文档内容
第 15 讲 圆的有关性质（6 个知识点+6 种题型+分
层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ⊙
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意
一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣
弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
知识点2．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
知识点3．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
知识点4．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一
推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形
与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
知识点5．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成
同一条弧所对的圆周角和圆心角．知识点6．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
题型强化
题型一．圆的认识
1．（2023秋•永善县期末）已知 中最长的弦为8，则 的半径是
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】 最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【解答】解： 中最长的弦为8，即直径为8，
的半径为4．
故选： ．
【点评】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
2．（2024秋•西乡塘区校级月考）一个圆内最长的弦长是 ，则此圆的半径是 ．
【分析】根据直径是圆中最长的弦，可以得到圆的直径是 ，再由直径是半径的两倍求出半径．
【解答】解：因为直径是圆中最长的弦，而圆的最长弦长为 ，
所以直径是 ，半径是 ．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是对圆的认识，根据直径和圆中最长弦的关系，可以求出圆的直径，然后求出半径．
3．（2023秋•廉江市期末）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程
长？请通过计算说明．【分析】根据圆的周长公式即可得到结论．
【解答】解：设其中应该小圆的直径为 ，另一个小圆的直径为 ，
根据题意得，大圆的周长 ，两个小圆的周长和 ，
大圆的周长 两个小圆的周长和，
大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
【点评】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．
题型二．垂径定理
4．（2024•瑶海区校级一模）如图， 是 的弦，半径 于点 ， 为直径， ，
，则线段 的长为
A． B．8 C． D．
【分析】先根据垂径定理求出 的长，设 的半径为 ，在 △ 中利用勾股定理求出 的值，易
得 ，连接 ，由 是直径，根据圆周角定理得到 ，利用 是△ 的中位线得
到 ，然后在 △ 中利用勾股定理可计算出 ．
【解答】解：连接 ，如图，
弦 ， ，
，
设 的半径 ，
，
在 △ 中，
，
解得： ，；
， ，
，
是直径，
，
是△ 的中位线，
，
在 △ 中， ．
故选： ．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、
圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
5．（2024秋•海淀区校级月考）如图，平面直角坐标系 中， 与 轴交于点 与 ， 的半
径是 ，则点 的坐标是 ．
【分析】连接 ，作 于 ，则 ，由垂径定理可得， ，由勾股定理得，
，进而可求 点坐标．
【解答】解：连接 ，作 于 ，的半径是 ，
，
，
，
由垂径定理可得， ，
由勾股定理得， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
6．（2024秋•海淀区校级月考）如图， ， 交 于点 ， ， 是半径，且 于点
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【分析】（1）由垂径定理得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据线段的和差关系可
得结论；
（2）连接 ，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明： ， 为 的弦，，
， ，
，
，
；
（2）解：如图，连接 ，
， 为 的弦，
， ，
，
设 的半径是 ，
，
解得 ，
的半径是5．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题．
题型三．垂径定理的应用
7．（2023秋•金昌期末）如图， 是 的直径， 是非直径的弦， 与 相交于点 ．从以下四
个条件中任取一个，其中不能得到 的有A． B． C． D．
【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”即可得答案．
【解答】解： ． ， 是 的直径， 是非直径的弦，
，故 不符合题意；
．根据 无法判断 ，故 符合题意；
． ， 是 的直径， 是非直径的弦，
，故 不符合题意；
． ， 是 的直径， 是非直径的弦，
，故 不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理．
8．（2024秋•沭阳县校级月考）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利
灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面的上方，
