文档内容
第 06 讲 二次函数（1 个知识点+4 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫
做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是
常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先
将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实
际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
题型强化
题型一．二次函数的定义
1．（2023秋•城关区校级期末）在下列 关于 的函数中，一定是二次函数的是
A． B． C． D．
2．（2023秋•丰顺县期末）若函数 为关于 的二次函数，则 的值为
．
3．（2023秋•岷县期中）已知函数 （其中 ．
（1）当 为何值时， 是 的二次函数？
（2）当 为何值时， 是 的一次函数？题型二、列二次函数关系式
4．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y
与x之间的关系式是 ．
5．（22-23九年级上·北京平谷·期末）如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验
研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
6．（20-21九年级上·全国·课后作业）圆的半径为 ，若半径增加 ，则面积增加 ．求
与 的函数关系式．
题型三、二次函数的识别
7．（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（21-22九年级上·云南大理·期中）在二次函数 中，二次项系数、一次项系数、
常数项的和为 ．
9．（20-21九年级下·全国·课后作业）下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？．
题型四、根据二次函数的定义求参数
10．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线 经过原点，那么
a的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．35
11．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知函数 是二次函数，则常数
a 的取值范围是 ．
12．（19-20九年级上·全国·单元测试）若函数 是二次函数．
(1)求 的值．
(2)当 时，求 的值．
分层练习
一、单选题
1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）A． B． C．
D．
2．如图，一个正方体的边长为 ，它的表面积为 ，则y与x的函数关系式为
（ ）
A． B． C． D．
3．下列是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若 是二次函数，则 （ ）
A．7 B．
C． 或7 D．以上都不对
5．当函数 是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
7．正方形的边长为3，若边长增加 ，则面积增加 ， 与 的关系式为（ ）
A． B．
C． D．8．下列函数关系式中：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
；（5） ；（6） ；二次函数的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在 中， ．动点M，N分别从A，点M从点A开
始沿边 向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿 向点B以每秒2
个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y， 的面积为S，则
y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
10．如图， 是等腰直角三角形， ， ，点 为边 上一点，
过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，点 从点 出发沿 运动至点 ．
设 ， ，四边形 的面积为 ，在运动过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
二、填空题11．抛物线 是二次函数，则m= ．
12．把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为
，常数项为 ．
13．已知函数 ，当 时，它是二次函数．
14．正方形边长 ，若边长增加 ，增加后正方形的面积为 ， 与 的函数关系式为
．
15．长方形的周长为 ，其中一边 ，面积为 ，那么 与 的关系
是 ．
16．在函数① ，② ，③ ，④ 中，y关
于x的二次函数是 ．（填写序号）
17．某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的
产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ．
18．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第 个图形
中点的个数 与 的关系式是 ，它是 函数．
三、解答题
19．若关于 的函数 是二次函数，其图象开口向下，求 的值．20．已知函数 ．
(1)若是一次函数，求 的值；
(2)若是二次函数，求 的值满足什么条件．
21．已知函数 ，
(1)当 为何值时，此函数是一次函数？
(2)当 为何值时，此函数是二次函数？
22．已知方程 （m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2) ， 是原方程的两根，且 ，求m的值．
(3)若函数 （m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一
个定点，求定点的坐标．23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC= ．动点P从点A出发，沿AB以
每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），
作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
24．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长
，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为 ，且在 边上开一扇长为 的
门 ，在 边上开一扇长为 的门 ，若设鸡场的 长为 ．
(1) 的长为_____________（用含 的代数式表示）
(2)若两个鸡场的总面积为 ，求S与 的函数关系式
(3)能否围成总面积为 的两个长方形养鸡场？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
25．如图，在 中， ， ， ，现有一个动点P从点A
出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿
CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，
的面积为S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当 时，求线段PQ的长；
（3）当t为何值时， ？
26．作图并完成解答：(1)在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：
①连接AM，作线段M的垂直平分线 ，（要求尺规作图，保留作图痕迹）过M作x轴的
垂线 ，记 ， 的交点为P．②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点
P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
(2)对于曲线上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是 ，求y与x
的函数关系式．
