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第 04 讲 圆周角
课程标准 学习目标
①圆周角的认识 1. 掌握圆周角的概念，能够熟练的判断圆周角。
②圆周角定理 2. 掌握圆周角定理及其的推论，并能够在题目中熟练的进行应用。
③圆周角定理的推论 3. 掌握圆的内接多边形的概念与内接四边形的性质，并能够在解决相关
④圆内接四边形的性质 问题时熟练应用
知识点01 圆周角的认识
1. 圆周角的定义：
顶点在 ，且两边都与圆 的角叫做圆周角。
【即学即练1】
1．如图，∠APB是圆周角的是（ ）
A． B．C． D．
知识点02 圆周角定理
1. 圆周角定理的内容：
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 。
即：∠BAC＝ ∠BOC
【即学即练1】
2．如图，点A，B，C都在 O上，若∠C＝34°，则∠AOB为（ ）
⊙
A．34° B．56° C．60° D．68°
知识点03 圆周角定理的推论
1. 圆周角定理的推论：
（1）在 或 中，同弧或等弧所对的圆周角都 。相等
的圆周角所对的弧也 。
⌒ ⌒
如图：若AC＝BD，则∠ABC ∠BAD；若∠ABC ∠BAD，
⌒ ⌒
则AC BD。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 。
如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝ 。
若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的 。
【即学即练1】
如图，D是 的中点，则图中与∠ABD相等的角的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【即学即练2】4．如图，C，D是 O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝37°，则∠BDC＝（ ）
⊙
A．53° B．63° C．43° D．74°
知识点04 圆内接四边形的性质
1. 圆的内接四边形的概念：
如图：四个顶点都在 的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的
顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形。
2. 圆的内接四边形的性质：
（1）圆的内接四边形的对角 。
即∠B＋∠D＝ ，∠C＋∠BAD＝ 。
（2）圆的内接四边形的任意一个外角等于它的 （就是和它
相邻的内角的对角）
即：∠EAD＝ 。
【即学即练1】
5．如图， O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
⊙
A．140° B．130° C．120° D．100°
【即学即练2】
6．如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，∠A＝70°，则∠DCE的度数为 ．
⊙题型01 圆周角的认识判断
【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 利用圆周角定理进行证明计算
【典例1】如图，在 O中， ，∠AOB＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
⊙
A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式1】如图，AB是 O的直径，点C，D是圆上两点，若∠AOC＝124°，则∠CDB等于（ ）
⊙
A．29° B．28° C．27° D．26°
【变式2】如图，AB是 O的弦，OC⊥AB交 O于点C，点D是 O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC
⊙ ⊙ ⊙的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式3】如图所示，AB为 O的直径，点C在 O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于
点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（ ）
⊙ ⊙
A．20° B．25° C．30° D．32.5°
【变式4】如图，已知△ABC中，以AB为直径的半 O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求
∠DOE的度数．
⊙
题型03 利用圆周角定理的推论计算证明
【典例1】如图，AB是 O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于 ．
⊙
【变式1】如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
⊙ ⊙A．65° B．55° C．60° D．75°
【变式2】如图， O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：
①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（ ）
⊙
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延
长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．
【变式4】如图所示，AB＝AC，AB为 O的直径，AC、BC分别交 O于E，D，连结ED，BE．
⊙ ⊙（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果BC＝12，AB＝10，求BE的长．
题型04 圆内接四边形的性质的应用
【典例1】如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ °．
⊙
【变式1】如图，四边形ABCD内接于 O，F是 上一点，且 ＝ ，连接CF并延长交AD的延长线
于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
⊙
A．60° B．55° C．50° D．45°
【变式2】已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【变式3】如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【变式4】如图，等腰△ABC内接于 O，AB＝AC，点E是 上的点（不与点A，C重合），连接BE并
延长至点G，连接AE并延长至点F，BE与AC交于点D．
⊙
（1）求证：∠GEF＝∠CEF；
（2）若 O的半径为5，BC＝6，点D是AC的中点，求BD的长．
⊙
1．下列图形中的∠ABC是圆周角的是（ ）A． B． C． D．
2．如图，∠A是 O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝（ ）
⊙
A．35° B．45° C．55° D．70°
3．如图，AB、BC为 O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则
∠AOC的度数为（ ）
⊙
A．130° B．124° C．114° D．100°
4．如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，∠ABD＝69°，则∠C等于（ ）
A．29° B．21° C．31° D．62°
5．如图，AB是 O的弦，CD是 O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
⊙ ⊙
A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C
6．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠C＝125°，则∠ABD的度数是（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°
7．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成
立的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADB
B．∠ABC+∠ADC＝180°
C．∠ABD＝∠ACD
D．若∠ABD＝2∠CBD，则AD＝2CD
8．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，
点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽
QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
9．如图，圆内接四边形 ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则
∠CBD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
10．如图，AB是 O的直径，C，D是 O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，有
下列结论：① AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③ BC 平分∠ABD；④ AF＝DF；⑤ BD＝2OF；
⊙ ⊙
⑥△CEF≌△BED．其中一定成立的是（ ）A．②④⑤⑥ B．①③④⑤ C．②③④⑥ D．①③⑤⑥
11．如图 O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为 cm、1cm，则弦AC、BD所夹的锐角 ＝ ．
⊙ α
12．如图，在 O中， ＝ ，∠AOB＝40°，点D在 O上，连接CD，AD，则∠ADC的度数是 ．
⊙ ⊙
13．如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形，BE是 O的直径，连接 AE．若∠BCD＝2∠BAD，则
∠DAE的度数是 ．
⊙ ⊙
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上
的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 ．
15．如图，MN是 O的直径，MN＝6，点A在 O上，∠AMN＝30°，B为 的中点，P是直径MN上一
动点，则PA+PB的最小值是 ．
⊙ ⊙16．已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的 O与AC，BC的交点分别为D，E
（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；
⊙
（Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE．
（1）求证： ＝ ． ⊙
（2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长．
18．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，E为BC延长线上一点，BD＝AD．
（1）如图①，若∠DCE＝60°，求证：△ABD为等边三角形；
⊙
（2）如图②，对角线AC，BD交于点F，AC⊥BD，若DF＝3，AF＝4，求 O的半径．
⊙19．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点F，AC绕点C旋转某个度数，使点A与 上的点E重合．
（1）求证：∠2＝2∠1．
⊙
（2）当 时，求CG：GE的值．
20．如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点⊙D为 的中点； ⊙
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若 O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
⊙