的半径长为5米， 被水面截得的弦 长为8米，点 是运行轨道的最低点，则点 到弦 的距
离为 ．
【分析】连接 、 ， 交 于点 ，由垂径定理得 （米 ，再由勾股定理得
（米 ，然后求出 的长即可．
【解答】解：如图，连接 、 ， 交 于点 ，
由题意得： 米， ，
（米 ， ，
（米 ，
（米 ．故答案为：2米．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
9．（2024•莒南县模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中
用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2．已知圆
心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，
则点 到弦 所在直线的距离是 米．
【分析】连接 、 ， 交 于点 ，由垂径定理得 （米 ，再由勾股定理得
（米 ，然后求出 的长即可．
【解答】解：如图，连接 、 ， 交 于点 ，
由题意得： 米， ，
（米 ， ，
（米 ，
米，
即点 到弦 所在直线的距离是 米，
故答案为： ．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
题型四．圆心角、弧、弦的关系
10．（2024 秋•海淀区校级月考）如图， 是 的弦， 是 的中点， 交 于点 ．若
， ，则 的半径为
A． B． C． D．
【分析】连接 ，由垂径定理得 ，根据勾股定理求解即可．
【解答】解：连接 ，
是 的中点，
， ，
在 △ 中， ， ， ，
由勾股定理可得， ，则 ，即 的半径为 ．
故选： ．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出 是 的垂直平分线是解答此题的
关键．
11．（2024秋•广陵区月考）如图， 是 的弦， 是 的中点， 交 于点 ．若 ，
，则 的半径为 ．
【分析】连接 ，根据垂径定理得 ，设 ，则 ，根据勾股定理解答
即可．
【解答】解：连接 ，
是 的弦， 是 的中点，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
解得： ．
故答案为：10．【点评】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．
12．（2023秋•南京期末）如图， 是 的弦， 是 的中点．
（1）连接 ，求证： 垂直平分 ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【分析】（1）连接 ， ， ，由 是 的中点可知 ，故 ，再由
可得出结论；
（2）由（1）知， 垂直平分 科打得出 的长，根据勾股定理求出 的长，设 的半径为 ，
则 ， ，在 中利用勾股定理求出 的值即可．
【解答】（1）证明：连接 ， ， ，
由 是 的中点，
，
，
，
垂直平分 ；
（2）解：由（1）知， 垂直平分 ，
， ，
，
，
设 的半径为 ，
则 ， ，
在 中，，即 ，
解得 ．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角
三角形是解题的关键．
题型五．圆周角定理
13．（2023秋•昭通期末）如图，点 ， ， 均在 上， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解： 为 所对的圆周角， 为 所对的圆心角，
．
故选： ．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．
14．（2024秋•宿豫区月考）如图，点 ， ， 在 上，若 ，则 的度数为 ．
【分析】根据圆周角定理可得 ，再根据三角形的外角求解即可．
【解答】解：连接半径 并延长至 ，如图，，
， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
15．（2024•合肥模拟）如图， 的两条弦 ，垂足为 ，点 在 上， 平分 ，连
接 ，分别交 于 ， 于 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， 的半径为2，求 的长．
【分析】（1）根据圆周角定理求出 ，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出
，根据直角三角形的性质求出 ，根据“等角对等边”即可得证；
（2）连接 ， ， ， ，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出 ，根据等腰三角形
的性质求出 为 的中点， 为 的中点，根据三角形中位线的判定与性质求 ．根据圆周
角定理求出 ，进而推出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解
即可．
【解答】（1）证明： ，
，
平分 ，
，又 ，
，
又 ，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接 ， ， ， ，
， ，
，
，
又 ，
为 的中点．
由（1）知 ， ，
为 的中点，
是 的中位线，
．
，
，
是等腰直角三角形，
．
，
，
．【点评】此题考查了圆周角定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、
三角形中位线定理是解题的关键．
题型六．圆内接四边形的性质
16．（2024秋•上城区校级月考）如图，四边形 是 的内接四边形， 在 的延长线上，若
，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】设 ，则 ，再由圆内接四边形的性质得出 的值，进而可得出结论．
【解答】解： ，
设 ，则 ．
，即 ，解得 ，
，
， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
17．（2024秋•南关区校级月考）如图，四边形 内接于 ，过点 作 ，交 于点 ．
若 ，则 等于 度．
【分析】先由两直线平行，同位角相等得到 ，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即
可．
【解答】解： ， ，
，四边形 内接于 ，
，
，
故答案为：130．
