解答】解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【点评】本题主要考查实数的运算、绝对值、二次根式、算术平方根、立方根、有理数的乘方、平方差公
式、完全平方公式，熟练掌握实数的运算法则、绝对值、二次根式、算术平方根、立方根、有理数的乘方、
平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键．题型五．平方差公式的几何背景
13．（2023秋•西山区校级期末）如图的面积关系，可以得到的恒等式是
A． B．
C． D．
【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：阴影部分的面积 ；
阴影部分的面积 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
14．（2023秋•文峰区期末）如图，从边长为 的正方形中去掉一个边长为 的小正方形，然后将剩余部
分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 ．
【分析】将“剩余部分”的面积通过“算两遍”的方法用代数式表示其面积即可．
【解答】解：从边长为 的正方形中去掉一个边长为 的小正方形，剩余部分的面积可以看作两个正方形
的面积差，即 ，
将剩余部分可以拼成长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，所以有 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
15．（2023秋•临颍县期末）实践与探索
如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所
示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
．
．
．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 ．
②计算： ．
【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将 ，再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为 即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 ，
图2中的阴影部分是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，所以有 ，
故答案为： ；
（2）① ，
，
又 ，
，
即 ，
故答案为：4；
② ，
，
，
原式 ．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的
前提．
分层练习
一、单选题
1．已知 ， ，则 的值是（ ）
A．1 B．6 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值
【分析】利用完全平方公式解题： ．
【详解】解：故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式、求代数式的值等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（a﹣2b） B．（a﹣2b）（2b﹣a）
C．（2a﹣b）（﹣2a+b） D．（b﹣2a）（﹣2a﹣b）
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】根据平方差公式逐项计算，即可求解．
【详解】A．（2a+b）（a﹣2b）=2a2-2ab-2b2，不符合平方差公式，不能用平方差公式进行计算，故本选
项不符合题意；
B．（a﹣2b）（2b﹣a）=-（a-2b）2，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
C．（2a﹣b）（﹣2a+b）=-（2a-b）2，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D．（b﹣2a）（﹣2a﹣b）＝（﹣2a）2﹣b2＝4a2﹣b2，符合平方差公式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握 是解题的关键．
3．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．2
【答案】B
【分析】将原式进行变形,利用平方差公式计算结果,归纳总结即可得到个位数字.
【详解】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=[（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）]÷(2-1)
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（28-1）（28+1）（216+1）
=（216-1）（216+1）
=232-1
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,...
∴其结果个位数以2,4,8,6循环,
∵32÷4=8,∴232的个位数字是6,
∴原式的个位数字为6-1=5,
故选B.
【点睛】本题考查了平方差公式的应用,属于简单题,熟悉公式,找到个位数字上的规律是解题关键.
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、合并同类项
【分析】根据运算的条件和法则逐一计算判断即可
【详解】∵2a与3b不是同类项，无法计算，
∴A式计算错误；
∵ ，
∴B式计算错误；
∵ ，
∴C式计算错误；
∵ ，
∴D式计算正确；
故选D
【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握公式和运算的
法则是解题的关键．
5．已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．16 C．20 D．以上答案均不对
【答案】C
【知识点】等腰三角形的定义、运用完全平方公式进行运算、利用算术平方根的非负性解题
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长或底边两种情况讨论求解．
【详解】解：根据题意得：x-4=0，y-8=0，
解得x=4，y=8，4是腰长时，三角形的三边分别为4，4，8，不能组成三角形；
4是底边时，三角形的三边分别为4，8，8，能组成三角形，周长是4+8+8=20．
所以等腰三角形的周长是20．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，完全平方与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，
则每一个算式都等于0，求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系
进行判断．
6．下列计算中，正确的是（ ）
A．﹣a（3a2﹣1）＝﹣3a3﹣a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣2a﹣3）（2a﹣3）＝9﹣4a2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣2ab+b2
【答案】C
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】针对每个式子，选准运算法则和乘法公式，再对照法则、公式写出结果；分清楚各项及其符号尤
为重要．
【详解】解：A、应为﹣a（3a2﹣1）＝﹣3a2+a，故本选项错误；
B、应为（a﹣b）2＝a2-2ab+b2，故本选项错误；
C、正确；
D、应为（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，故本选项错误．
故选C．
【点睛】此题考查单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式，解题关键在于掌握其运算法则.