【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
18．（2023秋•金昌期末）如图，四边形 内接于 ， 为 延长线上一点，连接 、 ，若
，求证： 平分 ．
【分析】先根据圆内接四边形的性质得出 ，再根据 得出 ，故可得
出 ，再由圆周角定理得出 ，故可得出 ，故可得出结论．
【解答】证明： 四边形 内接于 ，
．
，
，
．
与 是同弧所对的圆周角，
，
，即 平分 ．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
分层练习
一、单选题
1．半径为5cm的圆内有两条弦AB‖CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB、CD间的距离为（ ）
A．1cm B．7cm C．1cm 或7cm D．不能确定
【答案】C
【详解】试题分析：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴由垂径定理得：AE= AB=3cm，
CF= CD=4cm，在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE= = =4（cm），同理求出
OF=3cm，EF=4cm﹣3cm=1cm；
②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4cm，OF=3cm，
则EF=4cm+3cm=7cm；即AB与CD的距离是1cm或7cm，故选C．
考点：1．垂径定理；2．勾股定理．
2．如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=30°，则弦BC的长是（ ）
3
A． B．2 C．1 D．
2
【答案】C
【详解】∵∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∴ △OBO=BOCC是, 等边三角形，∵半径是1，∴BC=1．故选C．
3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为( )A．28° B．42° C．56° D．62°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ADC，再由垂径定理和圆心角，弧，弦的关系得到∠BOC=∠AOC.
【详解】解：∵∠ADC＝28°，
∴∠AOC=2∠ADC=56°，
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，
∴ ，
∴∠BOC=∠AOC=56°.
故选C.
【点睛】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
4．如图， 是半圆，O为AB中点，C、D两点在 上，且AD∥OC，连接BC、BD．若 ＝62°，则
的度数为何？（ ）
A．56 B．58 C．60 D．62
【答案】A
【知识点】两直线平行内错角相等、同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，利用AD∥OC，证得∠1＝∠2，得到 ＝
＝62°，根据弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°计算得出结果．
【详解】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∥ AODC∵，
∴∠1＝∠2，∴ ＝ ＝62°，
∴ 的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，
故选：A．
【点睛】此题考查两直线平行内错角相等，圆周角定理，正确作出图形利用半圆的度数求解是解题的关键．
5．如图，A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOC＝110°，则∠ABC的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．70°
【答案】B
【详解】试题分析：因为弧AC所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC＝110°，所以∠ABC= ∠AOC=55°.
故选B.
考点：圆周角定理.
6．如图，等腰直角三角板 的斜边 与量角器的直径重合，点 是量角器上 刻度线的外端点，
连接 交 于点 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理【分析】本题考查圆中求角度，涉及量角器测角、圆周角定理和三角形内角和定理等知识，连结 ，读
出量角器角度，结合圆周角定理求出 ，再由三角形内角和定理即可得到答案，掌握圆周
角定理是解决问题的关键．
【详解】解：连结 ，如图所示：
由题意可知 ，则 ，
等腰直角三角板 的斜边 与量角器的直径重合，
是 的直径， ，
在 中， ，则 ，
在 中， ， ，则 ，
故选：B．
7．如图，在⊙O中，点 是 的中点，点 在 上，连接 、 、 、 ．若 ，
则 的大小为（ ）
A．50° B．350° C．25° D．150°
【答案】C
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理
【分析】连接OC，如图，利用 得到∠AOB=∠BOC=50°，然后根据圆周角定理得到∠BDC的度数．
【详解】解：连接OC，如图，∵点B是 的中点，
∴
∴ ，
∴ ,
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．解题的关键是理解圆周角定理.
8．如图，在平面直角坐标中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切
的格点的坐标是( )
A．(0，3) B．(5，1) C．(6，1) D．(7，1)
【答案】B
【知识点】利用垂径定理求解其他问题
【分析】首先根据垂径定理的性质得出圆心所在位置；
再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置.
【详解】解：作AB和BC的垂直平分线，它们相交于P点，如图，
则过格点A，B，C的圆的圆心P点坐标为（2，0），
连结PB，过点B作PB的垂线l，则l为⊙P的切线，
从图形可得点（1，3）和点（5，1）在直线l上.故选B.
【点睛】本题实质考查了圆的切线的有关知识.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这
点（即为半径），再证垂直即可.本题中便是由此逆推得到⊙P的切线，从而使问题简单化.
9．如图，在正方形 中， ，点E是正方形 内部一动点，且 ，点P是 边
上一动点，连接 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据 ，得到点E在以 为直径的半圆上移动，如图，设 的中点为O，作正方形 关
于直线 对称的正方形 ，则点D的对应点是F，连接 交 于P，交半圆O于E，则线段 的
长即为 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解： ∵ ，
∴点E在以 为直径的半圆上移动，
如图，设 的中点为O，
作正方形 关于直线 对称的正方形 ，则点D的对应点是F，
连接 交 于P，交半圆O于E，
则线段 的长即为 的长度最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 的长度最小值为 ，
故选A．
10．如图，正方形ABCD中，P为CD边上任意一点，DE⊥AP于点E，点F在AP延长线上，且EF＝AE，
连结DF、CF，∠CDF的平分线DG交AF于G，连结BG．给出以下结论：①DF＝DC；②△DEG是等腰
直角三角形；③∠AGB＝45°；④DG+BG＝ AG．所有正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】根据垂直平分线的性质得到AD＝DF，又根据正方形性质得AD＝DC，从而等量代换得DF＝
DC，即可判断①；设 ，则 ，由 ，
推得 ，进一步得到 ，从而可判断②；连接BD，根
据∠ABD=∠AGD=45°，得到A、B、G、D四点共圆，从而得出③正确；作BH⊥AF，分别在 和
中，进行边的转换，再根据 得到 ，由 ，代入化简即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴①正确；
∵ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∴ ，
∵DG平分∠CDF，
∴ ，
∴ ，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴②正确；
连接BD，
∵∠ABD=∠AGD=45°，
∴点A、B、G、D共圆，
∴∠AGB=∠ADB=45°，
∴③正确；
作BH⊥AF于H，
∵∠AGB＝45°，∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵四边形ABCD是正方形
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴④正确；
∴故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及正方形的
性质等相关知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
二、填空题
11．如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝58°，∠C＝46°，则∠ADB＝ 度．
【答案】78.
【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角【分析】延长AD交⊙O于E，连接BE，根据同弧所对的圆周角相等可得：∠AEB=∠ACB=46°，再根据直径
所对的圆周角是直角可得：∠ABE=90°，从而求出∠CBE，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ADB.
【详解】解：延长AD交⊙O于E，连接BE，如下图所示
∴∠AEB=∠ACB=46°
∵AE是直径
∴∠ABE=90°
∴∠CBE=∠ABE－∠ABC=32°
∴∠ADB=∠CBE＋∠AEB=78°
故答案为：78.
【点睛】此题考查的是圆周角定理和三角形外角的性质，掌握同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角
是直角是解决此题的关键.