7．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】运用平方差公式进行运算、积的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，平方差公式对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A中 ，故不符合要求；
B中 ，故不符合要求；C中 ，故符合要求；
D中 ，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，平方差公式．熟练掌握同底数幂的乘法，
合并同类项，积的乘方，平方差公式是解题的关键．
8．计算 的值是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把2＋1写成（22－1）的形式，然后再利用平方差公式依次计算即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是把2＋1写成（22－1）的形式，再求解就容易了．
9．已知实数m，n满足m﹣n2=2，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（ ）
A．-14 B．11 C．8 D．-6
【答案】A
【知识点】整式的加减及运用
【详解】试题分析：由题意可知n²=m-2，因此可由m2+2n2+4m﹣1= m2+2（m-2）+4m﹣1= m2+6m﹣5=
（m+3）²-14，因此其最小值为-14.
故选A
考点：1.配方法，2.二次函数的最值
10．如图，在边长为x的正方形纸片中间剪去一个边长为（a+2）的小正方形，将剩余部分剪开拼成一个不
重叠，且无缝隙的平行四边形．若平行四边形的面积为 ，则原正方形纸片的边长x为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【分析】根据平行四边形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，列整式整理即可．
【详解】∵
∴
∴
整理，得： ，
解得： ．
故选A．
【点睛】本题考查整式的混合运算在几何图形中的应用．理解平行四边形的面积=大正方形的面积-小正方
形的面积是解题关键．
二、填空题
11． ＝ ．
【答案】x2+4xy+4y2
【分析】根据完全平方公式进行计算即可．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【详解】解：（﹣x﹣2y）2＝x2+4xy+4y2．
故答案为：x2+4xy+4y2．
【点睛】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方
式．该题要求熟练掌握完全平方公式，并灵活运用．
12．已知 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】此题考查了平方差公式．利用平方差公式将 分解，然后整体代入可得出 的值．【详解】解：由题意得， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．边长为 和 的长方形，周长为14，面积为10，则 .
【答案】29
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】先把所给式子整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【详解】根据题意得：a+b=7，ab=10，
则 ．
故答案为29．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想
和正确运算的能力．
14．若二次三项式 是一个关于 的完全平方式，则 .
【答案】-11或13
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：∵4a2-（k-1）a+9是一个关于a的完全平方式，
∴k-1=±12，
解得：k=13或-11，
故答案为13或-11
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．已知x2＋3x＋1＝0，则x2＋ ＝ ．
【答案】7
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】将方程两边同时除以字母x，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式，变式解题．
【详解】解：由x2＋3x＋1＝0得，
，故答案为：7．
【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为 ．
【答案】8
【知识点】平方差公式、完全平方公式、整式的混合运算
【分析】利用完全平方公式及平方差公式把原式第一项和第二项展开，去括号合并同类项得到最简结果，
把x2+2x＝3代入即可得答案.
【详解】原式=x2+2x+1-(x2-4)+x2
=x2+2x+1-x2+4+x2
=x2+2x+5.
∵x2+2x＝3，
∴原式=3+5=8.
故答案为8
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，
以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
17．已知关于x，y的方程组 ，其中a是实数．
（1）若x＝y，则a＝ ．
（2）若代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，则k＝ ．
【答案】 6
【知识点】加减消元法、通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】①直接将 代入方程组的第一个方程中即可得出a的取值；②先将方程组解出，得到 ，化简代数式为： ，使代数式的值
与a的取值无关，求出 ，则令 中， 即可得出k的值．
【详解】解：①当 时，代入原方程组中第一个方程可得：
，
解得： ；
②解方程组： ，
解得： ，
，
代数式 的取值与a无关，
∵
，
∴ ．
∴
故答案为：① ；② ．
【点睛】题目主要考查解二元一次方程组、完全平方公式的运用，难点在于将代数式的值转换为完全平方
公式形式，再考虑取值与a无关．
18．如图，由一个边长为 的小正方形与两个长、宽分别为 、 的小矩形拼接成矩形 ，则整个图
形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出图中能表达的任意三个等式：
（1） ；
（2） ；（3） .