12．如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度．
【答案】63
【知识点】圆周角定理
【分析】根据圆周角定理可得∠DOB=2∠DCB，再根据等边对等角可得∠ODB=∠OBD，进而得到∠OBD=
（180°-∠DOB）÷2，即可得到答案．
【详解】∵∠DCB=27°，
∴∠DOB=2∠DCB=27°×2=54°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=（180°-∠DOB）÷2=（180°-54°）÷2=63°．故答案为：63°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，属于基础题．
13．如图，在 的内接五边形 中， ， ，则 ．
【答案】220
【知识点】等边对等角、已知圆内接四边形求角度
【分析】连接BD，先利用等腰三角形性质求 ，再利用圆的内接四边形
对角互补，求 ，即可得 ，即为：
．
【详解】解：连接BD．
∵
∴
∵
∴
∵
∴
即： ．
故答案为：220．【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质，能正确的作出辅助线，找到圆的内接四
边形是解答此题的关键．
14．如图， 是 的直径， 是 的内接三角形，若 ，则 的直径
．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周
角是直角
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，连接 ，
根据弧、弦、圆周角之间的关系以及圆周角定理证明 是等腰直角三角形，即可求得 的长．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．15．如图， 是⊙O的直径，点D，C在⊙O上， ，则⊙O的半径长为
．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理
【分析】连接DO并延长，与圆O交于点E，连接CE，延长AC，过点E作AC的垂线，垂足于F，证明
AE= ，根据圆周角定理得到∠CAE=45°，证明△AEF为等腰直角三角形，求出CF和EF，利用勾股定
理得到CE，再求出OC即可．
【详解】解：连接DO并延长，与圆O交于点E，连接CE，延长AC，过点E作AC的垂线，垂足于F，
∵∠BOD=∠AOE，
∴BD=AE= ，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=90°，
∴∠CAE=45°，则△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=EF= =3，又AC=1，
∴CF=2，EF=3，
∴CE= = ，
在△COE中，OC=OE= ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解
题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形．
16．如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且
∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是 ．
【答案】 ≤CQ≤12．
【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、切线的性质和判定的综合应用、已知直
线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和
AB相切，二是半圆和AB相交，首先求得相切时CQ的值，即可进一步求解相交时CQ的范围．
【详解】∵Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∴AB=13，
①当半圆O与AB相切时，如图，连接OP，
则OP⊥AB，且AC=AP=5，
∴PB=AB﹣AP=13﹣5=8；
设CO=x，则OP=x，OB=12﹣x；
在Rt△OPB中，OB2=OP2+OB2，
即(12﹣x)2=x2+82，解之得x= ，
∴CQ=2x= ；
即当CQ= 且点P运动到切点的位置时，△CPQ为直角三角形．
②当 ＜CQ≤12时，半圆O与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角
三角形；
③当0＜CQ＜ 时，半圆O与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆O外，∠CPQ＜90°，
此时△CPQ不可能为直角三角形；
∴当 ≤CQ≤12时，△CPQ可能为直角三角形．
故答案为： ≤CQ≤12．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理的推论，以及切线的性质等，熟练掌握基本性质进行
综合分析是解题关键．
17．如图在菱形 中， ， 是 、 的交点， 是线段 上的动点（不与点 、
重合），将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 恰好在 边上，若要使得 ，则 的
范围为 ．
【答案】45°＜α＜60°
【知识点】四边形其他综合问题、圆周角定理、旋转综合题(几何变换)
【分析】连接PC，先证明Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，从而得∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝
180°−2α，结合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，即可求出α的范围．
【详解】解：连接PC，∵在菱形 中，BD所在直线是对称轴，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 恰好在 边上，即：PQ＝PA，
∴PQ＝PC＝PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ= ∠APQ= ，
∴∠CDB＝90°−α；
∵PQ＝QD，
∴∠PQC＝2∠CDB＝180°−2α，
∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝180°−2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°−2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
故答案是：45°＜α＜60°．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及圆周角定理的综合应用，得出Q、C、A三点共圆利用圆周角定理得出
结论是解题的关键．
18．如图，抛物线 与 轴交于 两点，抛物线的顶点为 ，点 为 的中点，以 为圆
心， 长为半径在 轴的上方作一个半圆，点 为半圆上一动点，连接 ，取 的中点 ，当点 沿
着半圆从点 运动至点 的过程中，线段 的最小值为 ．【答案】 /
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、与三角形中位线有关的求解问题、求一点到圆上点距离的最值
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，三角形中位线定理以及抛物线与 轴的交
点，熟练掌握二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，确定 点的运动轨迹是解题的关键．由题意可
知 点在以 为圆心，2为半径的半圆上，则 点在以 为圆心，1为半径的半圆上， 的最小值为
，求出 即可求解．
【详解】解：如图，作直线 ，则 为抛物线的对称轴，取 的中点 ，连接 ， ，
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴顶点 ，∴ ， ，
由中位线的性质可得： ，
∴ 点在以 为圆心，1为半径的半圆上运动，
连接 交 于 ，
∴ ，
如图，当A、G、F三点共线时，即 与 重合， 最小，
∴ 的最小值为 ，
故答案为：
三、解答题
19．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为 米,宽为 米的长方形构成（π取 ）．
(1)求这个运动场的周长是多少米?
(2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为 ,每平方米塑胶的价格为 元,比
每平方米草坪的价格高 ,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元?
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、整式加减的应用、根据矩形的性质求面积、圆的周长和面积
问题
【分析】（1）根据题意利用圆周长公式及矩形周长公式解答即可;
（2）根据题意利用圆面积公式及矩形面积公式解答即可．
【详解】（1）解:∵一个运动场是由两个半圆形和一个长为 米,宽为 米的长方形构成,
∴运动场的周长为: （米）,
故答案为: ．（2）解:根据题意,运动场是由两个半圆形和一个长为 米,宽为 米的长方形构成,
∴运动场的面积为: （平方米）,
∵塑胶跑道和草坪的面积比为 ,
∴塑胶跑道面积为： （平方米）,
∴草坪面积为： （平方米）,
∵每平方米塑胶的价格为 元,比每平方米草坪的价格高 ,
∴每平方米草坪的价格为: （元）,
∴总费用为: （元）,
故答案为: ．
【点睛】本题考查圆周长计算,矩形周长计算,圆面积计算,矩形面积计算．
20．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水
平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 的圆，如图所示，若水面宽 ，求水的最大
深度．（精确到0.1）
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点
作 于点 ，连接 ，根据垂径定理可得 ，再在 中，根据勾股定理解得
的值，进而获得答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵直径为 ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理，
可得 ，
∴ ，
∴水的最大深度为 ．
21．如图， 是半圆 的直径， 、 是半圆 上的两点，且 ， 与 交于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)4
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及等腰三角形的性质；此题难度适中，注意掌握
数形结合思想的应用；
（1）由 是半圆 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 ，继而求得 的度数，
又由 ，即可求得 的度数，继而求得答案；（2）由 ，可求得 的长，然后由垂径定理，可知 是 的中位线，则可求得 的
长，继而求得答案．
【详解】（1）解： 是半圆 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2） ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
22．如图，点P是 内一定点．
(1)过点P作弦 ，使点P是 的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 的半径为10， ，
①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②8
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
（1）连接 并延长，过点P作 即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为20，与 垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出 ，
即可得出答案；②过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，长度为17、18、19的弦有2条，即可得出结
论．
【详解】（1）解：如图1，连接 并延长，过点P作 ，则弦 即为所求；
（2）解：①过点P的所有弦中，直径最长为20，与 垂直的弦最短，
连接 ，如图2所示：
，
，
，
∴过点P的弦的长度m范围为 ；
②∵过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，
∴长度为17、18、19的弦各有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有8条，
故答案为：8．
23．如图①， ， 是半圆 上的两点，若直径AB上存在一点 ，满足 ，则称
是 的“纯倍角”．(1)如图②，AB是圆 的直径，弦CE垂直于AB， 是弧 上一点，连结 交AB于点 ，连结 ，
是 的“纯倍角”吗？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，设弧CD的度数为 ，请用含 的代数式表示 和 的度数．
(3)如图③，在（1）的条件下，连结CD，直径 ， ．求弦CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】三角形内角和定理的证明、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理
【分析】（1）根据AB是 的直径，弦 可得 ，从而得到 ，结合等腰三角形底
边上三线合一可得 ，根据对顶角相等，等量代换，即可得出结论；
（2）根据圆周角定理可得， ，结合 可得 ，结合等腰三角形的性质，
三角形内角和定理，即可得到答案；
（3）连接 ， ，根据图形可得 ，则 ， ，勾股定理即可得到
【详解】（1）解： 是 的“纯倍角”，理由如下：
如图所示，设 交于点 ，
∵AB是 的直径， ，