【答案】 a(a+2b)-a(a+b)=ab； ； .
【分析】根据计算面积的方法多种多样，因此可以用不同方法表达求解，
【详解】（1）用整个图形的面积减去一个边长为a,a+b的长方形,得到另外一个长方形,边长是a,b即:
a(a+2b)-a(a+b)=ab.；
（2）把图形分割成两个长方形,一边长分别是a+b,b宽都是a,则有 ；
（3）把图形分割成一个正方形,两个长方形计算面积,则有: .
【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，掌握运算法则是解题关键
三、解答题
19．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、整式的加减中的化简求值
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，然后利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：
，
，
；
∵
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式和平方差公式，利用整体思想求值是解题的关
键．
20．植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验．其中长方形花坛每
排种植 株，种植了 排，正方形花坛每排种植 株，种植了 排 ．
(1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？
(2)当 时，这两块花坛一共种植了多少株？
【答案】(1)长方形花坛比正方形花坛多种植 株
(2)这两块花坛一共种植了76株
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式运算以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据“长方形花坛每排种植 株，种植了 排，正方形花坛每排种植 株，种植了 排”
列式并求解即可；
（2）根据题意可得共种植了 株，然后将 代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得： ．
答：长方形花坛比正方形花坛多种植 株．
（2）由题意得： ，
当 时，原式 （株）．
答：这两块花坛一共种植了76株．
21．小玲是某校七年级的学生，她家有一块正方形的菜地，因为修高铁，把这块菜地的东边缩短了 ．
老村长建议在这块菜地（缩短后）的南边加长 ，小玲的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，
而小玲却提出了反对意见，认为这样她家这块菜地的面积减少了 ．你认为小玲的说法正确吗？为什
么？【答案】小玲的说法正确，理由见解析
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查了平方差公式的应用；设正方形的菜地的边长为 ，根据正方形的菜地面积减去长方
形的菜地面积，即可求解．
【详解】解：小玲的说法正确，理由如下：
设正方形的菜地的边长为 ，依题意，
∴小玲的说法正确，她家这块菜地的面积减少了 ．
22．一天，王明和李玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某
些等式．比如图②可以解释为：
（1）图③可以解释的等式为： ．
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图①所示的 _____块， _____块，
_____块．
（3）请写出图④解释的一个等式，并说明等式成立的理由．
【答案】（1） （2）2，7，3（3）【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】（1）求出长方形的长和宽，根据面积公式求出即可；
（2）求出长方形的面积，即可得出答案；
（3）根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．
【详解】（1）图③可以解释为等式（a+2b）（2a+b）=2a2+ab+4ab+2b2=2a2+5ab+2b2，
故答案为（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．
（2）（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，
故答案为2，7，3．
（3）等式：
证明：
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，关键是正确掌握多项式乘以多项式的法则及完全平方公式的法则，
观察图形的能力也很重要.