∴ ，
∴∴
∵
∴ ，
∴ 是 的“纯倍角”
（2）∵弧CD的度数为 ，
∴
∵
∴ ，
∴
．
（3）根据图3可得， ，则 ，
连接 ；
∴
∴
∵
∴
∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质，解题的关键是作辅助线．
24．如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽 与桥长 均为24米，桥拱顶部 离水面的距离为8
米，以桥拱顶部 为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求圆弧型桥拱所在圆的半径；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱 ， ， ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的
抛物线，其最低点到桥面的距离为1米．
①求出 轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度．
【答案】(1)圆弧型桥拱所在圆的半径为13米
(2)① ；②经过钢缆最低点的彩带的长度为 米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、利用
垂径定理求值
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作
出辅助线是解题的关键．
（1）设圆弧型拱桥的圆心为 ，圆的半径为 ，则 米， 米，利用勾股定理列式解答
即可；
（2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为 ，然后利用待定系数法求函数解析式；
②连接圆 与 ，作 于点 ，如图2，从而得到 米， 米，利用勾股定理求得
米，求得 米， 米，进而得解．
【详解】（1）解：设圆弧型拱桥的圆心为 ，圆的半径为 ，连接 ， 交 于点 ，如图1，由题意得： ， 米， 米，
∴ 米， 米，
由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米；
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为 ，设其表达式为 ，将 代
入得：
，
解得： ，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为： ；
②由题意可知， 即为所求彩带的长度，如图2，连接圆 与 ，作 于点 ，
则 米， 米，
∴ （米），
∴ （米），
∴ （米），
答：经过钢缆最低点的彩带的长度为 米．
25．如图，单行隧道的截面是由拱形和矩形组成，矩形ABCD的长 为 ，宽 为 ，圆拱形的拱高
h=1m，（1）求 所在 的半径R；
（2）现有一辆大型卡车（截面视为矩形），卡车的宽为 ，车高 ，问这辆大型卡车从单行隧道正中
间MN能否通过？通过计算说明理由．
【答案】（1） 所在圆的半径R为 m；（2）这辆大型卡车能从单行隧道正中间通过，理由见解析.
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、垂径定理的实际应用
【分析】（1）设 所在圆的圆心为O ，连接O A，O E与AD交于点F，利用垂径定理求出AF，然后在
1 1 1
Rt AO F中，利用勾股定理构建方程求解即可；
1
△
（2）如图，单行隧道正中间为MN，过M、N作x轴的垂线交 于G、H，连接GH，则四边形MNHG是
矩形，GH与O E交于点K，求出MN=GH=3m时，OK= 2.5m，大于车高 ，即可得能从单行隧道正中间
1
MN通过.
【详解】解：（1）如图，设 所在圆的圆心为O ，连接O A，O E与AD交于点F，
1 1 1
由题意得：AD=4m，EF=1m，AD⊥O E，
1
∴AF=2m，
在Rt AO F中，由勾股定理得：AF2+O F2= O A2，
1 1 1
∴22+(△R-1)2=R2，
解得： ，
即 所在圆的半径R为 m；
（2）这辆大型卡车能从单行隧道正中间通过，
理由：如图，单行隧道正中间为MN，过M、N作x轴的垂线交 于G、H，连接GH，则四边形MNHG是
矩形，GH与O E交于点K，
1∵卡车的宽为 ，
假设MN=GH=3m，则GK= m，
∴ m，
∵O F=R-1= m，AB=2m，
1
∴OK=O K+OF－O F=2+2- =2.5m，
1 1
∵2.5m＞2.4m，
∴这辆大型卡车能从单行隧道正中间MN通过.
【点睛】本题主要考查的是垂径定理以及勾股定理的应用，通过作辅助线构造直角三角形，利用方程思想
进行求解是解答本题的关键.
26．阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括
他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形 内接于 ，对角线 于点 ，
于点 ，延长 交 于点 ．
求证： ．证明： ， ，
， ，
．
……
任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知 中， ， ，
， 分别交 于点 ， ，连接 ， 交于点 ．过点 作 ，分别交 ， 于点
， ．若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度
【分析】（1）应用圆周角定理，等腰三角形的判定，可证明；
（2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解．
【详解】（1）解：证明： ， ，
， ，
，
， ，
，
，
同理， ，
；
（2） 四边形 是 内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是能熟练应用圆的有关性质.