23．如图，将一张大长方形纸板按图所示裁剪成9块，其中有2块是边长为a的大正方形，5块长为a，宽
为b的相同的小长方形
(1)观察图形，可以根据图形的面积因式分解： ；
(2)若 ， ，求图中空白部分的面积．
【答案】(1)
(2)20
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值
【分析】（1）2块边长为a的大正方形的面积加上2块边长为b的小正方形的面积加上5块长为a，宽为b的相同的小长方形的面积等于长为 ，宽为 的大长方形的面积；
（2）由 ， ，可得 的值，空白部分的面积即5块长为a，宽为b的相同的小长方形的
面积．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴空白部分的面积为 ．
24．综合实践：如图1，长方形的两边长分别为 ， ；如图2，长方形的两边长分别为 ，
．（其中m为正整数）
(1)图1中长方形的面积 ______；图2中长方形的面积 ______．
(2)现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．
①正方形的边长为_____；（用含m的代数式表示．）
②探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积 的差（即 ）是个常数，并求出这个常数．
（提示： ）
【答案】(1) ；
(2)① ；9
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、长方形和正方形的
面积公式与周长公式．（1）根据长方形的面积 长 宽，求出图1和图2中长方形的面积即可；
（2）①先求出图1中长方形的周长，然后根据正方形的周长与图1中的长方形周长相等，求出正方形周长，
从而求出正方形边长即可；
②由①中所求正方形的边长，从而求出正方形的面积，再求出该正方形的面积 与图1中长方形的面积
的差即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
，
，
故答案为： ； ；
（2）①图1中长方形的周长为： ，
正方形的周长与图1中的长方形周长相等，
正方形的周长为 ，
正方形的边长为 ，
故答案为： ；
② 正方形的面积 ，
，
该正方形的面积 与图1中长方形的面积 的差（即 是一个常数，这个常数为9．
25．（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．① ；② ；③ ；④ ．
（2）请在图④画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用
数学式子表达： ．
（3）利用（2）的结论计算4.232+8.46×5.77+5.772的值．
【答案】（1）a2，2ab，b2，（a+b）2；（2）a2+2ab+b2＝（a+b）2；（3）100
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】（1）根据题目中的图形，结合面积公式可以表示出它们的面积；
（2）根据题目中的图形，可以画出相应的拼图并写出四个图形之间的关系式；
（3）根据（2）中的结论可以求出所求式子的值．
【详解】解：（1）图①的面积是a2，图②的面积是2ab，图③的面积是b2，图④的面积是（a+b）2，
故答案为：a2，2ab，b2，（a+b）2；
（2）拼图如图所示，
前三个图形的面积与第四个图形面积之间的关系是：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2；
（3）4.232+8.46×5.77+5.772＝（4.23+5.77）2＝102＝100．
【点睛】本题考查完全平方公式与几何图形，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，利用数形
结合的思想解答．
26．二次根式对于数学学习具有重要的意义，跟着小华的脚步，完成二次根式之美——最值导学案．
【极值定律之美】小华发现，平方数具有非负性可以推出许多有用的结论，例如： ，
．(1)证明：对于任意正实数 ， ，都有 ．
(2)求 的最大值，并标明等号成立的条件．
【数形结合之美】小华在研究二次根式最值问题时，发现运用图像能够更加方便的解决．如图1直观的证
明了 ．
(3)如图2，在 轴及 轴的负半轴上给定两点A(a,0)， 点 是第一象限上的一个动点 ，过
点向坐标轴作垂线，分别交 轴和 轴于 ， 两点， 是直线 上一点，满足 （ 是给定
的）．求 的最小值及条件，并给出证明．
(4)如图3，四边形 的对角线 ， 相交于点 ， ， 的面积分别是 和 ，求
的最小值．
【抽象代数之美】小华发现：对多个元的代数问题，需要一些游刃有余的处理．
(5)设 ， ， ， 都是正数
证明： ．
【答案】(1)证明见解析．
(2) 的最大值为 ，此时 ．
(3) 的最小值为 ，此时 ，证明见解析．(4)当且仅当 时， 的最小值为 ．
(5)证明见解析．
【知识点】不等式的性质、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了不等式的基本性质，完全平方公式，掌握不等式的性质是解答本题的关键．
（1）根据题意， ，由此得到证明．
（2）根据题意， ， ，故 ，由此得到答案．
（3）根据题意， ， ，利用不等式的性质，得到 ，
由此得到答案．
（4）根据题意设： ，则 ，故 ，利用不等式的性质，得到答
案．
（5）根据题意， ； ； ； ； ，将各式
相加，得到证明．
【详解】（1）证明：根据题意得：
，
故 ．
（2）解：根据题意得：
，
， ，
，
当且仅当 时，即 时，取等号，
的最大值为 ．（3）解：根据题意得：
，即 ，
， ， ， ，
， ，
，
，
当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为 ，
此时 ．
（4）根据题意设：
，
， 的面积分别是 和 ，
由等高三角形可知： ，
，
，，
当且仅当 时，取等号，即 的最小值为 ．
（5）解：根据题意，
； ； ； ； ，
将上述各式相加，得： ，
故 ．
